淺談變形技巧在中職數學教學中的應用

馮會奇

摘要：許多數學問題都有一定難度，解決他們往往需要一定的技巧.為了在有限的時間內快速而準確地解決數學題，我們就必須采取一些方法與技巧.這就要求我們在平時的學習過程中細心觀察、認真積累一些經驗與方法。本文以舉例的形式重點介紹了在中職數學三角函數、不等式以及數列解題中的應用。

關鍵詞：變形技巧；中職數學；三角函數；不等式；數列

中圖分類號：G6718文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2016）04-0280-01

變形是數學解題活動中最基本而又常用的方法，它既靈活又多變，一個公式，一個法則，它的表述形式是多種多樣的。變形是為了達到某種目的或需要而采取的一種手段，是化歸、轉化和聯想的準備階段，它屬于技能性的知識，當然存在著技巧和方法，也就需要人們在學習數學的實踐中反復操練才能把握，乃至靈活應用。在數學解題中，為了完成論證、求值、化簡等的任務，常要對某些式子進行恒等變形，但是恒等變形又無一定之規，一個式子往往有多種可能的變形方向，因題而異，技巧性非常強。掌握并靈活應用這些技巧，在解題時往往能化繁為簡、游刃有余。

1.三角函數中變形的應用

三角函數是初等函數的重要組成部分，它與初等代數、初等幾何的關系十分密切。特別是三角函數的求值問題，而三角函數求值的關鍵是合理地進行三角恒等式的變形，其基本思路是"三看"，即一看角、二看函數名稱、三看結構特征。除此之外，我們還常常應用代數的技巧和構造法，為三角恒等變形創造條件。

例1.已知y=sinA+√3cosA，求該函數的最大值和最小值。

分析：首先利用三角形的恒等變形，先進性函數化簡，在進行求解。

解：y=2（12sinA+32cosA）=2（sinAcos60°+cosAsin60°）=2sin（A+60°），所以本函數的最大值為2，最小值為-2。

點評：本題實際利用三角恒等式形如asinA+bcosA（其中a，b為非零實數）的三角函數式化歸為同名同角三角函數式的方法。

例2.試求cos210°+cos250°-sin40°sin80°的值。

分析：由于cos2A+sin2A=1，con2A-sin2A=cos2A，所以我們可以通過構造對偶式，以減少三角變換的難度。再觀察所求三角函數式，不難發現它與余弦定理非常相似，所以我們還可以通過構造三角形，使問題得到整體的解決。

方法一：設x= cos210°+cos250°-sin40°sin80°，y= sin210°+sin250°-cos40°cos80°，則x+y=2-cos40°，x-y=cos20°+cos100°+cos120°=2cos60°cos40°-12=cos40°-12，兩式相加，得2x=32，即x=34，所以cos210°+cos250°-sin40°sin80°=34。

方法二：原式=sin280°+sin240°-2sin40°sin80°*cos60°，構造△ABC，使角A=80°，角B=40°，角C=60°，外接圓直徑2R=1，由正弦定理得a=sin80°，b=sin40°，c=sin60°；由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos60°，所以sin280°+sin240°-sin80°sin40°=34，故cos210°+cos250°-sin40°sin80°=34。

點評：這里通過構造對偶式和三角形來求三角函數式的值是一種較高的變形技巧。

2.不等式解題中變式的應用

不等式作為數學的重要內容，對學習者的邏輯推理要求較高，解這類題時經常用到變式。

例3.已知a﹥b﹥c，求證1a-b+1b-c ≥4a-c。

分析：通過觀察可發現a-c可以變形為a-b+b-c，即式子a-c中加了0。（-b+b=0）。則再利用不等式的性質可方便解決這道題。

證明：因為a﹥b﹥c，所以a-b﹥0，b-c﹥0，所以（a-c）（1a-b+1b-c）=[（a-b）+（b-c）]（ 1a-b+1b-c） ≥a-bb-c*21a-b*1b- c=4，又因為a-c﹥0，所以 1a-b+1b-c ≥4a-c。

點評：不等式的證明中常見的變形技巧主要包括拆項、配項，添項、湊項、除項、分離、平方、換元、放縮、引參等，在解題時，當不能明確地看出是否可以應用基本不等式時，如果合理地應用變形技巧，可以快速簡捷進行巧解，進而取得事半功倍之效。

3.在數列解題中變形的應用

數列問題是中職數學的重要知識點。求和問題一直是數列研究的重要方向。對于復雜數列往往習慣采用對通項公式變形，將其變為熟悉的數列的求和問題。常用的變形方法有公式法、倒序相加法、錯位相減法、分組求和法、裂項相消法。

3.1公式法：①等差數列求和公式；②等比數列求和公式。如：等比數列{an}的前n項和Sn=2n-1，則a21+a22+a23+…+a2n=____。

2.倒序相加法。若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數列的通項與組合數相關聯，則常可考慮選用倒序相加法，發揮其共性的作用求和（這也是等差數列前n和公式的推導方法）如：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°的值。

3.3錯位相減法：如果數列的通項是由一個等差數列的通項與一個等比數列的通項相乘構成，那么常選用錯位相減法（這也是等比數列前n和公式的推導方法）如：求和：Sn=1+3x+5x2+7x3+…+（2n-1）xn-1。

3.4分組求和法。在直接運用公式法求和有困難時，常將"和式"中"同類項"先合并在一起，再運用公式法求和。如：求和：Sn=-1+3-5+7+…+（-1）n（2n-1）。

3.5裂項相消法：如果數列的通項可"分裂成兩項差"的形式，且相鄰項分裂后相關聯，那么常選用裂項相消法求和。如：求和：11×4+14×7+…+13n-2×（3n+1）=____。

總之，變形在數學解題中的運用時很常見的，有鑒于題型的千變萬化，變形的方法也因題不同。但筆者相信只要勤于練習，勤于思考，就能找到其中的規律。

參考文獻：

[1]王燁.淺談變形技巧在中職數學中的應用[J].數理化解題研究，2016（03）.