初中數學教學中“合情推理”的運用策略

王麗玉

摘 要：數學教學重視邏輯推理，強調推理的嚴謹性，因此對“合情推理”往往不夠重視，導致不能夠準確運用“合情推理”.在初中數學課堂教學中，教師應根據教材內容更有效地引導學生創設合情推理的情境，這樣既提高課堂教學質量，又有益于學生推理能力的培養.

關鍵詞：初中數學；教學方法；合情推理

數學發展中的重要發現，既離不開演繹推理，也離不開合情推理所起到的重要作用，是二者相輔相成的.所謂合情推理，是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果.合情推理的兩種主要形式是歸納推理和類比推理.合情推理用于探索思路，發現結論；演繹推理用于證明結論.例如初中數學為了突破平面幾何教學的語言難、書寫難、思考難的特點，更好地發展學生的推理能力，整體設計時采取了“三階段”的處理方式：合情推理為主、演繹推理為主、合情推理與演繹推理綜合應用階段.數學學習不僅要強調思維的嚴密性，結果的正確性，還要重視思維的直覺探索性和發現性，在初中數學教學中，重視課堂合情推理情境的創設是很有意義的，本文就怎樣運用合情推理這一有效的思維方法做些討論.

1 合情推理的情境創設中存在的典型問題

1.1 合情推理情境設置不當，降低學生的思維層次

“邊探索、邊證明”，把合情推理與演繹推理綜合應用，在證明一個定理之前，先猜想、發現命題、推測思路.例如北師大八年級下第一章”等腰三角形性質的證明”.教學中，教師讓學生先觀察等腰三角形，提出猜想：兩底角相等；讓學生將三角形對折，驗證猜想、證明猜想.學生順利作出中線、高線、角平分線這些輔助線，完成了證明.本階段等腰三角形性質的證明中，無論是課堂教學的情趣性、“猜想、實驗、證明”設計的邏輯性，還是學生任務完成的流暢性，折紙實驗似乎都能起到很好的效果.但是，筆者認為，折紙情境創設并不恰當.發現等腰三角形的性質很容易，而重點是證明，證明的難點是如何作出輔助線，并且給出幾何證明的書寫，真正實現“邊探索、邊證明”，把合情推理與演繹推理融為一體.而折紙中的折痕恰好為學生暗示了輔助線，暗示了證明程序.實驗使原來高水平的認知任務被簡化成一個簡單的程序，明顯降低了學生的思維層次.

如若不設計實驗，沒有了折痕暗示的輔助線。教師可以啟發，“如何證明兩個角相等呢？”學生不難想到“三角形全等對應角相等”，教師引導：“可并沒有兩個已全等的三角形”大多數學生都能想到將三角形一分為二，考慮“怎么分會有利于證明？”這樣，學生認知參與的質量才真正決定了學生能學到什么，因此，創設合情推理情境不應該以降低學生認知參與的深度為代價的.

1.2 過于追求課堂教學結構的完整性，造成了合情推理環節的低效甚至無效

例如北師大版七年級下《認識三角形》的教學中，教師將學生分成小組，先測量三角形內角，探索發現內角和為180°，再讓學生合作進行撕紙實驗.學生將撕下的兩個角和第三個角拼在一起，發現它們組成平角，受實驗啟發，尋找證明需要的輔助線。在學完三角形內角和定理后，教師提出：“多邊形的內角和有什么規律”再由學生合作完成.

教師的設計程序：測量、猜想、實驗、證明，再由三角形的內角和拓展到多邊形內角和，從四邊形著手探究，通過歸納，由特殊到一般，由具體到抽象.這其中合情推理與演繹推理相結合，似乎整節課的結構良好，而事實上，多數學生在小學已獲知三角形內角和定理，再通過測量、撕紙片“發現”內角和180°很牽強，此處創設的合情推理基本無效.撕紙實驗的又一用意是能拼成平角發現輔助線，但拼圖是開放問題，并不一定都能拼成出現輔助線平行線的情形.可見，合情推理情境若設計的問題不當，過于簡單或是學生已知的，合情推理的教學就會低效甚至無效的.

1.3 合情推理情境創設難度過大，學生難以運用歸納與類比進行推理

例如“一元二次方程的根與系數的關系”中韋達定理的推導，教師首先提問一元二次方程的求根公式，緊接給六個方程，由學生求解，然后讓學生探求x1+x2，x1 x2有什么規律，歸納x1+x2，x1 x2與方程系數的關系，即韋達定理，然后證明 [1 ]。教師的意圖是想從具體的運算開始，讓學生用實驗和歸納發現韋達定理。在實際操作中，學生能夠想到研究x1+x2，x1 x2，而非x1+x2，x1 x2與方程系數的關系，通過六個方程及其根順利完成“從具體到抽象”的歸納，情境難度大，不容易歸納。本節課教學中，可以通過復習求根公式x1，2=時，設問引導學生發現兩根的差別在于分子中“+”和“-”的不同.學生直覺聯想到可以研究x1+x2，x1 x2，更容易推出x1+x2=-，x1 x2=.顯然設置合情推理環節不一定能使學生更加容易推導出公式，當已經具備演繹推理的條件時，教師就因地制宜，無需為了合情推理而合情推理.

上述案例中所設計的情境無法更好地體現合情推理在探索、發現結論中的價值，應讓學生感受到合情推理的必要性，而不能只流于形式.

2 準確創設合情推理情境的基本對策

合情推理情境有廣泛的來源：概念的形成、定理獲得的過程、例題的選澤和呈現，通過概念的形成，公式、定理的發現、探索、推導過程.我們應該分析學生學習的思維過程，暴露學生的認知結構，有針對性地進行情境創設，盡可能地培養合情推理能力.

2.1 創設合情推理情境應基于學生數學思維的年齡特征

教學的適度性一定程度上決定了教學的有效性，奧蘇泊爾曾說：數學教育如果用一句話來說，就是探明學生已有的狀態.恰當的合情推理情境必須是鑒于學生數學思維年齡特征.13歲到15歲的初中生其基本特征是經驗型的抽象思維正逐步過渡到理論型的抽象思維，但仍然以經驗型為主.

法3：由冪的運算法則，得am-n·an =a（m-n）+n =am （m>n）再利用除法是乘法的逆運算，可得am÷an=am-n（m>n）.雖然都是合情推理教學，法1是具體形象思維水平，通過特殊除到一般歸納概括；而法2處于經驗型抽象思維水平；法3則屬于理論型抽象思維.若以學生思維發展特征為依據，法2與初中生思維水平相適宜，高中學生的思維發展水平特征可選用法3來推導“高中復數三角式的除法”.

2.2 創設合情推理情境應簡潔明了

課堂教學的限時性決定了創設的合情推理情境要簡潔明了，比如：在探索n邊形內角和，先展示實物（五邊形水果盤、六螺帽、八仙桌），那么n邊形內角和是多少呢？引導學生探究四、五、六邊形的內角和求法.（見表1）

引導學生發現表中潛藏的規律？邊數與內角和的關系？通過表格給學生簡潔明了的歸納背景。本合情推理情境的創設以學生已認知的三角形內角和180°為研究起點，利用特殊到一般，從特殊的探究中發現一般思路，直至發現內在的本質規律。當然，對于本探索而言，思路是多元的，有多種分割方式，但為了課堂上凝聚這一基本方法，沒有拓展，而是把探尋別的分割方式置于課后作業，把探索延至課外，拓展了學生思維空間 [2 ]。這種簡潔明了的合情推理情境的創設凝聚了課堂主題，凸顯了重點，透視了本質。有利于學生對新知識概念的鞏固及掌握，從而由特殊到一般，形成良好的抽象思維習慣，提升綜合推理能力。

2.3 通過原訓練型問題的改造增設合情推理情境

新課標中用“探索并證明……”，是希望教師能把合情推理與演繹推理相結合。對原有訓練型問題的改造，比如，把確定性證明題改為“是否存在”的探究性問題、開放性問題等。將原題“請你證明……”，修改為：你發現有什么性質、特點？”便增添了合情推理的過程。

例如，已知：如圖1在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一條角平分線，AN為△ABC的外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E，連接DE，交AC于點F，如圖1所示求證：（1）四邊形ADCE是矩形，四邊形ABDE是平行四邊形；（2）DF=AB（學生剛學習矩形的性質及判定）將所求的結論改為：（1）四邊形ADCE、四邊形ABDE分別是什么特殊的多邊形；（2）DF與AB的關系。從訓練型問題修改為開放性問題，通過設問、追問形式，對教師不同的問法、提法，對學生思維發展起到截然不同的作用。

2.4 創設合情推理情境應關注知識的形成過程

教師注重學生知識的形成過程，引導其有目的、有征對性地研究解決問題的方法。向學生揭示探索數學問題的一般方法：猜想—探索—發現—比較—驗證，充分體現了類比和歸納的推理方法。學生感悟合情推理方法的同時積累了一定的活動經驗，如“矩形、菱形、正方形性質及判定”教學中引領學生經歷研究幾何的一般過程：概念—性質—判定”充分體現了類比和歸納的數學思想方法 [3 ]。在“一次函數”的教學中，教師應引領學生經歷“實際問題—建立模型—探索函數圖像及性質—函數應用”的過程，感受在探索過程中蘊涵的合情推理，積累研究函數的基本經驗，為研究反比例函數、二次函數打基礎，在學完“探索三角形全等條件”后讓學生探索三角形相似的條件；在教學“分式”時滲透類比思想；在教學“方程組”時滲透轉化思想。總之，要在課堂教學中體現類比和歸納的數學思想方法，關注學生合情推理能力的有效培養。

總之，合情推理教學要始于恰當的情境，教師要創設適合學生學習的情境，并給學生學習方法上的指導。合情推理用于探索，演繹推理用于證明，兩者相輔相成。并非所有的教學都需要始于合情推理，應當深入地了解學生學習過程中真實的思維活動，一切教學活動都必須基于教學的實際，關注學生知識的形成過程，通過課堂合情推理情境的創設，能夠更有效地促進學生合情推理能力的發展。

參考文獻：

[1]程華.數學課堂中合情推理情境創設的思考[J].中學數學教學參考，2015（7）：28.

[2]王橋生.合作學習法在初中數學課堂中的運用研究，[J].中學數學教學參考，2012（12）：19.

[3]馬秀萍.合情推理，合情也要合理[J].中學數學教學參考，2015（3）：23.