優化數學解題步驟，提高數學解題能力

張培成

摘 要：影響初中生數學解題能力的因素有很多，教師在教學中如何更好地引導學生解答數學問題，不斷提高學生的數學解題能力是一件不容易的事，是一項綜合性的工作，也是一個復雜而長期的過程。美國著名數學家G·波利亞在他的著作《怎樣解題》一書中，把數學解題的過程分為“弄清問題”“擬定計劃”“實現計劃”和“回顧”四大步驟。通過教學實踐和思考，結合解題經驗，從數學解題四個步驟的角度出發，就如何通過培養學生的各種習慣和能力，提高學生的數學解題能力進行了初步的探索。

關鍵詞：解題能力；習慣；培養；提高

美國著名數學家G·波利亞說過：“問題是數學的心臟，掌握數學意味著什么？那就是善于解題。”可見，解題是數學的核心，也是教學活動的基本形式和主要內容。要善于解題，就要具有較強的解題能力。數學中的解題能力就是綜合運用數學基礎知識、基本思想方法和技能以及邏輯思維規律，整體發揮數學基本能力進行分析和解決數學問題的能力。顯然，解題能力是一種綜合性的能力，解題能力標志著一個人的數學水平。但數學問題千變萬化，無窮無盡，“題海”茫茫，要想使學生身臨題海而得心應手，身居考室而又處之泰然，就必須培養他們的解題應變能力。有了較強的應變能力，在漫游“題海”時，才能隨機應變。作為數學教師，能否培養并提高學生的解題能力，不僅直接關系到學生學習數學成功與否，而且也是衡量教師數學教學業務水平高低的重要標尺之一，尤其是以解決問題為重心的數學知識運用教學。

因此，培養學生的解題能力，是搞好初中數學教學，實現課程目標必不可少的重要環節。G·波利亞在《怎么解題》（How to Solve It）一書中，通過“怎么解題表”，說明了解題的四個階段，即“弄清問題”“擬定計劃”“實現計劃”和“回顧”，并以問題的方式呈現了各個階段所包含的成分。這四個階段的內容包括：（1）弄清問題，解題要了解未知數是什么、已知數是什么、已知條件是什么、利用各種不同的表征方式等等；（2）擬定計劃，利用重新敘述題目的方式、回到定義或者參考之前類似題目的解法等方法制訂計劃；（3）實現計劃，不僅要實現求解計劃，而且要檢驗每一個步驟；（4）回顧，檢驗論證并找出別的方法。波利亞所提出的這些問題實際上涉及了問題解決的一般策略。

一、初中數學步驟不規范的原因及現象

1.對規范解題的作用認識不足，往往認為最終的答案才是最主要的

從學生的作業以及平時交談中發現，許多學生認為數學作業只要最后的結果正確就行了，至于計算過程、思路只要在腦袋里就行了。導致很多題目會而不全，作業中只有結果，沒有過程，讓人懷疑答案的來源。考試檢測中往往沒得分或只得很少分。

2.粗心大意，解題時思維不嚴密，出現“跳步”“缺步”解答

通過平時作業的批閱，很多學生解題雖然有解題過程，但邏輯性不強，特別是幾何證明題中“跳步”“缺步”條件不足等現象尤為嚴重。

3.沒有良好的習慣

字跡潦草，步驟凌亂，書寫不認真。農村初中大多數家長工作繁忙，文化水平不高，對子女的教育只看結果，對子女的學習習慣很少關心，更不用說去培養學生良好的學習習慣了。

二、數學解題步驟的優化及其策略

本人通過十幾年的教學實踐和思考，結合自己的解題經驗，從數學解題四個步驟的角度出發，就如何通過培養學生的各種習慣和能力，提高學生的數學解題能力進行初步的探索。

1.弄清問題，即審題和理解題意

所謂審題，就是在對問題進行感知的基礎上，對數學題目提供的情節內容和數量關系的分析和理解，對條件和問題進行全面的認知，通過對問題的數學特征進行分析，從而對所要解決的問題在頭腦中有一個清晰反映的思維活動。數學審題是正確、迅速解題的基礎和前提，是進行正確做題不可缺少的環節，解題的成功很大程度上取決于審題的成功與否。準確、敏銳、深入的審題是正確分析問題，把握問題本質，探尋解題思路，提高數學解題能力的關鍵。但審題又是學生在解題過程中容易被忽視的環節，因此，在教學中我們數學老師應該對審題要足夠地重視，經常強化學生的審題意識，培養學生的審題能力。

（1）培養學生認真、仔細審題的習慣

解題前教師應盡量給學生足夠的審題時間和思考空間。讓學生認真細致閱讀題目，在讀題審題中多角度無遺漏地收集題目有效信息。簡單的題目看一遍，一般的題目看兩遍，難題和新穎的題目多看幾遍，邊看邊分辨已知和待解。然后我們可以分析問題目的，關鍵字詞，已知條件和題目所求，題目的條件間的相互聯系和相互作用，有意識地培養學生從材料中發現信息、識別信息、獲取信息、整合信息的能力。對于審題急于求成，馬虎草率的學生，要批評指正，指出危害。

案例1：

“節能環保，低碳生活”是我們倡導的一種生活方式，某家電商場計劃用11.8萬元購進節能型電視機、洗衣機和空調共40臺，三種家電的進價和售價如表所示：

①在不超過現有資金前提下，若購進電視機的數量和洗衣機的數量相同，空調的數量不超過電視機的數量的3倍。請問商場有哪幾種進貨方案？

②在2012年消費促進月，商家針對這三種節能型產品推出1000元送50元家電消費券一張、多買多送。在①的條件下，若三種電器在活動期間全部售出，商家預估最多送出消費券多少張？

學生經常審題不仔細，對于第①小題，要看清楚問題是求什么，是幾種方式，還是哪幾種方式；對于第②小題，許多學生就受以前做類似問題的定式思維影響，求利潤的最值問題，而此題卻是需求售價的最值問題。

（2）引導學生對關鍵詞語的理解

在數學解題中對關鍵性詞語的深刻分析是非常有必要的，然而學生往往錯誤地認為只有語文的學習才講究詞語分析。而解題時卻往往由于對關鍵性詞語的理解不確切，造成對題目的要求范圍和界限不明確，結果把解題解錯或解不出來。因此審題時在閱讀題目的基礎上，要邊讀邊想，對一些關鍵的詞語應特別注意，并認真思考、斟酌，以求獲得解題信息，找到解題的途徑和方法。

案例2：

（2013·萊蕪）某學校將周三“陽光體育”項目定為跳繩活動，為此學校準備購置長、短兩種跳繩若干。已知長跳繩的單價比短跳繩單價的兩倍多4元，且購買2條長跳繩與購買5條短跳繩的費用相同。

①兩種跳繩的單價各是多少元？

②若學校準備用不超過2000元的現金購買200條長、短跳繩，且短跳繩的條數不超過長跳繩的6倍，問學校有幾種購買方案可供選擇？

此題只需抓住關鍵詞句，如：兩倍多4元、費用相同、不超過2000元、不超過長跳繩的6倍等。①設長跳繩的單價是x元，短跳繩的單價為y元，根據長跳繩的單價比短跳繩單價的兩倍多4元；購買2條長跳繩與購買5條短跳繩的費用相同，可得出方程組，解出即可；（2）設學校購買a條長跳繩，購買資金不超過2000元，短跳繩的條數不超過長跳繩的6倍，可得出不等式組，解出即可。

（3）培養學生挖掘隱含條件的能力

試題中的隱含條件是指試題中含而不露的條件，具有一定的隱蔽性，它對解題的影響很大，既起干擾作用，又起暗示作用。疏忽和輕視隱含條件，就會導致解題困難或者思維不嚴謹。把隱含條件挖掘出來，常常是解題的關鍵所在。要想快速、準確地挖掘隱含條件，就應該對試題中的每句話、每個條件進行仔細分析、推敲，并與已學過的數學概念、公式、定理、性質等有機地聯系起來。

案例3：

（2011·涼山州）已知y=■+■-3，則求2xy的值。

部分學生不知道如何動筆，是由于忽略了被開方數不能為負數這一隱含條件。教學中應引導學生根據二次根式的概念和算術平方根的意義，挖掘出這個隱含條件，即2x-5≥05-2x≥0，求出x、y即可解決問題。

2.擬定計劃，即尋找并確定解題思路和方法

擬定計劃是在認真審題的基礎上，對全題進行反復的分析和解剖，根據題意，聯系所學知識，從而為正確解題尋得路徑、形成思路和方法的過程。而數學基本概念、基礎知識和基本技能都是解題思路的源泉，離開它們，解題就成了無本之術，無源之水。因此，審題之后首先要回顧題目中涉及哪些主要概念。這些概念是如何定義的，在題目的條件和結論里，與哪些定理、公式、性質有關，可否直接使用。題目所涉及的基本技能、方法是什么等。經過這樣一番深入思考之后，解題途徑將會逐步明朗，解題計劃就隨之形成。

（1）培養學生聯系、整合知識和信息的能力

重視對題中的文字材料和圖表信息的分析與理解，它們是解題的直接依據。將獲得的數學信息與已學過基本知識和技能建立準確而有效的聯系，并且聯系已做過的“熟題”的解題方法和過程，帶著問題和信息去探求解題思路和答案要點。同時注意對“熟題”要保持高度的警覺性，要密切關注其中情景和設問的變化，將每一道題都當作新題來解答。

案例4：

甲、乙兩人同時從相距90千米的A地前往B地，甲乘汽車，乙騎摩托車，甲到達B地停留半小時后返回A地。如圖是他們離A地的距離y（千米）與時間x（時）之間的函數關系圖象。

■

①求甲從B地返回A地的過程中，y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

②若乙出發后2小時和甲相遇，求乙從A地到B地用了多長時間？

在函數問題里面，對分析理解圖表、文字材料有著更高的要求，同時它也是解決問題的最重要依據和解題方法的最佳途徑。此題應引導學生結合文字材料，仔細觀察和分析圖象，抓住圖象的特點，找到圖象中的一些關鍵點及其坐標，并思考它們在題中所表示的實際意義。

（2）培養學生類比遷移的能力

所謂類比，就是根據兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，從而推出其他方面可能相似或相同的結論；所謂遷移，就是已經獲得的知識技能、方法態度與新知識、新技能之間發生的相互影響。信息給予題是初中數學題中的一種常見題型，它要求考生能夠靈活且有創意地思考問題。因此，教師可通過從舊知到新知的遷移、從感性到理性的遷移、從理論到實踐的遷移這三方面來培養學生類比遷移的能力，讓學生掌握解決數學問題的方法。

案例5：

已知點A（1，5），B（3，-1），點M在X軸上，當AM-BM最大時，求點M的坐標。

對于求兩條線段的和最小的問題，學生見得很多，而此題就需要從常見的問題中，通過類比、遷移，由已知的解題方法——做對稱，來聯想本題也找對稱點從而解決問題。

（3）培養學生數學思維的靈活性

思維的靈活性是指轉向的及時性以及不過多地受思維定式的影響，善于從舊的模式或通常的制約條件中擺脫出來，能根據情況的變化，發現新的事實，及時修正原來的觀念和想法，轉化或調整原有的思路和方法，尋找新的解決問題的途徑，即能隨機應變。那么，在解題時，我們要善于讓學生做到化繁為簡、化隱為顯、化難為易、化未知為已知、化一般為特性、化抽象為具體。當學生的常規思維受阻時，可變換思維的角度來尋求新的解題途徑，使他們思維的靈活性得到培養和發展。

案例6：

若方程x2+4mx-4m+3=0，x2+2mx-2m=0，x2+（m-1）x+m2=0中至少有一個方程有實數根，求實數m的范圍。

注意這里的關鍵詞語“至少”，它包含三層意思：三個方程都有實根；其中兩個方程有實根；其中一個方程有實根。逐次討論m的范圍是十分復雜的，于是引導學生考慮“至少”的反面是什么？學生很容易答出“三個方程均無實根”，因而三個判別式都小于零，得到不等式組，并解得-■3.實現計劃，即具體答題書寫

審題、尋找解題思路是解題的兩個重要環節，而這兩個環節都是為實現答題服務的。在學生弄清題意和尋找到解題思路之后，就會著手于實現解答的書寫。學生在書寫答題的過程中往往會遇到這樣或那樣的問題，如數學語言表述不清、不規范，解題過程不合理、不嚴密，推理過程跳步、論據不足，結論不完整或答非所問，字跡書寫潦草、凌亂等。以至于很多學生出現會而不對、對而不全甚至誤判的情況，導致題目的實際得分與學生的自我感覺或估計分數有較大的差距。

（1）培養學生數學語言的表達能力

數學語言是指對數學概念、術語、符號、公式、定理、圖形、運算定律、法則及解題思路、推導過程等的表述。數學語言可分為文字語言、符號語言、圖形語言三類，具有準確、抽象、簡練和符號化等特點。每個數學題目都是由一些特定數學語言所組成的，數學解題活動的過程，實際上就是數學語言的轉化過程。很多學生解題時盡管解題思路正確甚至很巧妙，但不善于把它轉化為數學語言或者數學語言表達不準確、不規范，以至于心中有數卻說不清道不明，因此得分少。只有重視解題過程的語言表述，將解題過程轉化為數學語言，準確、規范、完整地表述出來，“會做”的題才能“得分”。

比如，等腰三角形中“在同一個三角形中，等邊對等角”“等腰三角形的三線合一”，不少學生會寫“等邊對等角”“三線合一”等等。

（2）培養學生解答過程的合理性和嚴謹性

解答過程的書寫要正確、合理、嚴密、清楚。把運算、推導、作圖與所得的結果書寫出來，是解題的一個基本要求。解題的步驟都要有充分的理由，遵循嚴格的思維規律，合乎邏輯性。任何數學題的解答都有一定的嚴格要求，解題要依照要求的步驟進行，格式符合規定。無論哪種格式，書寫都應層次分明，條理清楚。怎樣把數學題的解答嚴謹地書寫出來是件不容易的事，這有著較高的能力要求。尤其是教師在教學過程中要作出示范，使學生有榜樣可學，這樣才能逐步培養學生嚴謹的表達能力。

案例7：

如圖，已知邊長為2的等邊三角形ABC內接于⊙O，求⊙O的半徑r。

■

很多學生在作完輔助線后，根本就沒有去說明AD經過圓心O或AD垂直于BC，甚至沒有去說明∠OBD=30°就直接開始計算。其實本題的數量關系和計算比較簡單，重點就是要運用圓的知識去說明△OBD是一個含30°角的直角三角形，這才是回答此題的主要過程。

（3）培養學生良好的書寫習慣

答題時卷面要整潔，書寫要工整，切不可潦草，做到字體勻稱，字跡清楚，疏密適度，行款得體。寫字小或者字間距、行間距太小，字結構比較緊密的容易造成老師閱讀困難。寫字潦草、寫字小、寫字密的學生一定要將字寫得大點，字間距大點。如果書寫做不到美觀的話，一定要做到清晰，字跡做不到養眼的話，一定要做到順眼。書寫時還要注意分段、分行、分點，若要點較多，要標注序號，做到排布整齊，段落清晰，突出重要觀點，使評卷老師在最短時間內把握學生答題的有效信息，這將是使學生的試卷增值的重要因素。

4.回顧，即解題之后進行反思

解題反思就是對解題活動的反思，它是對解題活動深層次的再思考，不僅僅是數學解題學習的一般性回顧和重復，更是深究數學解題活動中所涉及的知識、方法、思路、策略等，具有較強的科學研究性質。解題反思的目的是認識問題的深層次結構，通過解有限的題去學會和領悟那種解無限道題的數學機智，最終提高學生的數學解題能力。但學生經常會忽略解題反思，而它恰恰是解題過程中非常重要的環節。正確地對待解題反思可以使學生避免在解題過程中犯不該犯的錯誤，也可以深化學生對基本知識的理解以及深化學生對數學思想方法的掌握，還可以提高學生的數學思維能力。事實上，通過回顧和反思，對把握數學問題的本質，揭示解題規律，培養良好的思維品質，提高分析探索和創造能力有很大的幫助，它是使學習者的認識由低級向高級發展的一條重要途徑，也是提高解題能力的一條重要途徑。

（1）培養學生檢查與驗證的習慣

在解完一道題之后，還不能萬事大吉，我們還應該引導學生養成良好的反思習慣，及時對解答過程和結果進行檢查和驗證。由于學生的年齡特征及數學認知結構水平的限制，以及對數學基本概念、基本技能掌握得不熟練，在答題過程中往往會出現很多問題。因此，我們要抓住學生在解題過程中的不準確，對概念理解的不深刻，考慮問題的不全面，甚至是計算能力欠缺而導致的錯誤結果，有意識地啟發、引導學生對解題過程和結果進行檢查和驗證。檢查解題過程是否合理和完整，驗證結果是否正確或遺漏。

案例8：

先化簡，再求值：■÷■+1，在0，1，2三個數中選一個你喜歡的數代入求值。

本題對于一般學生來說，這是一個簡單題，但是他們往往還是會失分，原因是忽略了本題中分母和除數不能為0的隱含條件。教學中教師應引導學生進行檢驗，把x的值帶入原式再算一遍，這樣學生就很容易發現問題。因而在解完一題后，檢查和驗證這一環節是非常必要和重要的。

（2）培養學生歸納與總結的習慣

同一類型的問題，解題方法和思路往往有其規律性，因此當一個問題解決后，要不失時機地引導學生反思解題方法，透過事物表面現象，洞察本質，認真探索和總結解題規律，引導學生從特性到一般，從而推廣出這一類問題的解決辦法，力圖從解決問題中找出新的、普遍適用的東西，以現在的解決問題的經驗幫助今后的問題解決，這樣有利于培養學生深入鉆研的良好習慣，提高數學解題能力。

（3）培養學生引申與拓展的能力

引申與拓展，主要是指對精挑精選的題目進行變通推廣、重新認識，注重一題多問、一題多解、一題多變。恰當合理的引申和拓展能營造一種生動活潑、寬松自如的氛圍，能開闊學生的視野，激發學生的情趣，有助于提高學生的探索精神和創新意識，并能使學生舉一反三、觸類旁通。在引申與拓展的過程中，一定要自然流暢，切忌牽強附會，要引導學生通過對引申和拓展的題目加深對所學知識的理解和掌握。同時，教師要注意到并不是每一個數學題都要引申和拓展，要限制在學生已有的認知基礎上，有梯度、循序漸進地進行，而且引申和拓展的題目的數量必須要有度。

總之，數學的解題能力是學生運用所學的數學知識技能去分析解答各種數學問題的綜合能力，體現一個學生數學思維的性質和數學水平的高低。初中數學解題存在很強的靈活性，在平時教學中，不能通過多做題來提高學生的解題能力。而應培養學生平時認真審題和獨立思考的習慣，培養學生規范答題和反思回顧的習慣，把這些習慣培養成為學生的自覺行為，從而有效地提高解題能力。要知道，讓學生掌握一定的解題能力不僅是我們開展數學教學的最終目的，也是學生綜合素質的集中反映。因此，作為數學教師，我們一定要重視解題能力的培養，重視教學策略的運用。從每一堂課、每一個細節抓起，培養學生良好的解題習慣，激發學生學習數學的興趣，逐步提高數學解題能力。

參考文獻：

[1]波利亞.怎樣解題[M].上海科技教育出版社，2002.

[2]魏榮芳.怎樣提高學生的數學解題能力[J].基礎教育論壇， 2007（7）.

[3]范久新.如何提高學生的解題能力[J].新課程研究，2008（8）.

[4]王玉花.數學解題反思能力培養的研究[D].內蒙古師范大學，2009-03.

編輯 謝尾合