對初中數學實踐操作性題型的探究

李小兵（福建南安延平中學　福建南安　362300）

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對初中數學實踐操作性題型的探究

李小兵
（福建南安延平中學福建南安362300）

摘要：素質教育越來越重視對學生數學思考能力和解決問題能力的發展性評價，要使學生真正做到學以致用，學有所用。

關鍵詞：素質教育 實踐操作性試題 思考能力 解題能力

實踐操作性試題逐漸成為中考命題的熱點，特別是近些年各地數學中考的壓軸題都是以這類題型為主。根據泉州市的《考試說明》，我們更應該關注學生學習數學“雙基”的結果與過程，重視對學生數學思考能力和解決問題能力的發展性評價，我市中考數學命題也更多地立足于“能力立意”，體現“過程的教育”理念，倡導在“過程”中培養學生創新精神和應用意識，回歸本源、強化課堂、培養思維。

題目來源于：南安市2013—2014學年度上學期初中期末教學質量抽查初三數學試題，第26題，作為一個壓軸題，本題不僅考查了數形結合思想，還考查了轉化化歸思想，考查了運動變化思想、分類討論思想等。首先，本題有著很明確的操作程序，工具簡單，因此，如果學生在解題的過程中能拿相應的工具進行操作，則會有不錯的效果及收獲。

本題的第一步是填寫PC與PD兩線段的大小關系（如圖1），答案并不是所有學生都能在看了一眼之后就能填定出來的。對于學習好的學生來說，第一步可能不會有什么問題的，但底子差的學生就很會感覺到這題是很有難度的，所以尋找合適的解決辦法就相當關鍵了。有個別學生跟我說，我是用尺子量了，看著它們是差不多長的，所以填了“等于號”了。對于此情況，我給予肯定的回答，思路是正確的。相對來說，在這些考試中，圖形準確性更高些，有時候可以通過最簡單的方式去得到一個推測的結果，這也是解決問題的一個方向。我們再圍繞著這個結果展開思考，就可以找到解決問題的路了。數學就是要鼓勵學生學會進行假設的，再進行證明。

要證明兩線段的相等，就尋找解決這個問題的方法。在證明線段相等的方法中，常用的方法主要有：1、這兩線段是全等三角形的對應邊，2、是等腰三角形的兩腰（等角對等邊），3、它們都等于第三條線段（轉移轉換），4、它們表示角平分線到角兩邊的距離，5、它們表示線段垂直平分線到線段兩端的距離。而這些方法中以方法1更為常見，也相對更容易理解。學生在尋找解決方法的同時，也要分析著題中所包含的條件，以尋找合適的解決方案。當題目可以用多個可選解決方案時應該先用自己熟悉的方式方法進行思考。

綜合分析題目的已知條件，可以提供的只有一個直角的角平分線，所以，在以上的幾個方法中，證明三角形的全等可以說是一個不錯的選擇，可三角形在哪兒呢？在解決問題的過程中，有時添輔助線是必不可少的。構造出對我們解決問題有幫助的三角形來是很有必須的。構造的要點：這兩個三角形要有些元素是相等的，如邊或角，同時還應該讓我們需要證明相等的兩線段是作為對應邊出現的。因此，學生要仔細分析題中可以用的條件，即明說或是暗示的相等條件，并找出這些條件對于我們的幫助是什么。本題中出現的有關于相等的條件只有一個，那就是角平分線，作用是什么呢？1、角被平分，產生兩角相等，2、角平線上的點到兩邊的距離相等。本題的證明就是利用角平分線上的點到角兩邊距離相等這一定理構造出兩個三角形，從P點作角兩邊的垂線段，從而產生了兩個直角三角形，又讓PC、PD作為對應邊出現，這離我們證明三角形全等所需條件就差不多了，只要再稍加尋找相應條件便可以解決。

第2題的難度相對較大，這是個動點問題，只要能緊扣不變量，動中取靜，找出哪些量或關系始終不變的，便能很好地解決問題了。這個也是解決所有動點問題的關鍵，如果思路老跟著動點到處跑，那肯定是沒辦法解決的。同時還要善于使用前題所采用的方法或結論。

我是這樣講解此題的，讓學生按題目的要求，操作三角板，找出可能出現的結果。其中，特別注意加點的字，即 “直線”OA。因為直線與射線的差別，結果的數量可能就產生變化了。操作過程中即可直觀地發現，符合情況的結果可能有兩個，第一個為D點在O點的右邊，第二個為D點在O點的左邊，結合這兩個結果畫出圖形并進行詳細分析。

第一種情況：D點在O點的右邊（如圖2），同時以P，C，E為頂點的三角形與△OCD相似時，即讓△PCE∽△ODC。由此可得，OC ＝OE＝1，則所求的OP即可看成△PCE的斜邊上的中線，故CE＝2OP，OP＝1。

第二種情況：D點在O點的左邊，即PD與邊OB的反向延長線相交（如圖3）。

此情況對于學生來說較難入手，OP似乎不容易算出來，所以，此時應該有個清楚的思路，將OP轉移出來，用一條更容易計算的線段來進行代替，或是找出有相關的線段來代替。

如圖3。過P作PH⊥OA，PN⊥OB，目的是構造出全等的三角形，以達到對線段的轉移的目的。

由△PCE與△OCD相似，可以推導得到∠PCE=∠OCD；

Rt△PHC和Rt△PND中，有∠PCE=∠PDN（等角的余角相等可得），PH=PN，

所以Rt△PHC≌Rt△PND（A.A.S.），可得：PC＝PD，CH＝DN。

由此可得：∠PCO=∠DCO=∠PDO =22.5°

又∠BOM=∠ODP+∠OPD=45°

∴∠ODP=∠OPD=22.5°

∴OP=OD，

目的：要計算的OP就轉化到直角三角形的邊或是邊的一個組成部分，CH＝CO－HO，DN＝DO+ON＝OP+ON，接下來只需設OP=x ，便可解出答案來。

在題目中尋找多解的信息圖形在運動變化，可能滿足條件的情形不止一種，也就是通常所說的兩解或多解，如何避免漏解也是一個令考生頭痛的問題，讓他們動起手來，他們在動的過程中進行思考分析，即可尋求相應的結果，做到不重不漏。

本題第2小題的難度比較大。出此題的本意應該是要用來區分尖子生與一般的優秀生，但就結果來看，學生思考此題的過程中是遇到了不少困難。動點問題的思考方法應該讓學生在學習的過程中自主思考，主要是注重思維的鍛煉，否則，再遇到動點問題，學生依舊是毫無頭緒。

本題為初三上學期的期末考試內容，學生還未接觸圓的相關知識，否則學生還可以通過圓的弧弦對應關系等知識解決，甚至能更簡單的，學生的思考上也會有更多的選擇和方向。

參考文獻

［1］封冰．初中數學素質教育下的“五主體思想”［J］．中學教學參考， 2010， 第16期:64-64．