數(shù)形結(jié)合在函數(shù)和幾何教學(xué)中的作用

李海軍

【摘要】初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)字和圖形是促進(jìn)教師教和學(xué)生學(xué)的重要因素，將數(shù)字和圖像進(jìn)行結(jié)合，即數(shù)形結(jié)合，利用這種方式能夠有效解決初中數(shù)學(xué)中的函數(shù)和幾何問題.文章在闡述數(shù)形結(jié)合內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，分別對(duì)數(shù)形結(jié)合在函數(shù)和幾何教學(xué)中的作用進(jìn)行分析.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；函數(shù)；結(jié)合；作用

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，函數(shù)和幾何構(gòu)成了初中數(shù)學(xué)的兩大模塊，在這兩大學(xué)習(xí)模塊中都有對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的充分利用，通過利用數(shù)形結(jié)合在一定程度上解決了初中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)難的問題，在幾何和函數(shù)學(xué)習(xí)中架起了一個(gè)方便的橋梁.

一、數(shù)形結(jié)合思想概述

數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展中的一條主線，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中得到了廣泛的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)內(nèi)涵和數(shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系以更加形象、具體的圖形轉(zhuǎn)化為代數(shù)，通過定量分析，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的嚴(yán)謹(jǐn)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的靈活轉(zhuǎn)換和運(yùn)用.數(shù)與形看似是一個(gè)矛盾體，但是二者之前卻是統(tǒng)一的，構(gòu)成了初中數(shù)學(xué)的重要思想，在初中函數(shù)解題和幾何解題中發(fā)揮了重要的作用.

二、數(shù)形結(jié)合思想在初中函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

函數(shù)體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)中的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，即每個(gè)輸入值會(huì)對(duì)應(yīng)一個(gè)輸出值.在初中數(shù)學(xué)中，一般用x代表輸入值，用y代表輸出值.初中數(shù)學(xué)中的函數(shù)教學(xué)包括一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)等.這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)也是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，從初一學(xué)習(xí)的基本方程、坐標(biāo)和整式到初二的一次函數(shù)學(xué)習(xí)，再到后來的反比例函數(shù)、二次函數(shù)學(xué)習(xí)都會(huì)用到數(shù)形結(jié)合思想.數(shù)形結(jié)合思想在初中函數(shù)解題中的運(yùn)用主要體現(xiàn)在定量分析和定性分析兩個(gè)方面，文章以具體的函數(shù)教學(xué)實(shí)例闡述數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.

例如：已知方程|x2-4x+3|=m，分析在m的不同取值下，方程根的個(gè)數(shù).

對(duì)于這種題目如果不利用函數(shù)圖形進(jìn)行解題，而是進(jìn)行x的不同取值來對(duì)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值進(jìn)行討論，出現(xiàn)的情況很多，在具體討論的過程中容易出現(xiàn)問題，使用數(shù)形結(jié)合思想能夠緩解這種圖1 方程|x2-4x+3|=m對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖形問題，減少失誤.具體解題思路如下：首先，根據(jù)方程畫出函數(shù)圖形，具體如圖1所示.根據(jù)函數(shù)圖形可以看出，方程的根實(shí)際上是直線y=m和函數(shù)y=|x2-4x+3|的交點(diǎn)，由此觀察推斷，不同的m值對(duì)應(yīng)的方程根個(gè)數(shù)不同，在畫出相應(yīng)的圖形之后，將直線y=m進(jìn)行上下方向的平移，發(fā)現(xiàn)當(dāng)m<0的時(shí)候，直線和曲線不存在交點(diǎn)，m=0的時(shí)候，直線和曲線有一個(gè)交點(diǎn)，m在0和1之間的時(shí)候，直線和曲線有四個(gè)交點(diǎn)，在m=1的時(shí)候，直線和曲線有三個(gè)交點(diǎn)，m>1的時(shí)候，直線和曲線有兩個(gè)交點(diǎn).通過借助圖形很容易得到了題目的正確答案，比用函數(shù)的方法得到解的過程要快.

三、數(shù)形結(jié)合思想在初中幾何教學(xué)中的應(yīng)用

初中立體幾何的學(xué)習(xí)要求學(xué)生具有一定的空間想象能力，從而在理解的基礎(chǔ)上充分把握初中立體幾何知識(shí).但空間想象能力的培養(yǎng)對(duì)于一些學(xué)生來講不是一件容易的事.

（一）數(shù)形結(jié)合在三角形中的應(yīng)用

圖2 數(shù)形結(jié)合在三角形解題中的應(yīng)用圖初中三角形知識(shí)的學(xué)習(xí)，最關(guān)鍵的是把握圖形和圖形之間的關(guān)系，通過數(shù)形結(jié)合，更直觀地向?qū)W生展示圖形和圖形之間的關(guān)系.例如，已知△ABC的三邊分別為6，8，10，分別以它的三邊為直徑向上畫三個(gè)半圓，求圖2中的陰影部分的面積.

這道題通過圖形能夠清楚地看到具體的解法，原題中圓的半徑和三角形都已經(jīng)給出，因此可以先求出直徑為10的半圓的面積，之后用大面積減去三角形的面積，進(jìn)而得出要求的陰影部分的面積.

（二）數(shù)形結(jié)合在正方形中的應(yīng)用

初中正方形的學(xué)習(xí)是幾何圖形中的重要內(nèi)容，數(shù)學(xué)中很多的問題背后都隱含著形的信息，圖形的特征上也體現(xiàn)著數(shù)的關(guān)系.比如已知學(xué)校的草坪是由十塊相同的長方形地磚拼成的一

塊長方形（地磚之間的縫隙忽略不計(jì)）.具體如圖3所示.如果圖形的寬是75 cm，求圖圖3 草坪圖形形的長是多少？這道題目看似是一道幾何圖形，但是在它的具體解題過程中需要利用函數(shù)知識(shí)，具體解題思路如下：假設(shè)小長方形的寬是x cm，長是y cm，根據(jù)圖形可以發(fā)現(xiàn)y=3x，2x+y=75.解得x=15，y=45，也就是說圖案的長2y=90 cm.

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