小學(xué)六年級數(shù)困生與數(shù)優(yōu)生應(yīng)用題解題錯誤的比較研究

單洪雪

〔摘要〕以小學(xué)六年級數(shù)困生和數(shù)優(yōu)生各20名為被試，對其在數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題中所犯的錯誤進(jìn)行比較分析，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：（1）測題類型上，六年級學(xué)生在常規(guī)應(yīng)用題上表現(xiàn)出“高限效應(yīng)”，非常規(guī)試題訓(xùn)練對于數(shù)困生尤為重要；（2）變化題要防范“審題”和“元認(rèn)知”等錯誤，合并題要預(yù)防“目標(biāo)監(jiān)控”和“知識”錯誤，比較題主要提高認(rèn)知策略和元認(rèn)知策略；（3）針對全體學(xué)生，特別是數(shù)困生，需要全面加強(qiáng)概化思維和具體化思維訓(xùn)練、“不一致比較”題目訓(xùn)練和元認(rèn)知能力培養(yǎng)。

〔關(guān)鍵詞〕小學(xué)；六年級；應(yīng)用題；解題錯誤；數(shù)困生；數(shù)優(yōu)生

〔中圖分類號〕G44 〔文獻(xiàn)標(biāo)識碼〕A 〔文章編號〕1671-2684（2016）06-0012-06

一、問題提出

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不良（MD）是學(xué)齡兒童中較為普遍的學(xué)習(xí)不良類型。美國一項(xiàng)大規(guī)模研究發(fā)現(xiàn)：約有6%的小學(xué)生和初中生被診斷為MD，另外約有5%的兒童被診斷為有閱讀困難（RD）[1]。在另一項(xiàng)研究中，美國的教師報告：在他們的學(xué)生里，有26%的學(xué)生由于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難而接受特殊教育[2]。雖然數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難對學(xué)生來說是普遍的，但是，在學(xué)習(xí)困難研究領(lǐng)域，與閱讀困難研究相比較，關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的研究是較少的[3]。

應(yīng)用題學(xué)習(xí)在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有非常重要的地位，它是初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。許多研究表明，大多數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難學(xué)生都表現(xiàn)為在解應(yīng)用題上有困難，而且這一問題隨著年級的升高會越來越嚴(yán)重[4]。

近一二十年來，國外相關(guān)領(lǐng)域的研究興趣逐漸轉(zhuǎn)向?qū)τ袛?shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難學(xué)生的認(rèn)知分析和教育干預(yù)，其中尤以研究數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難學(xué)生問題解決過程為這個領(lǐng)域的熱門話題。原因是它可以幫助數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難兒童更好地完成學(xué)校教育的任務(wù)，而且有助于更深入地揭示學(xué)生學(xué)習(xí)和解決問題的過程，對認(rèn)知心理學(xué)和教育心理學(xué)的發(fā)展都有促進(jìn)作用。

綜合關(guān)于數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題影響因素的研究成果，可以總結(jié)出如下一些結(jié)論：當(dāng)應(yīng)用題中包含了一些額外的信息或者出現(xiàn)了語句陳述不一致的條件時，學(xué)生的解題表現(xiàn)就會較差；數(shù)學(xué)解題圖式的形成和發(fā)展直接影響學(xué)生對問題類型的識別和問題的正確表征；元認(rèn)知因素則貫穿學(xué)生解應(yīng)用題的全過程，影響學(xué)生的解題行為[5-8]。

但另一方面，我們也可以看到，目前國內(nèi)應(yīng)用題解決的研究主體主要包括心理學(xué)科研人員和教學(xué)一線的數(shù)學(xué)教師。心理學(xué)科研人員關(guān)注的領(lǐng)域比較有限和微觀，而教師的科研報告往往比較宏觀和經(jīng)驗(yàn)化，二者存在脫節(jié)。因此，本研究擬通過現(xiàn)場實(shí)驗(yàn)，采用目前已被證明比較有效的錯誤類型分析方法，比較數(shù)優(yōu)生與數(shù)困生的共性和差異，從而得出既有科學(xué)的理論基礎(chǔ)又直接指向?qū)嵺`的結(jié)論。

在課題組的前期研究中發(fā)現(xiàn)，在面對不同的試題類型、題目類型和難度附加條件時，四年級和五年級的數(shù)優(yōu)生和數(shù)困生既表現(xiàn)出了階段性特點(diǎn)，又表現(xiàn)出連續(xù)性特點(diǎn)。因此，本研究擬以六年級學(xué)生為研究對象，繼續(xù)探究進(jìn)一步的規(guī)律。

本研究的基本設(shè)計為：2（學(xué)生類別：數(shù)優(yōu)生、數(shù)困生）*2（試卷類型：常規(guī)試題、非常規(guī)試題）*3（題目類型：變化題、合并題、比較題）。非常規(guī)試題中包含四種難度類型（隱蔽條件、概化思維、具體化思維、不一致比較）。學(xué)生類型和試卷類型為被試間設(shè)計，題目類型為被試內(nèi)設(shè)計，難度類型為不完全被試內(nèi)設(shè)計。最后測量的因變量為所分錯誤的類型和數(shù)量。通過分析數(shù)優(yōu)生和數(shù)困生在不同試卷類型、不同題目類型和不同難度類型之下的錯誤類型和數(shù)量差異，探討小學(xué)六年級學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用題錯誤的特點(diǎn)和影響因素等。

二、研究過程

（一）被試的選擇

在某小學(xué)六年級隨機(jī)選取由同一數(shù)學(xué)教師任教的兩個自然班作為實(shí)驗(yàn)班。根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的操作定義：學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績比根據(jù)其智力潛能達(dá)到的水平顯著落后，而且他們可能同時在學(xué)習(xí)、品德和社會性上存在問題。這樣，本研究選擇數(shù)困生的標(biāo)準(zhǔn)為：（1）本學(xué)期三次重要數(shù)學(xué)考試的平均成績居全班后20%；（2）讓科任教師根據(jù)MD的操作定義和特點(diǎn)，對學(xué)生作出綜合評價，指出班內(nèi)哪些學(xué)生屬于MD；（3）滿足兩條排除性標(biāo)準(zhǔn)：排除智力落后（IQ<70）和智力超常（IQ>130）；排除明顯軀體或精神疾病。于是，在兩個班中各挑出10名數(shù)困生（人數(shù)：男，10；女，10）。同時，相應(yīng)選出了各10名數(shù)優(yōu)生（人數(shù)：男，11；女，9）。共得到被試40人。

（二）研究材料和工具

1.智力量表

采用張厚粲等人修訂的《瑞文標(biāo)準(zhǔn)推理測驗(yàn)》（Ravcns Standard Progressive Matrices）。該量表經(jīng)國內(nèi)多次使用，已被證明有較高的信度和效度。

2.數(shù)學(xué)成績

采用被試本學(xué)期三次重要考試的數(shù)學(xué)成績的平均分為學(xué)生類別的劃分指標(biāo)。

3.應(yīng)用題測驗(yàn)

在小學(xué)階段，學(xué)生接觸到的算術(shù)應(yīng)用題主要分為變化題、合并題和比較題三種類型。據(jù)此，自編小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題兩套（A卷和B卷），經(jīng)小學(xué)六年級的數(shù)學(xué)教師共同討論和小規(guī)模試測，刪除了過難的題目和沒有學(xué)到的內(nèi)容，并對題目的文字表述進(jìn)行了較大修改，最后每套各保留了10道相對應(yīng)的題目。其中1、2、4是變化題，3、6、8是合并題，5、7、9、10是比較題。

A卷是常規(guī)類型題，即問題表述與教材和平時練習(xí)題目相同。B卷的題目在題目內(nèi)容、基本數(shù)量關(guān)系和計算難度上與A卷保持一致，但題干表述與常規(guī)類型題目不同，這無疑增加了題目的難度。具體而言，與A卷的相應(yīng)題目相比，在B卷的10道題當(dāng)中，1、8題包含了隱蔽條件，2、6題增加了對概化思維能力的考查，3、4題增加了對具體化思維的考查，5、7、9、10是比較類應(yīng)用題中的不一致型問題。隱蔽條件是指對題目中的數(shù)量關(guān)系不以直接的形式呈現(xiàn)，如7天以“一周”這個詞來代替。概化思維意在考查學(xué)生是否形成了整體概念，如在第二題（同學(xué)們?nèi)ス珗@劃船，三年級比四年級少去18人，少租了3條船。問平均每條船坐幾人？）中，如果學(xué)生說由于不知道三年級和四年級各自有多少人，無法解答此題，則意味著學(xué)生沒有把這兩個班級作為一個整體來看，沒有充分理解題意。具體化思維是考查學(xué)生在解決實(shí)際問題上的能力。根據(jù)文字表達(dá)和數(shù)量關(guān)系是否一致可將比較問題分為兩類：一致問題和不一致問題。一致問題即問題中的關(guān)鍵詞與正確的解決計劃相一致，比如：小明有5個蘋果，小強(qiáng)比小明多1個蘋果，小強(qiáng)有幾個？關(guān)鍵詞是“多”，而正確的解法也是加法；不一致問題即問題中的關(guān)鍵詞與正確的解題計劃不一致，比如：小明有5個蘋果，他比小強(qiáng)多1個蘋果，小強(qiáng)有幾個？關(guān)鍵詞是“多”，正確的解法卻是減法。這與小學(xué)生的語意理解能力有關(guān)聯(lián)。一致題與學(xué)生思維習(xí)慣和平時練習(xí)相同，不一致題對小學(xué)生而言則增加了解題的難度。

在每一道應(yīng)用題下面有五個小問題，分別是：（1）你認(rèn)為已知條件充分嗎？給出了三個備選答案：剛好充足、缺少條件、充足但有多余條件。（2）你認(rèn)為解這道題的關(guān)鍵是什么？（3）列式計算。（4）列豎式、畫圖、演算等的區(qū)域（專門預(yù)留了一定的空間）。（5）如果你不會也沒有關(guān)系，告訴我們原因是什么？這五個問題擬從學(xué)生的審題、找到解題關(guān)鍵、列式和結(jié)果的計算等方面考查小學(xué)生的解題過程。同時，要求做題過程中寫出盡量詳盡的步驟報告，包括所有演算、推理過程。解題前后的問題設(shè)置都是為了在大樣本的測驗(yàn)中盡可能地外化解題的思維過程。

正式施測前的小規(guī)模預(yù)測表明兩套題目都具有較好的區(qū)分度。

（三）研究程序

1.自編數(shù)學(xué)應(yīng)用題測驗(yàn)的施測

兩個班同時進(jìn)行測驗(yàn)，隨機(jī)選取一個班施測A卷，另一個班施測B卷。每個學(xué)生一份測試題，獨(dú)立完成，時間為50分鐘。指導(dǎo)語中強(qiáng)調(diào)不是考試，是為了消除學(xué)生的緊張感，以利于更好地解題。正式計時前先由主試以一道應(yīng)用題的解答為例詳細(xì)講解做題要求和基本步驟。測驗(yàn)時，每班都有一名主試（心理學(xué)專業(yè)的碩士研究生）和本班的班主任在場維持秩序，以保證測驗(yàn)的順利進(jìn)行。

測驗(yàn)后根據(jù)每道題目中五個小問題的回答情況統(tǒng)計所犯錯誤的類型和各類型錯誤的數(shù)量。

2.以自然班為單位進(jìn)行瑞文智力測驗(yàn)

同時，查閱學(xué)生成績檔案，選取被試本學(xué)期三次重要數(shù)學(xué)考試成績，以平均分作為學(xué)生數(shù)學(xué)能力的標(biāo)準(zhǔn)；訪談每個班的數(shù)學(xué)科任教師，請他們根據(jù)MD的操作定義確定數(shù)困生，并了解學(xué)生的基本情況；根據(jù)同樣選擇標(biāo)準(zhǔn)確定數(shù)優(yōu)生。

以自然班為單位全體施測是為了營造自然氛圍，避免單獨(dú)抽出數(shù)優(yōu)生和數(shù)困生帶來的實(shí)驗(yàn)效應(yīng)。智力測驗(yàn)和數(shù)困生、數(shù)優(yōu)生的選擇最后進(jìn)行，并要求該班數(shù)學(xué)教師回避測驗(yàn)整個過程等，避免實(shí)驗(yàn)者效應(yīng)和教師期望效應(yīng)。

（四）數(shù)據(jù)處理

用SPSS19.0統(tǒng)計軟件包對收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和分析。

三、結(jié)果與分析

（一）錯誤類型統(tǒng)計

在本研究中，小學(xué)生解決應(yīng)用題所犯的錯誤可總結(jié)為七種類型：第一類是審題錯誤，指將條件充足的題目錯誤地判斷為條件缺乏或條件多余，從而沒有作答；第二類是轉(zhuǎn)換錯誤，指由于對第一步表示關(guān)系的運(yùn)算產(chǎn)生了錯誤的表征，因而運(yùn)算用了相反的運(yùn)算（即應(yīng)該用加法時用了減法，應(yīng)用減法時用了加法，應(yīng)用乘法時用了除法，應(yīng)用除法時用了乘法）；第三類是目標(biāo)監(jiān)控錯誤，指錯誤理解題目要求、只算了一步或只用了一個條件；第四類是計算錯誤；第五類是知識錯誤，指學(xué)生把不相關(guān)的數(shù)字進(jìn)行運(yùn)算；第六類上數(shù)字抄寫錯誤，屬于粗心或馬虎；第七類是什么也沒有作答的，原因比較復(fù)雜，可能是難度過大，根本不會無法下手，也可能是時間分配不合理沒能做完。也就是說，“沒做”的錯誤應(yīng)該反映的是認(rèn)知策略搜尋和元認(rèn)知策略的缺失。

這七類錯誤除“沒做”反映整體應(yīng)用題解題能力最低外，其余六類按照其對未能完成題目的嚴(yán)重程度從高到低的大致順序?yàn)椋簩忣}錯誤、轉(zhuǎn)換錯誤、知識錯誤、目標(biāo)監(jiān)控錯誤、計算錯誤、數(shù)字抄寫錯誤。越排在前面的錯誤越反映出學(xué)生對題目的理解越差，對題目的把握越表淺。

（二）數(shù)優(yōu)生和數(shù)困生的錯誤分析

從兩類學(xué)生在常規(guī)試題（A卷）上所犯錯誤的總數(shù)來看，相對前期研究的四、五年級而言，六年級數(shù)困生與數(shù)優(yōu)生的錯誤都非常少，甚至出現(xiàn)了在較簡單的題型上數(shù)優(yōu)生的錯誤數(shù)略微高于數(shù)困生的情況。這表明，對于六年級的學(xué)生而言，A卷已非常簡單，數(shù)優(yōu)生、數(shù)困生都能較好地完成，數(shù)優(yōu)生甚至出現(xiàn)了馬虎、輕視的情況。

較少的錯誤中，在變化題和合并題上主要犯目標(biāo)監(jiān)控錯誤，在比較題上主要為沒做和犯計算錯誤。

從兩類學(xué)生在非常規(guī)試題（B卷）上所犯錯誤的總數(shù)來看，數(shù)困生的錯誤非常顯著地多于數(shù)優(yōu)生，統(tǒng)計檢驗(yàn)的結(jié)果分別為χ2（1）=14.7275，p=0.000，χ2（1）=6.429，p=0.011和χ2（1）=9.000，p=0.003。

在三類題型上的卡方檢驗(yàn)結(jié)果表明，學(xué)生類別與錯誤類型的關(guān)聯(lián)均不顯著。變化題：χ2（4）=5.194，p=0.268；合并題：χ2（3）=2.910，p=0.406；比較題：χ2（5）=7.143，p=0.210。這表明，對于B卷而言，六年級不同類別學(xué)生的錯誤的特點(diǎn)沒有顯著性差異。

題目類型與錯誤類型的卡方檢驗(yàn)結(jié)果表明，χ2（10）=44.201，p=0.000，二者有非常顯著的關(guān)聯(lián)，即學(xué)生在不同類型題目上所犯錯誤的特點(diǎn)有顯著不同。

結(jié)合具體數(shù)據(jù)可以看出，在變化題上主要是犯審題錯誤和沒做，在合并題上犯目標(biāo)監(jiān)控和知識錯誤較多，而在比較題上沒做和知識錯誤占了相當(dāng)?shù)谋壤?/p>

從所犯錯誤的總數(shù)來看，與前期研究中五年級在同樣試題中的表現(xiàn)相比，數(shù)優(yōu)生所犯錯誤的數(shù)量有明顯下降，但數(shù)困生只是總體略有下降。

對數(shù)優(yōu)生而言，附加條件類型與錯誤類型關(guān)聯(lián)非常顯著（χ2（12）=42.689，p=0.000）。主要體現(xiàn)為“隱蔽條件”下的“知識”錯誤，“具體化思維”上的“目標(biāo)監(jiān)控”錯誤，“不一致比較”題上的“沒做”，不過數(shù)量較小。

對數(shù)困生而言，附加條件類型與錯誤類型也存在非常顯著的關(guān)聯(lián)（χ2（15）=51.334，p=0.000）。除在“概化思維”上犯“審題”錯誤較多外，其他條件下的特點(diǎn)與本年級數(shù)優(yōu)生相同。

四、討論

針對六年級數(shù)優(yōu)生與數(shù)困生在應(yīng)用題解決過程中可能存在的試題適應(yīng)性、難度適應(yīng)性和錯誤類型的共同特點(diǎn)和差異情況等進(jìn)行了詳盡分析，主要是為了通過對數(shù)優(yōu)生與數(shù)困生的比較，發(fā)現(xiàn)六年級學(xué)生應(yīng)用題解題能力的總體特點(diǎn)，為該年級階段小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)，特別是為數(shù)困生的補(bǔ)救訓(xùn)練提供參考。

第一，從A、B兩卷的錯誤總數(shù)看，在常規(guī)試題上，六年級數(shù)困生與數(shù)優(yōu)生的錯誤都非常少，錯誤數(shù)不相上下，表現(xiàn)出了“高限效應(yīng)”，試題沒有了良好的區(qū)分度。在非常規(guī)試題上，數(shù)困生的錯誤顯著地多于數(shù)優(yōu)生。可見，到了六年級，數(shù)優(yōu)生、數(shù)困生的差距主要體現(xiàn)在非常規(guī)試題上。也就是說，如果說常規(guī)題目可以通過思維成熟、年級升高和不斷重復(fù)接觸而自然提高的話，那么包含附加條件的非常規(guī)題目訓(xùn)練對于六年級數(shù)困生還是必須加強(qiáng)的。

第二，從不同題型看，在A卷中，數(shù)困生與數(shù)優(yōu)生在變化題和合并題上主要犯“目標(biāo)監(jiān)控錯誤”，在比較題上主要犯“計算錯誤”和“沒做”。一方面表明，六年級學(xué)生已全面掌握三種題型的常規(guī)解答；另一方面表明，目標(biāo)監(jiān)控、時間分配的元認(rèn)知失誤和能力欠缺依然存在。

在B卷上，六年級兩類學(xué)生錯誤的特點(diǎn)一致，表現(xiàn)為變化題上主要是犯“審題錯誤”和“沒做”，在合并題上犯“目標(biāo)監(jiān)控錯誤”和“知識錯誤”較多，而在比較題上“沒做”和“知識錯誤”占了相當(dāng)?shù)谋壤＿@一特點(diǎn)與前期研究中的五年級非常相似，但六年級“沒做”的比例較高，顯示了時間分配的不足和解題能力，特別是解比較題能力上的欠缺。

第三，從不同的附加條件看，與前期研究中的五年級相比，六年級數(shù)優(yōu)生所犯錯誤的數(shù)量有明顯下降，但數(shù)困生只是總體略有下降。這進(jìn)一步驗(yàn)證了關(guān)鍵時期的推測，可以看出五年級沒有得到很好訓(xùn)練的數(shù)困生在升入六年級后依然不會有太大提高。

對六年級數(shù)優(yōu)生而言，主要體現(xiàn)為“隱蔽條件”下的“知識錯誤”，“具體化思維”上的“目標(biāo)監(jiān)控錯誤”，“不一致比較”題上的“沒做”，不過數(shù)量較小。對數(shù)困生而言，除在“概化思維”上犯“審題錯誤”較多外，其他條件下的特點(diǎn)與同年級數(shù)優(yōu)生相同。可見，在相應(yīng)題型的主要錯誤類型上，六年級學(xué)生基本是一致的，只是數(shù)困生依然沒有很好地解決概化思維的問題。

五、結(jié)論

第一，測題類型上，六年級學(xué)生在常規(guī)應(yīng)用題上表現(xiàn)出“高限效應(yīng)”，非常規(guī)試題訓(xùn)練對于數(shù)困生尤為重要。

第二，題目類型上，常規(guī)試題中面對三種題型的目標(biāo)監(jiān)控和元認(rèn)知能力需要加強(qiáng)；而非常規(guī)試題中對于變化類應(yīng)用題要防范“審題錯誤”和“元認(rèn)知策略缺失”等，合并類應(yīng)用題要加強(qiáng)“目標(biāo)監(jiān)控錯誤”和“知識錯誤”的預(yù)防，比較題主要在于重視認(rèn)知策略和元認(rèn)知策略的提高問題。

第三，從思維能力訓(xùn)練上，六年級之前是相關(guān)訓(xùn)練的關(guān)鍵時期。針對全體學(xué)生，特別是數(shù)困生需要全面加強(qiáng)概化思維和具體化思維訓(xùn)練、“不一致比較”題目訓(xùn)練和元認(rèn)知能力培養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)

[1]Ginsberg H P. Mathematics learning disabilities：a view from develop- mental psychology[J]. Journal of Learning Disabilities，1997，30（1）：20-33.

[2]McLeod T M，Armstrong S W. Learning disabilities in mathematics：skill deficits and remedial approaches at the intermediate and secondary level[J]. Quarterly，1982，17：169-185.

[3]Ginsburg H P. Mathematics learning disabilities：A view from developmental psychology[J]. Journal of Learning Disabilities，1997，30：20-33.

[4]Diane P B，Brain R B，Donald D H. Characteristic behaviors of students with LD who have teacher-identified math weakness[J]. Journal of Learning Disabilities，1999，33（2）：168-177.

[5]李曉東，張向葵，沃建中. 小學(xué)三年級數(shù)學(xué)學(xué)優(yōu)生與學(xué)困生解決比較問題的差異[J]. 心理學(xué)報，2002，34（4）：400-406.

[6]Fuchs L S，F(xiàn)uchs D. Mathematical problem-solving profiles of students with mathematics disabilities with and without comorbid reading disabilities[J]. Journal of Learning Disabilities，2002，35（6）：563-573.

[7]張慶林主編. 當(dāng)代認(rèn)知心理學(xué)在教學(xué)中的應(yīng)用[M]. 重慶：西南師范大學(xué)出版社，1995.

[8]Montague M. Student perception，mathematical problem solving，and learning disabilities[J]. Remedial and Special Education，1997，18：46-53.

（作者單位：北京教育學(xué)院朝陽分院，北京，100026）

編輯/王抒文 終校/于 洪