元認知理論下初中數學解題常見錯誤探究

姜春華　許暉

摘要：元認知理論對數學解題至關重要，它可以大大提高解題效率和準確性。在元認知理論下對初中生數學解題中常見的錯誤進行分析，將有利于提高學生的解題能力、思維能力和數學素養，也會大大減少學生因各種原因造成的各種錯誤。

本論文從元認知理論這一角度對學生在數學解題中產生的錯誤進行研究，從而提出一些合理化建議和策略，希望能有效地指導今后的教學。

關鍵詞：數學解題常見錯誤；元認知理論；成因；策略

中圖分類號：G632.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）16-0181-02

一、引言

元認知理論由弗拉維爾于20世紀70年代提出，元認知就是個體關于自己的認知過程的知識和調節的能力。元認知一般包括元認知知識、元認知體驗和元認知監控三部分。元認知知識主要包括個體對自己或他人的認知活動的過程等方面的知識；元認知體驗指伴隨認知活動而產生的認知體驗和情感體驗；元認知監控指認知主體在認知過程中，以自己的認知活動為對象，進行自覺的監督、控制和調節。

新課程理念強調學生的主體性，注重培養學生的問題意識和創新精神，引導學生進行探究學習，并幫助學生學會學習，這也是元認知核心功能的體現。研究表明，學生錯誤解題的種種表現和他們的元認知水平密切相連，探討兩者的聯系對減少數學解題錯誤具有積極地現實意義。

二、初中生數學解題中常見錯誤的類型和案例

1.數學知識的錯誤。

（1）知識的錯誤是指對概念、性質等認識不清導致的錯誤，對公式、定理、法則的錯誤使用等。

（2）案例：判斷 是分式還是整式？

錯解：因為 含有字母π，所以 是分式。

產生錯解的原因是對分式的概念認識不到位。要判斷所給的式子是否是分式，主要是看分母中是否含有字母。分式的定義為：一般的，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式。所以本題正確的答案是： 不是分式，而是整式。

2.數學邏輯的錯誤。

（1）邏輯的錯誤主要是指數學推理不嚴密，推理思路不明，特別是對幾何證明說理往往只作表面思考，說理過程不規范。

（2）案例：反比例函數圖像經過點（1，-4），那么這個反比例函數圖像在第 象限。錯解：因為點（1，-4）在第四象限，所以該圖像在第四象限，填“四”。錯解忽視了反比例函數圖像有兩個分支，缺乏邏輯上的嚴密，導致整個題目的錯誤解答，應填“二，四”。

3.解題心理的錯誤。

（1）解題心理的錯誤主要是指缺乏克服困難的意志和信心，缺少鉆研的精神，盲目解題，從而導致解題出錯的現象。我們知道數學解題除了需要學生具備扎實的基礎知識、基本技能和良好的數學思維外，還需要具有良好的心理素質，否則即使知識技能掌握得不錯，也可能因為心理原因而產生錯誤。

（2）案例：等腰三角形的一個角是80°，它的另兩個角是多少度？此題應分兩種情況：一是頂角是80°，二是底角是80°。有的學生在做此題時，往往丟掉其中一種情況，而導致做題錯誤。

4.解題態度的錯誤。

（1）解題態度的錯誤是指缺乏認真解題的態度，許多學生經過一段時間的努力，自以為成績不錯，可結果卻不如人意，有時就是不認真造成的。

（2）案例：計算（X-6）（X-3）時，有的學生計算出X2+9X+18的結果。這個題目，應該說很簡單，但因為學生的不認真，得出了錯誤的結果，很是可惜。

5.解題習慣的錯誤。有些學生看到題目馬上解答，不把題目要求看仔細，導致錯誤產生。

案例：學生在解含有分母的方程時往往會出現如下錯誤：①漏乘；②去括號時符號出錯；③去分母時忘記加括號。

6.解題方法的錯誤。解題方法的錯誤是指錯誤的使用定理、結論、方法等，以至于得出錯誤的結論。

案例：學生在證明三角形全等的時候，常常因錯誤的使用全等三角形的判定定理而導致證明錯誤。

三、元認知理論上的錯誤成因分析

1.元認知知識上的體現。①對數學學習缺乏自信心。自信心作為一種人格品質，是非智力因素的重要組成部分，它對激發人的意志力、充分發揮人的潛能，進而取得人生的成功有重大作用。調查結果顯示，只有不到一半的學生認為自己有解決數學問題的能力，訪談后也表明，多數學生對數學學習缺乏信心，不能正確的解題。②使用解題策略不正確。解題策略是指一系列解題方法和解題思路的總稱。缺乏解題策略是學生不能正確解題的重要原因。初中常用的解題策略方法主要有：換元法、消元法、待定系數法、圖形結合法、判別式法、分析與綜合法、歸納法等。

2.在教學中增加學生的元認知體驗。①增加成功的體驗。如果學生在學習中經歷失敗較多，嘗試成功的喜悅較少，就會對學習失去信心。教學中，教師要增加學生成功的體驗，為學生提供成功的機會，調動學生學習的積極性。②加強情感的交流。教學中，教師往往會有意無意的對成績好一些的學生投入更多的關注，卻忽視了那些學習稍差一些的學生的情感需要，如果我們能更多的關注他們，讓他們在學習中感受更多的信任和期待，那么學生在數學學習中就會無形的增添更多的信心，減少錯誤的發生，從而提高數學成績，感受到學習的樂趣。

四、基于元認知理論的減少學生解題錯誤的教學建議

1.幫助學生了解元認知的知識。初中學生絕大部分從未接觸過“元認知”這一概念，更不知道“元認知”在數學學習中所起的作用，因此，教師有必要幫助學生了解有關元認知的知識，以便學生運用它來指導自己的學習。

2.培養學生自我反思的習慣。在學習過程中，培養學生反思能力，是提高學生元認知水平、有效改善學習的重要途徑。在具體的教學過程中，教師要有意識的培養學生的反思習慣，不僅培養學生對新知識學習的反思，還要培養學生對數學解題過程和方法的反思，這樣有助于學生不斷的總結，不斷的發現問題，增強做題的準確性。

五、減少學生在數學解題中產生錯誤的教學策略

1.注重“數學閱讀”教學。就“數學閱讀”的必要性，我向學校初二年級的學生做過問卷調查，結果顯示：72%的學生覺得數學學習只要能把題目做出來就可以了，不需要閱讀；大約30%的學生覺得數學教材也不需要閱讀，反正上課時教師都會講。初中學生的年齡特征決定了他們難以長時間集中注意力，往往采用瀏覽、略讀的方式。這樣的閱讀方法，對于一些簡單的常規題型，還能夠解決，但對于一些題目長、復雜的題型，學生就不能正確的理解題意，所以閱讀在教學中的應用顯得尤為重要。

2.提高數學審題的能力。對于一些簡單的數學題目，只要認真審題，正確的解答并不困難。但對于一些條件比較復雜、隱蔽的題目，則需要認真閱讀，準確把握問題的條件和結論。審題時一定要注意抓住關鍵詞，想辦法挖掘題目的內涵和外延。提高審題能力可以幫助學生從題目中獲取盡可能多的信息，是提高學生數學解題能力的重要途徑。

3.提高數學計算的能力。學生的計算能力是初中生必備的技能，作為教師應在平時的教學中重視學生計算能力的訓練與培養。在計算過程中要求學生能夠正確運用好概念、公式、法則，只有做到這些，才能保證最終的運算結果準確無誤。

4.提高思維的能力。在數學教學中培養學生的思維能力是減少學生解題錯誤的重要途徑之一。在教學中我們發現，數學成績好的學生，往往具有思維敏捷、邏輯清晰、做題速度快的特點，并且比一般的學生更具有探索創新的精神。

5.加強解題格式的規范性。規范的數學解題格式，不僅反映了學生的數學技能水平，而且也反映了學生的學習態度和習慣。平時做題時要讓學生做到有錯必糾，及時修改訂正，通過平時的訓練能使學生養成耐心、細致、認真的書寫習慣，形成規范的解題格式，減少不必要的錯誤。

6.養成做題反思的習慣。反思是解題后的重要環節，一些同學沒有養成題后反思的習慣，同一類問題錯了又錯，形成了一種習慣性錯誤。實踐證明，通過題后反思能夠減少重復出錯的幾率。反思可以使學生對自己的錯誤有深刻的理性認識，從而實現認識上的“知其然，又知其所以然”。只有經過深刻反思，從錯誤中得出深刻教訓后，才能得到真正意義上的糾正。

7.整理好數學錯題本。我的學生都有一本錯題本，及時的記錄錯誤和訂正錯誤。學生在學習數學的過程中，出現數學錯誤是在所難免的，問題是怎樣看待這些錯誤、利用好這些錯誤。大多數學生對于錯誤，往往采取一種回避或輕視的態度，需要教師反復的督促。在平時的教學中，教師應該幫助學生樹立起糾錯追因的意識，讓學生意識到錯誤的重要價值，引導學生及時分析錯誤，改正錯誤，反思錯誤。

正因為出錯，才會有點撥、引導、解惑，才會有教育的敏感和智慧。在“出錯”和“改錯”的探究中，課堂才是活的，教學才是最美的，學生的生命才是最有價值的。

六、結語

本研究選擇了我平時教學中最常見的資源，通過對學生錯誤的收集、歸類，探究其原因，并提出一些教學策略。由于知識水平的局限，本論文對初中數學錯誤的研究與分析有很多不足之處，這些都將成為今后繼續研究解題錯誤的動力。

參考文獻：

[1]王春燕.初中生數學問題解決中元認知能力的現狀及提高策略的研究[J].重慶師范大學學報，2007，（2）.

[2]武堅.中學生數學學習中常見錯誤分析與研究[J].云南師范大學學報，2006，（6）.