新課改下中考數學“最短問題”的模型及應對策略

高尚軍

摘 要： 針對課改下數學教學中存在的問題及對策，中考“最短問題”多以直線、角、三角形、特殊的平行四邊形、梯形、圓、坐標軸、函數等載體出現.我們解題的對策是根據軸對稱實現化“折”為“直”，利用“兩點之間線段最短”、“垂線段最短”解決.

關鍵詞： 新課改 最短問題 數學模型 應對策略

一、數學模型

1.兩點之間線段最短

（1）如圖1，直線l和l的異側兩點A、B，在直線l上求作一點P，使PA+PB最小.

（2）如圖2，直線l和l的同側兩點A、B，在直線l上求作一點P，使PA+PB最小.（3）如圖3，點P是∠MON內的一點，分別在OM，ON上作點A，B，使△PAB的周長最小.（4）如圖4，點P，Q為∠MON內的兩點，分別在OM，ON上作點A，B，使四邊形PAQB的周長最小.

2.垂線段最短

如圖5，（1）點A是∠MON外的一點，在射線OM上作點P，使PA與點P到射線ON的距離之和最小.（2）點A是∠MON內的一點，在射線OM上作點P，使PA與點P到射線ON的距離之和最小.

二、應對策略

（一）利用“兩點之間線段最短”解決

如圖6，在矩形OABC中，已知A、C兩點的坐標分別為A（4，0）、C（0，2），D為OA的中點，設點P是∠AOC平分線上的一個動點（不與點O重合）.

（1）試證明：無論點P運動到何處，PC總與PD相等.

（2）當點P運動到與點B的距離最小時，試確定過O、P、D三點的拋物線的解析式. （3）設點E是（2）中所確定拋物線的頂點，當點P運動到何處時，△PDE的周長最小？求出此時點P的坐標和△PDE的周長.

（4）設點N是矩形OABC的對稱中心是否存在點P，使∠CPN=90°？若存在，請直接寫出點的坐標.

（二）利用“垂線段最短型”解決

參考文獻：

[1]中考試題匯編題解，2015.

項目名稱：本文是2015年度甘肅省教育科學“十二五”規劃課題《基礎教育課程改革中的問題及對策研究》，課題批準號：GS[2015]GHB1546的階段性研究成果之一。