《導數的綜合應用》教學設計

郭靜

一、教學目標分析

1、知識與技能：能利用導數解決與切線有關問題，會求函數的單調區間、極值、最值、不等式恒成立及方程根的個數問題.

2、過程與方法：培養學生的數形結合、轉化、分類討論的數學思想，提高發現問題、分析問題和解決問題的能力.

3、情感態度與價值觀：培養學生善于觀察、勇于探索的良好習慣和嚴謹的科學態度以及辯證唯物主義的方法論和認識論的滲透.

二、教學重點與難點

教學重點：明確函數的單調性和導數的關系，會求函數的單調區間、極值和最值.

教學難點：不等式恒成立和方程根的個數問題.

三、學法與教法

學法：（1）自主學習：引導學生通過親身經歷、動口、動腦、動手參與教學活動（如課前熱身題目的處理）;（2）合作學習：引導學生分組討論，合作交流，共同探討（如例題的處理）;（3）探究學習：引導學生發揮主觀能動性，主動探索新知（如變式提升的處理）

四、教學過程

本節課教學過程主要分為：知識回顧、課前熱身、典例示范、方法總結四個板塊.

[知識回顧]（重在對知識的進一步理解和掌握，有利于建構知識網絡，回歸教材而高于教材）

導數定義，判斷函數單調性，求極值、最值的方法.

課前熱身：

（1）曲線y=x3-3x2+1在點（1，-1）處的切線方程為（）

A.y=3x-4B.y=-3x+2

C.y=-4x+3D.y=4x-5

（2）過原點作曲線y=ex的切線，切線的斜率____________

（3）函數y=2x3-3x2-12+5在[0，3]上的最大值____________

[典例示范]

例1.已知a>0，f（x）=x3-ax.若f（x）在（1，2）上單調遞增，求a的取值范圍.

解：由題知：f′（x）≥0在（1，2）恒成立.

即：3x2-a≥0在（1，2）恒成立a≤（3x2）mina≤3.

變式提升：

（1）若f（x）在（1，2）上存在單調遞減區間，求a的取值范圍.

（2）若f（x）在（1，2）上不單調，求a的取值范圍.

例2.已知函數f（x）=lnx，g（x）=2-.

求函數F（x）=f（x）-g（x）的單調區間，并說明其單調性.

求函數y=f（x）與y=g（x）的圖象交點的個數.

解：（1）∵F（x）=f（x）-g（x）=lnx+-2

∴F′（x）=

所以函數的單調增區間為（1，+∞）;單調減區間為（0，1）.

（2）由（1）知：F（x）min=F（1）<0，故函數有2個交點.

變式提升：

（1）已知函數f（x）=lnx，g（x）=m-，討論函數y=f（x）與y=g（x）的圖象交點的個數.

（2）已知函數f（x）=lnx，g（x）=2-，討論函數y=f（x）與y=g（x）的圖象交點的個數.

（3）已知函數f（x）=lnx，g（x）=m-，對任意a∈（0，1），函數y=f（x）與y=g（x）的圖象恒有交點，求實數m的取值范圍.

（4）已知函數f（x）=blnx，g（x）=-，討論函數y=f（x）與y=g（x）的圖象交點的個數.

（5）已知函數f（x）=blnx，g（x）=m+，x∈[1，e]，若對于任意的正實數b，函數y=f（x）與y=g（x）的圖象無交點，求實數m的取值范圍.

例3.已知

若對于∈[-2，2]，都有f（x）

解：令

因為，所以h（x）在[-2，2]上為增函數，

由題意得：

變式提升：

（1）已知

若對于x0∈[-2，2]，使得f（x0）

（2）已知

若對于x1，x2∈[-2，2]，都有f（x1）

（3）已知

若對于x1∈[-2，2]，至少存在x2∈[-2，2]，f（x1）

[方法總結]

1.已知函數在某個區間的增（減）性，利用導數將問題轉化為函數的導數在此區間恒為正（或負）的問題;2.利用導數來解決方程根的個數問題或函數y=f（x）與y=g（x）的圖象交點問題，可分以下幾個步驟：

（1）構造函數φ（x）=f（x）-g（x）;（2）對φ（x）求導，得出φ′（x）;（3）研究函數φ（x）的單調性和極值（必要時要研究函數圖象端點或斷點的極限情況）;（4）畫出函數φ（x）的示意圖，觀察與x軸的交點（或零點）情況;

（5）通過示意圖或不等式得解。

3.恒成立或存在性問題可轉化為函數的最值問題.