永磁同步電機振動特性模態(tài)研究*

黃克峰，徐　曄，王金全(解放軍理工大學國防工程學院電力與智能化教研中心，江蘇南京　210007)

?

永磁同步電機振動特性模態(tài)研究*

黃克峰，徐曄，王金全
(解放軍理工大學國防工程學院電力與智能化教研中心，江蘇南京210007)

摘要:運用機電類比的方法推導了定子固有頻率的計算方法，用ANSYS軟件對電機定子建立了的三維有限元模型進行了模態(tài)分析，計算出了它們的固有頻率及其振型，避免和電磁力的頻率及次數(shù)發(fā)生共振，從而降低永磁同步電機的電磁振動和噪聲。

關鍵詞:永磁同步電機;固有頻率;模態(tài)分析

王金全(1963—)，男，博士，教授博士生導師，研究方向為微電網(wǎng)系統(tǒng)設計和分析。

0　引言

20世紀80年代，D.A.Glasgow、H.D.Nelson提出了部件模態(tài)綜合技術［1］，R.S.Girgis、S.P.Verma考慮了鐵心齒、繞組和機座的作用，提出了計算電動機定子固有頻率和振動特性的公式［2］。進入21世紀，在國外，S.A.Long和Z.Q.Zhu等人采用有限元法分析了硅鋼片材料的各向異性和繞組對開關磁阻電機結(jié)構(gòu)固有模態(tài)的影響，并通過錘擊模態(tài)試驗證明了分析的正確性［3］。英國謝菲爾德大學的博士生Jason D.Ede用有限元法計算并且實測了轉(zhuǎn)速為120 000 r/min、功率為1. 25 kW的無刷永磁電機轉(zhuǎn)子的固有頻率，評估了轉(zhuǎn)子有效長度、直徑、軸伸量、軸承和材料特性對轉(zhuǎn)子固有頻率和模態(tài)振型的影響，但只介紹高速轉(zhuǎn)子固有頻率的計算，沒有考慮陀螺效應問題［4］。在國內(nèi)，華中科技大學孫劍波、河海大學王忠建等學者也分別對開關磁阻電機定子結(jié)構(gòu)的固有模態(tài)進行了分析［5-6］。哈爾濱工業(yè)大學的博士生代穎采用有限元法具體分析了電動汽車驅(qū)動用感應電機各部件對其固有模態(tài)的影響，機殼和端蓋對電機結(jié)構(gòu)固有模態(tài)的影響最大，轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)對電機結(jié)構(gòu)固有模態(tài)的影響也不可忽略。國內(nèi)外專家學者對各種電機的模態(tài)分析進行了很多研究，但是對于永磁同步電機(Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM)卻研究得比較少。

PMSM結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析是判斷電動機定子結(jié)構(gòu)是否發(fā)生共振的重要手段，電機的電磁噪聲和振動主要是通過定子、殼體向外輻射。本文主要是對電機定子結(jié)構(gòu)進行模態(tài)分析，由于電機結(jié)構(gòu)的幾何特性決定著定子沿軸向的剛度是變化的，所以采用三維結(jié)構(gòu)有限元模型來分析電動機定子及機殼結(jié)構(gòu)的模態(tài)。

1　電機結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析理論

PMSM模態(tài)分析的關鍵在于找到模態(tài)振型矩陣，以構(gòu)成模態(tài)坐標系統(tǒng)，并求得響應量在這一坐標系統(tǒng)中的坐標，具體過程如下［7］:

(1)尋找各階模態(tài)振型，組成坐標變換矩陣{Ψr} =［{Ψ1} {Ψ2} {Ψ3}…{ΨN}］。

(2)進行坐標變換{ X} = {Ψ} { q}。

(3)求取模態(tài)坐標qr，r = 1，2，3…N，從而得到{ q}。

(4)建立響應計算模型——模態(tài)模型;運用模態(tài)模型，便可計算在實際激勵作用下的結(jié)構(gòu)的運動，包括位移、速度、加速度，乃至應力應變。

PMSM定子振動中，除了由電磁力引起的強迫振動，還有自由振動。下面分析永磁同步電機的自由振動特性。根據(jù)質(zhì)點運動方程可得系統(tǒng)的自由振動方程為

該方程的通解形式為

式中: C1、C2——由系統(tǒng)初始條件決定的常數(shù)。

這里定義使得(rc/2m)2－k/m = 0的rc為臨界阻尼系數(shù)，阻尼比ζ= r/rc。

故運動方程的解可表示為

對于無阻尼運動，ζ=0;對于欠阻尼運動，ζ＜1;對于臨界阻尼運動，ζ=1，對于過阻尼運動，ζ＞1。在實際的振動系統(tǒng)中，一般都是欠阻尼運動，否則就不會形成振動了。對于欠阻尼情況，ζ?1，運動方程的解可寫為

式中: C'1、C'2、X0、φ0——由初始條件決定的常數(shù)，

對于初始條件x(t =0) = x0(t =0) =，則C'1= x0，C'2=。故系統(tǒng)運動方程的解為

2　 PMSM振動特性的機電類比分析

永磁同步電機一般選用同容量的異步電機機座，定子鐵心與機殼內(nèi)圓采用過盈配合，無連接筋。設定子鐵心軛的剛度為K1、質(zhì)量為m1，機殼的剛度為K2、質(zhì)量為m2，不考慮繞組、定子凸極的影響，散熱筋、底腳、接線盒的質(zhì)量歸入機殼質(zhì)量;并設各部分的阻尼系數(shù)分別為rm1、rm2(假設各部分阻尼比為粘性，且等于鋼或鑄鐵的阻尼比)，則其物理模型、機械網(wǎng)絡圖、等效電路圖如圖1所示［8-9］。

圖1　電機定子機電類比雙環(huán)型模型

圖1中P0為作用在定子鐵心內(nèi)表面上單位面積力的幅值，Pn為等效的集中力，即:

式中: Ri——定子磁軛的內(nèi)半徑;

la——定子鐵心軸向長度。

由機電類比法［8］可得對應角頻率w的總機械阻抗為

則定子振動位移的幅值為

其中，鐵心及機殼的剛度和質(zhì)量為［3］

J1——鐵心磁軛軸向截面對其軸向中心線的慣性矩，即: J1=(h3csla) /12，hcs為等效的鐵心軛厚，la為定子鐵心軸向長度;

J2——機殼軸向截面對其軸向中心線的慣性矩，即: J1= (h3fslf) /12，hfs為機殼軛厚，lf為機殼長度;

Fn1、Fn2——鐵心和機殼的軛厚與平均半徑之比的函數(shù);

R1、R2——鐵心磁軛和機殼的平均半徑;

G1——定子鐵心的總質(zhì)量;

G2——機殼、接線盒、底座的總質(zhì)量;

n——振形階數(shù)。

設定子鐵心、機殼的阻尼比ζ1、ζ2為黏性，則阻尼系數(shù)為

令機械阻抗的虛部為零，可求得定子的固有頻率為

將式(8)、式(9)代入式(7)、式(11)，可得電機強迫振動幅值和固有頻率為

式中: E1、E2——鐵心材料和機殼材料的彈性模量;

共振時，定子振動位移的振幅為

由式(13)可得PMSM軸向階數(shù)為零的平面振動特性［9］，即:

(1)振動幅值與力波幅值成正比，因此減小力波幅值是控制振動的主要措施。

(2)隨著振形階數(shù)n的增大，對應的固有頻率近似以n2的比例增大，而振幅則近似以n4的比例減小，因此，階數(shù)較低的力波引起的振動應是防范的重點。

(3)定子直徑越大，固有頻率越低，亦即當激勵力的振幅、頻率均相等時，幾何尺寸越大的電機，振動幅值越大，因而磁噪聲級亦越大。

(4)振動大小與振動系統(tǒng)的阻抗Zm關系很大，阻抗表明振動系統(tǒng)接近諧振的程度;諧振時振動甚至在小的電磁激振力時都可能很大，因此，使固有頻率避開主要的力波頻率是減小振動的主要措施之一。

(5)共振時激振力波與振動速度同相位，這時振動幅值完全由阻尼限制。

3　有限元法分析PMSM定子模態(tài)

目前，理論計算固有頻率的方法有兩大類:一類是解析解計算方法，典型的是機電類比法，該方法可以得到固有頻率的解析表達式，但是計算精度較差;另一類是能量法，有兩種解法，一種是傅里葉級數(shù)解法，另一種是有限元法。一般情況下，兩種解法都不能得到解析解，而只能得到數(shù)值解。在定子結(jié)構(gòu)對稱時，傅里葉級數(shù)的求解精度可滿足一般工程上的要求。有限元解法可以考慮定子結(jié)構(gòu)的不規(guī)則性，其計算精度較高。由于電機結(jié)構(gòu)復雜，用解析法計算雖然簡便，但計算誤差較大，因此本文采用有限元方法仿真計算了電機的模態(tài)，研究了電機的定子鐵心的模態(tài)。

ANSYS產(chǎn)品家族的模態(tài)分析是線性分析。任何非線性特性，如塑性和接觸(間隙)單元，即使定義了也將被忽略。

需要記住以下兩個要點［10］:

(1)模態(tài)分析中只有線性行為是有效的，如果指定了非線性單元，他們將被當作是線性的。例如，如果分析中包含了接觸單元，則系統(tǒng)取其初始狀態(tài)的剛度值并且不再改變此剛度值。

(2)必須指定彈性模量EX(或某種形式的剛度)和密度DENS(或者某種形式的質(zhì)量)。材料性質(zhì)可以是線性的或非線性的、各向同性或正交各向異性的、恒定的或與溫度有關的，非線性特性將被忽略。用戶必須對某些指定的單元(COMBIN7，COMBIN14，COMBIN37)進行實常數(shù)的定義。在上面有槽圓筒型永磁直線電機分析的基礎上，進一步分析電機的極弧系數(shù)、永磁體厚度和氣隙長度對三種圓筒型永磁直線電機氣隙磁場的影響。

3.1基于能量法的電機振動模態(tài)的有限元分析模型

能量法的基礎是拉格朗日方程。在能量法計算中，一般用廣義坐標來描述系統(tǒng)，將系統(tǒng)的動能和勢能等表示為廣義坐標及其導數(shù)的函數(shù)［11］。系統(tǒng)的拉格朗日運動方程可表示為

式中: L——拉格朗日函數(shù)L = T－U;

T——系統(tǒng)動能;

U——系統(tǒng)勢能;

Fi——系統(tǒng)非保守廣義力;

qi——廣義坐標，i =1，2，3…。

在有限元解法中，單元的動能為

勢能為:

式中:δ——單元節(jié)點位移向量;

ρe——質(zhì)量密度;

N——形函數(shù);

B——應變矩陣;

D——彈性矩陣。

代入拉格朗日方程，可推導出單元的質(zhì)量矩陣為

單元的剛度矩陣為

依據(jù)Hamilton原理和應力-應變、應變-位移的關系［7］，導出電機離散后單元的運動方程為

式中:［K］——剛度矩陣;

［R］——阻尼矩陣;

［M］——質(zhì)量矩陣;

{ u}——節(jié)點的位移矢量;

{ F}——節(jié)點的力矢量。

將各個離散的單元方程組聯(lián)合成總的系統(tǒng)方程組，經(jīng)過整理則可得出系統(tǒng)標準的運動方程為

對電機結(jié)構(gòu)的有限元分析可以獲得電機的振動模態(tài)和固有頻率。固有頻率的計算一般為無阻尼自由振動頻率，故在式(20)中，令{ F} =0，時間倒數(shù)(·)用jw代替(w為角頻率)，則電機結(jié)構(gòu)的無阻尼自由振動模態(tài)分析對應的特征值問題為

根據(jù)線性方程組理論有非零解的充分必要條件為

解出滿足方程(21)和(22)的頻率w2和對應的非零解向量{ ur} (r = 1，2，3…)，則wr，{ ur}分別為電機結(jié)構(gòu)的固有頻率和固有振型。

有限元法ANSYS軟件提供了子空間法、分塊Lanczos法、Power Dynamics法、縮減法、非對稱法、阻尼法和QR阻尼法7種模態(tài)提取方法。大多數(shù)分析都選用前四種求解方法，非對稱法和阻尼法只在特殊情況下會用到。本文主要采用分塊Lanczos方法對問題展開求解。此方法應用于提取大模型的多階模態(tài)，經(jīng)常應用在具有實體單元或殼單元的模型中，特別是在模型中包含形狀較差的實體和殼單元，它的計算速度很快，但要以消耗內(nèi)存為代價［12］。

分塊Lanczos法的特征值求解器采用缺省求解器。它采用Lanczos算法，是由一組向量來實現(xiàn)Lanczos遞歸運算。這種方法和子空間法一樣精確，但速度更快。無論EQSLV命令指定過何種求解器進行求解，分塊法都將自動采用稀疏矩陣方程求解器。計算某系統(tǒng)特征值譜所包含一定范圍的固有頻率時，采用這種方法特別有效。計算時，求解從頻率譜中間位置到高頻端范圍內(nèi)的求解收斂速度和求解低階頻率時基本上一樣快。因此，當采用頻移頻率(FREQB)來提取從FREQB(起始頻率)的模態(tài)時，提取大于FREQB的n階模態(tài)和提取n階低頻模態(tài)的速度基本相同。在本章的計算中均采用了這種方法。

3.2定子鐵心的模態(tài)分析

利用ANSYS對2極18槽PMSM的定子進行模態(tài)仿真，電機定子鐵心的彈性模量通常取(2.05～2.15)×1011N/m2，密度為7 305 kg/m2，泊松比是0.3。采用有限元軟件進行模態(tài)仿真時，模型選用的單元類型為PLANE82，分析類型選用分塊的蘭索斯(Block Lanczos)法，求解的模態(tài)數(shù)選擇為40，擴展的模態(tài)數(shù)選擇為40。2極18槽永磁同步電機定子鐵心三維有限元模型如圖2所示，模態(tài)分析后得到的不同固有頻率以及不同階振型如圖3所示。

圖2　定子鐵心三維有限元模型

由表1中可以看出三維定子模型更加接近實際模型，可以得到豐富的模態(tài)和固有頻率信息，有些頻率相近，這是由于電機定子結(jié)構(gòu)是對稱的，會出現(xiàn)振型和頻率相同但相位不同的情況;考慮永磁同步電動機定子結(jié)構(gòu)的固有模態(tài)，這樣有利于避免電磁共振，減少振動幅值，從而有利于降低電磁振動和噪聲。

表1　永磁同步電機定子三維模型的振型和固有頻率

4　結(jié)語

本文得出模態(tài)分析的一些理論依據(jù)，利用有限元分析軟件ANSYS建立了2極18槽永磁同步電機樣機定子的三維有限元模態(tài)分析模型，計算得到了樣機的振型及振動固有頻率，從而為該種電機避免共振起到了預見性作用。對不同結(jié)構(gòu)高轉(zhuǎn)速、低噪聲的PMSM避免共振和設計提供參考。

【參考文獻】

［1］GLASGOW D A，NELSON H D.Stability analysis of rotor bearing systems using component ode synthesis journal of mechanical design，transactions of the ASME［J］.IEEE Proceedings Electric Power Applications，1980，102(2) : 352-359.

［2］GIRGIS，R S，VERMA S P.Method for accurate determination resonant frequencies and vibration behavior of stators of electrical machines［J］.IEEE Proceedings Electric Power Applications，1981，103 (1) : 1-11.

［3］李俊武.小功率永磁同步電動機電磁振動與噪聲研究［D］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學，2009.

［4］EDE D J，ZHU Z Q，HOWE D.Rotor resonances of high-speed permanent-brushless machines［J］.IEEE Transactions On Industry Applications，2002，38(6) : 1542-1548.

［5］王忠建，王宏華.開關磁阻電動機振動特性的有限元分析［J］.噪聲與振動控制，2003(3) : 14-17.

［6］孫劍波，詹瓊?cè)A，黃進.開關磁阻電機的定子振動模態(tài)分析［J］.中國電機工程學報，2005 (22) : 148-152.

［7］李德葆.振動模態(tài)分析及其應用［M］.北京:宇航出版社，1989.

［8］陳永校，諸自強，應善成.電機噪聲的分析與控制［M］.杭州:浙江大學出版社，1987.

［9］孫劍波.開關磁阻電機的減振降噪和低轉(zhuǎn)矩［D］.武漢:華中科技大學，2005.

［10］王建江，胡仁喜，劉英林.ANSYS11.0結(jié)構(gòu)與熱力學有限元分析實例指導教程［M］.北京:機械工業(yè)出版社，2008.

［11］盛劍霓.工程電磁場數(shù)值分析［M］.西安:西安交通大學出版社，1991.

［12］佟寧澤.大中型感應電機電磁力及定子振動分析［D］.沈陽:沈陽工業(yè)大學，2006.

圖3　定子鐵心模態(tài)分析的固有頻率及振型

Vibration Characteristics Modal Research of Permanent Magnet Synchronous Motor

HUANG Kefeng，XU Ye，WANG Jinquan
(Engineering Institute of National Defense，PLA University of Science and Technology，Nanjing 210007，China)

Abstract:The electromechanical analytical method was used to derive the calculation method of the natural frequency of the stator，and the ANSYS software was used to set up motor stator three-dimensional finite element model and model analysis，calculate the natural frequency and vibration mode，avoid resonance vibration with the frequencies and force wave exponent number of electromagnetic force which could reduce electromagnetic vibration and noise of PMSM.

Key words:permanent magnet synchronous motor(PMSM) ; natural frequency; modal research

收稿日期:2015-08-31

作者簡介:黃克峰(1986—)，男，博士，講師，研究方向為永磁電機設計和負載特性分析。

*基金項目:國家自然科學青年基金(51507180)

中圖分類號:TM 351

文獻標志碼:A

文章編號:1673-6540(2016) 03-0022-006