從中考一次函數應用題解答談數學模型構建

柯賢華

【摘 要】一次函數型應用題是中考數學重要內容之一。影響初中生解數學應用題的主要原因是未能將所學的數學模型用于解決實際問題。由實際問題建立關于一次函數的相關模型是解決此類問題的關鍵。

【關鍵詞】初中數學；應用題；數學模型；一次函數；案例

研究近幾年的中考數學試題看出，考查聯系實際、貼近生活、用數學知識解決實際問題的一次函數型應用題成為中考數學重要內容之一。但實際教學中，許多初中生，對于運用數學知識解決實際問題感到困難重重，難以入手，以至于在考試中不知所措，失分較多，中考成績不理想，影響了今后的數學學習。

一、影響初中生解數學應用題的原因分析

影響初中生解數學應用題的主要原因是未注重應用題背景的創設意圖，解應用題就題論題現象嚴重，輕視能力的培養，解應用題未進行生活語言和數學語言的轉化，未能將所學的數學模型用于解決實際問題，這些是我們亟待解決的問題。下面以陜西近幾年中考數學一次函數型應用題為例進行分析。

二、中考一次函數型應用題解題案例與評析

（一）案例1——方案設計問題

1.題目展示（2015·陜西21題）

胡老師計劃組織朋友暑假去革命圣地延安兩日游，經了解，現有甲、乙兩家旅行社比較合適，報價均為每人640元，且提供的服務完全相同，針對組團兩日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收費；乙旅行社表示，若人數不超過20人，每人都按九折收費，超過20人，則超出部分每人按七五折收費，假設組團參加甲、乙兩家旅行社兩日游的人數均為x人。

（1）請分別寫出甲、乙兩家旅行社收取組團兩日游的總費用y（元）與x（人）之間的函數關系式；（2）若胡老師組團參加兩日游的人數共有32人，請你計算，在甲、乙兩家旅行社中，幫助胡老師選擇收取總費用較少的一家。

2.解法簡析

分析：（1）根據總費用等于人數乘以打折后的單價，易得y甲=640×0.85x，對于乙兩家旅行社的總費用，分類討論，當0≤x≤20時，y乙=640×0.9x；

當x>20時，y乙=640×0.9×20+640×0.75（x﹣20）；

（2）把x=32分別代入（1）中對應得函數關系計算y甲和y乙的值，然后比較大小即可。

解：（1）甲兩家旅行社的總費用：y甲=640×0.85x=544x；

乙兩家旅行社的總費用：當0≤x≤20時，y乙=640×0.9x=576x；

當x>20時，y乙=640×0.9×20+640×0.75（x﹣20）=480x+1920；

（2）當x=32時，y甲=544×32=17408（元），y乙=480×32+1920=17280，

因為y甲>y乙，所以胡老師選擇乙旅行社。

3.評析

本題考查了一次函數的應用，利用實際問題中的數量關系建立一次函數關系，特別對乙旅行社的總費用要采用分段函數解決問題是關鍵。

（二）案例2——分段函數問題

1.題目展示（2014·陜西22題）

小李從西安通過某快遞公司給在南昌的外婆寄一盒櫻桃，快遞時，他了解到這個公司除收取每次6元的包裝費外，櫻桃不超過1kg收費22元，超過1kg，則超出部分按每千克10元加收費用。設該公司從西安到南昌快遞櫻桃的費用為y（元），所寄櫻桃為x（kg）。

（1）求y與x之間的函數關系式；（2）已知小李給外婆快寄了2.5kg櫻桃，請你求出這次快寄的費用是多少元？

2. 解法簡析

分析：（1）根據快遞的費用=包裝費+運費，由分段函數，當01時，可以求出y與x的函數關系式；

（2）由（1）的解析式可以得出x=2.5>1代入解析式就可以求出結論。

解：（1）由題意，當0

當x>1時，y=28+10（x﹣1）=10x+18；

所以，y=；

（2）當x=2.5時，y=10×2.5+18=43.

因此，這次快寄的費用是43元。

3.評析

本題考查了分段函數的運用，一次函數解析式的運用，由自變量的值求函數值的運用，求函數的解析式是解答本題的關鍵。

三、數學模型構建的實踐與認識

以上評析了方案設計、分段函數問題的一次函數型應用題，近年來中考數學的熱點還有與表格結合的一次函數型應用題、與最值有關的一次函數型應用題、與圖像結合的一次函數型應用題等等。一次函數型應用題，綜合了一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程組等內容，考查了數形結合、轉化、分類討論、數學建模等數學思想，解題的關鍵是讀懂領會題意，分清數量之間的關系，把實際問題轉化為數學問題，準確建立數學模型。

所謂數學模型，就是根據特定的研究目的和問題，采用形式化的數學語言，去抽象地，概括地表征所研究對象的主要特征、關系所形成的一種數學結構。數學建模就是通過建立模型的方法來求得問題解決的數學活動過程。

這一過程用如下圖來體現：實際問題→抽象為數學問題→建立數學模型→解決數學問題→得到數學結果→解釋實際問題。以上步驟可概括為三個環節：一是“從現實生活或具體情境中抽象數學問題”。這說明發現問題是數學建模的起點；二是“用數學符號建立表示數學問題中的數量關系和變化規律”。在這一步中，學生要通過分析、抽象、概括、選擇、判斷等數學活動，完成模式抽象，得到模型，這是建模最重要的一個環節；三是通過模型去求出結果，并用此結果去解釋、討論它在現實問題中的意義。

模型思想的滲透是多方位的，模型思想的感悟應蘊含于日常數學教學之中，這是培養初中生建立數學模型的宗旨。