基于APOS理論的高中函數概念的教學活動

沈淼楠

摘 要：函數是高中學習的重點，函數概念的學習在一定程度上影響著函數性質、圖像等后續的學習，不過在實際教學中可以發現學生對函數的概念的理解仍然存在著一定的問題。為了改善這一問題，在APOS理論的指導下，筆者安排了如下的教學活動，望有助于教學開展。

關鍵詞：APOS理論；函數概念；教學

中圖分類號：G633.6文獻標志碼：A文章編號：2095-9214（2016）09-0039-01

APOS理論是以建構主義為基礎的數學學習理論，它以社會線索為出發點，分析數學情景問題，幫助學生在已有的知識基礎上建立自己的數學思想。APOS理論認為數學知識是學習者在解決數學問題過程中獲得的，在這個過程中，學習者依照依序構建了心理活動（action）、程序（process）和對象（object），最終組織成用以理解問題情境的圖式結構（scheme）。

數學教材把許多重要的數學概念按螺旋式上升的方式分散安排，其中函數的概念就是一個典型的例子。初中我們學習函數概念是從“變量觀點”的定義開始，它是一個過程性質的概念，與高中函數的“對應”觀點相比較，更易于學生掌握。由于函數概念同時具有兩種屬性，既表現為一種動態的算法、操作過程，又表現為一種靜態的結構、對象。假如學生對函數概念的理解停留在“過程”水平，認為函數就是給x賦一個值相應計算出y的一個值，那么對f±g，f·g，fg等就會發生理解上的困難。在教學過程中，我甚至發現一些高三學生對函數概念也只有模糊理解，筆者猜想或許正是以上的原因所造成的。在由初中步入高中這個過程中，函數概念的學習沒有達到銜接的要求，針對這個問題，考慮到學生原有的認知發展水平和已有的知識經驗基礎，在APOS理論指導下，筆者嘗試了如下的教學活動設計，望能有助于課堂教學實踐。

一、action階段

活動1：老師帶領學生回顧初中函數的概念：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x，y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，就說y是x的函數，其中x是自變量。

活動2：通過課本實例，讓學生感受函數背景下的數學思想：（1）炮彈的距地面的高度與時間的變化關系問題；（2）南極臭氧空洞面積與時間的變化關系問題；（3）“八五”計劃以來我國城鎮居民的恩格爾系數與時間的變化關系問題。

通過兩個活動讓學生親身體驗、感受函數概念的直觀背景。

二、Process階段

活動3：分析實例，歸納總結出它們之間的聯系？

活動4：引導學生從初中函數概念到高中函數概念的轉變，幫助學生使用集合與對應的語言來描述實例中變量之間的關系。

活動5：以初中學習的函數概念為依據，對實例中變量之間的關系是否為函數關系進行判斷。

三、object階段

活動6：給出函數的有關概念及符號

1.函數的有關概念

（1）函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數（function）。

記作：y=f（x），xA。

其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域（domain）；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f（x）|x∈A}叫做函數的值域（range）.

需要注意的是y=f（x）是一種函數符號，它也可以用另外的字母表示，比如y=g（x）；

y=f（x）”中的f（x）表示的是當x為某一定值時它所對應的值，它代表著一個數，而不是類似于乘法的運算法則。

在明確了函數的概念之后，我們應該清楚的知道構成函數的三要素是什么。回顧我們初中學過的正比例函數、一元二次函數、反比例函數，分析它們構成函數的三要素是什么。同時為了方便研究函數，這時給出區間的概念。

比較利用變量定義的函數概念和集合定義的函數概念，師生討論它們之間的具體聯系。

四、scheme階段

活動7：

1.求函數的定義域

例1：已知函數f（x）=x+2+1x+2

（1）求函數的定義域；（2）求f（-3），f（23）；

（3）當a>0時，求f（a），f（1-a）。

初中生剛升入高中，對抽象的知識掌握有一定的難度，適當的以具體實例進行輔導學習，化抽象為具體，有助于更好的理解函數的概念及相關定義。緊接著與學生一起總結幾種常見的函數定義域類型：函數如果是分式的形式，那么分母不能為0；如果函數以根式的形式出現，那么根式下的部分必須大于或等于0；如果函數以整式形式出現，則定義域為實數集；如果函數以四則運算的形式出現，定義域為它們各部分的交集；如果以實際問題出現，只需要使實際問題存在就好。

2.判斷兩個函數為同一函數的方法：

例2：與y=x為同一函數的是哪些函數？

（1）y=（x）；（2）y=3x3；（3）y=x；（4）y=xx

師生共同完成該活動，老師設疑，學生作答，共同得出判斷兩個函數是否為同一函數的依據，加深對函數概念的理解。

活動8：至此，我們在初中學習的基礎上，運用集合和對應的語言刻畫了函數概念，并引進了符號y=f（x），明確了函數的構成要素，比較兩個函數的定義，你對函數有什么新的認識？舉出生活中函數的例子（三個以上），并用集合與對應的語言來描述函數，同時說出函數的定義域、值域和對應關系。

（作者單位：西華師范大學）

參考文獻：

[1]曹一鳴，張生春.數學教學論[M].北京：北京師范大學出版社，2013

[2]鮑建生，周超.數學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社.

[3]沈敏鑒.APOS理論指導下高中數學概念的教學實踐研究[J].數學教學通訊.2016（3）：21-22

[4]普通高中課程標準實驗教科書數學必修1[M].北京：人民教育出版社.

[5]義務教育教科書數學（八年級下）[M].北京，人民教育出版社.