發展初一學生類比猜想能力的方法探微

李磊 金楊建

[摘 要] 類比和猜想是密不可分的兩種數學學習方法，類比和猜想均是一種或然性的推理，其結論是否正確還有待實踐證明. 但是，數學問題的提出和解決，是推動數學發展的重要力量，發現問題某種程度上比解決問題更重要，因此，在數學教學中，加強學生類比猜想能力的培養對提高學生的思維能力和創造力具有重要的意義.

[關鍵詞] 初中數學；類比；驗證；思維能力

類比是一種方法和意識，猜想是一種能力和思考. 開普勒說：“我珍視類比勝過任何別的東西，它是我最信賴的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何學中它是最不容易忽視的. ”幾何中確實有許多豐富而有趣的知識、問題和結論，能夠較好地發展學生的類比猜想能力. 筆者以蘇科版教材七年級上“平面圖形的認識（一）”和七年級下“平面圖形的認識（二）”（以下簡稱教材）兩個章節中的相關內容，談一談發展初一學生類比猜想能力的方法.

從知識聯系并尋找類比猜想的切入點

波利亞認為，類比就是一種相似. 從教材中尋找知識之間的相似，有助于學生初步感受類比的方法. 例如：線段和角是幾何概念中的兩個基本元素，線段的中點和角平分線之間存在著許多相似之處. 筆者執教“6.2 角”時，采取的策略就是類比——復習線段中點的定義、性質及其幾何語言，從而類比得出角平分線的定義、性質，及其幾何語言. 板書設計如圖3（對教材適當加工）：

線段中點相關知識的復習，一方面是對之前課程內容的復習，另一方面也為本節課的類比學習埋下伏筆. 在授課過程中，由線段中點類比角平分線的相關知識，是由學生猶如行云流水般類比得出的，酣暢淋漓. 《義務教育數學課程標準》（以下稱《標準》）指出，數學知識的教學，應注重學生對所學知識的理解，體會數學知識之間的關聯. 本節課此處教學方法的設計、板書的設計均強調了中點與角平分線這兩個知識之間的關聯，有助于學生達到其“最近發展區”. 用類比搭建了知識與知識之間橋梁的同時，為發展學生的類比猜想能力提供了一個立足教材的切入點.

從方法共性尋找類比猜想的生長點

張奠宙教授指出，“學生通過無處不在的基本數學活動獲得的經驗，與數學基本知識、基本技能、基本思想方法交織在一起，滲透在整個數學學習過程之中”，并給出了四基模塊示意圖（如圖4）. 從中可以看出，數學基本思想方法是在基本知識、基本技能的基礎上，結合學生的基本活動經驗發展而來的，因此，教學中通過例題講解這一基本學習活動發展學生的數學基本思想方法十分必要.

教學教材“6.1 線段、射線、直線（第2課時）”時，筆者設計了以下例題1（即三個問題）.

問題1 如圖5，點C為線段AB上任意一點，點M，N分別為AC，BC的中點，則線段MN與AB滿足何種數量關系？說明理由.

同時，在實際教學過程中，筆者追加一問.

問題2 如圖6，若點C在線段AB的延長線上，上述結論是否仍成立？說明理由.

最后，筆者又補充一問.

問題3 若點C在線段AB的反向延長線上，上述結論是否仍成立？說明理由.

這三個問題的設計，主要用于發展學生在方法上類比的意識，同時也為角的學習做鋪墊.

筆者執教“6.2角”時，仍呈現這三個問題，并板書主要過程（此處不贅述），同時提出：“請類比我們在學習線段中點知識時的這一情形，自編角平分線類似的問題，猜測其結論，并說明理由. ”待學生小組討論后，陸續呈現例2的3個問題（筆者做了必要的提示及語言規范）：

問題1 如圖7，OC為∠AOB內任意一條射線，OM，ON分別為∠AOC和∠BOC的平分線，則∠MON與∠AOB滿足何種數量關系？說明理由.

問題2 如圖8，OC為∠AOB外任意一條射線，OM，ON分別為∠AOC和∠BOC的平分線，則∠MON與∠AOB滿足何種數量關系？說明理由.

問題3 如圖9，OC為∠AOB外任意一條射線，OM，ON分別為∠AOC和∠BOC的平分線，則∠MON與∠AOB滿足何種數量關系？說明理由.

學生亦能從之前復習線段中點三個問題的解題過程中類比找出這三個問題的解題思路和證明過程，課堂進行得很流暢，學生亦能從簡單模仿中強化證明思路和推理方法.

在對本題進行小結時，筆者拋出如下問題：例1中的三個問題，點C均在直線AB上，若在直線AB外（如圖10），結論仍然成立嗎？同理，例2中的三個問題，OC均在平面內，若在平面外（筆者利用圓規和教鞭模擬），結論仍然成立嗎？兩個問題的拋出，立即引起了學生的熱議.

第一個問題，就目前初一學生所掌握的知識，學生無法解決；第二個問題，學生在初中階段也無法解決（立體幾何中的問題），但這兩個問題未嘗不是對例1、例2類比的升華？對培養學生的類比猜想能力有一定的幫助. 同時，這兩個問題大大增強了學生的學習興趣和熱情. 當學生學習中位線知識以及高中學習立體幾何之后回過頭來想這個問題，必定會為數學中這一奇妙的結論所吸引，也會為自己初一時正確的猜想而喜悅. 正如《標準》指出的，學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等過程.

從結論共性尋找類比猜想的延伸點

顧泠沅教授指出，類比包含表層類比（形式或結構上的簡單類比）；深層類比（方法或模式上的縱向類比）；溝通類比（各分科之間的類比）. 例1中的三個問題之間、例2中的三個問題之間都屬于表層類比，例1與例2之間則屬于深層類比. 筆者最后拋出的問題則屬于溝通類比. 類比是猜想的基礎，猜想是類比的升華. 但是，為了發展學生的類比猜想能力，不能僅僅停留在形式、方法相同或相似上，而應在異中探同，同中猜異.

一次作業中出現了如下習題.

習題 如圖11，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACE，BD與CD相交于點D，問：∠A與∠D有怎樣的數量關系？請說明理由.

講評作業時，筆者又呈現了這道試題的兩個變式：

變式1 如圖12，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，BD與CD相交于點D，問：∠A與∠D有怎樣的數量關系？請說明理由.

變式2 如圖13，在△ABC中，BD平分△ABC的外角∠CBE，CD平分△ABC的外角∠BCF，BD與CD相交于點D，問：∠A與∠D有怎樣的數量關系？請說明理由.

但筆者并未立即組織學生繼續探究變式2的結論，而是要求學生結合習題和變式1的已得結論，大膽猜測變式2的結論. 雖然猜測的過程并不一帆風順，但這個過程對培養學生的類比猜想能力有一定的幫助. 正如《標準》指出的，“推理是數學的基本思維方式，也是人們學習生活中經常使用的思維方式.……合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比推斷某些結果……”課堂是允許犯錯的地方，學生類比猜想出錯誤的答案未嘗不是一件好事.

再次借用張奠宙教授的話：“多年來，數學思想方法本身的研究非常豐富，但是如何在課堂上進行思想方法的教學，研究的文獻非常少. ”筆者僅想通過對“平面圖形的認識”部分教學環節的思考，以發展初一學生類比猜想能力的方法為切入點，探索數學思想方法在課堂教學中的實際應用. 路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索.