讓學生親歷過程，感悟數學思想

黃敏芳

【摘 要】 學生學習數學知識，不能只是學習知識的概念和含義，而是要通過有序的認知活動，體驗隱含在知識背后的數學思想。因此，數學教師在讓學生獲得知識同時，也要讓他們獲得對數學思想的認識與領悟。

【關鍵詞】 數學；圓的面積；數學思想

《數學課程標準》（2011版）明確地提出四基，即基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗，“四基”并不是孤立存在，而是互相聯系的。然而，有很多的數學老師在課堂上只重視數學知識的傳授，而弱化數學思想方法的滲透，因為數學思想隱藏在數學知識的背后，講不講，講的時間多與少，教師的隨意性太大，長期以往，學生學到的知識只是死知識，這樣的學習是被動的，也是無趣的。因此，作為一名數學教師，在課堂上不但要讓學生經歷知識的認知過程，還要向學生有機地滲透隱藏在知識背后的數學思想，從而提高學生的數學素養。《圓的面積》是在學生掌握圓的特征、周長基礎上進行教學的，為了降低知識的難度，在教學過程中可以有機滲透化曲為直、轉化、極限等數學思想，幫助學生獲得結論。

一、以舊引新，滲透化曲為直思想

數學知識是螺旋上升的過程，因此，數學知識的每一知識點都不是孤立存在的，前后有著密切的聯系。在課堂教學中，教師應注重利用舊知突破新知，將陌生的問題歸結成比原先簡單或者思維難度不高、易于解答的問題，幫助學生理清數學知識之間的內在聯系，從而提高他們分析問題和解決問題的能力。

圓是由曲線圍成的圖形，在教學圓的面積這一課時，在新課的開始階段，教師運用多媒體，在方格圖上出示了一個圓，向學生問道：你們可以估一估這個圓的面積是多少嗎？（假設方格圖中的1小格是1平方厘米）

生1：可以數方格。

生2：可以以圓的半徑為邊長，畫一個正方形，然后根據正方形與圓的關系，估計出圓的面積。

學生2的想法，成功地把曲線的圓轉化成了直線的正方形，這就是化曲為直的思考過程。得到正方形后，就回到了以前學過的內容：用半徑×半徑，算出所畫正方形的面積（r2），它的面積比1/4個圓的面積大一些，然后再乘4，估計出圓的面積比4r2少一些，很顯然這是直觀、簡便的方法。這也為后面把圓進行平均分，拼成平行四邊形或長方形，進而推導出圓的面積計算公式，做好了充分的鋪墊。

學生在學習過程中的探索、交流應是他們自我體驗、自我實現的過程。上述案例，通過滲透化曲為直的思想，激發了學生積極的思維，讓學生更深層次、更靈活地探索新知，這樣既開闊了學生的思維，讓他們的分析更有深度，也使他們的創新能力得到了升華。

二、動手探索，體驗轉化思想

在小學數學課堂中，運用轉化思想的目的就是為了達到求同、求簡。因此，教師應該注意挖掘滲透轉化思想的知識點，從學生的知識基礎與經驗出發，建立新舊知識的內在聯系，促進學生對新知結構的建立，從而幫助學生領悟知識的來龍去脈，增強他們運有轉化思想解決問題的能力。

在探究圓的面積公式過程中，教師通過提問：“還記得我們是怎么探討平行四邊形、三角形、梯形面積公式的嗎？在這些平面圖形面積公式的推導過程中，有什么共同點呢？”

生：都是運用了轉化的方法，把新的圖形轉化成學過的圖形，從而推導出新圖形的面積計算公式。

師：能不能通過剪拼，把圓轉化成我們學過的圖形，從而得出圓的面積計算公式呢？進而出示活動要求：①請以小組為單位，把圓平均分成4、8等份，剪一剪，拼一拼，你們發現了什么？②與小組成員討論、交流，再匯報結果。

生1：我們把一個圓平均分成4個相等的扇形，拼出的圖形有點像以前學過的平行四邊形。

生2：我們小組將圓平均分成8個相等的扇形，拼起來的平行四邊形比剛才的更像了，而且8等份的底要直一些。

……

很顯然，數學知識的形成過程，實際上就是數學思想的發生過程，這就要求教師將數學思想地滲透融合在數學知識的學習過程中。上述案例，教師通過鋪墊，將圓片轉化成已經學過的圖形，學生此時呈現的也許是零散的、朦朧的想法，只要教師加以引導，他們就會發現有價值的結論。

三、直觀演示，感悟極限思想

在以往圖形的轉化過程當中，學生的所見、所得都是實實在在的轉化，而圓是一個曲線圖形，所以不能僅僅用簡單的幾次平均分，進行拼接，就能得到標準的已學圖形。所以，這時就需要借助多媒體來進行直觀演示，憑借學生的邏輯推理和空間想象能力，向他們滲透極限思想，獲得理性上的結論。

在剛才的小組活動后，教師繼續引導：剛才拼出的圖形，是標準的平行四邊形嗎？學生說不是，要讓拼出的圖形更像一個平行四邊形，怎么做？生：可以將平均分的份數變多，可以分成16、32、64份……師：是呀，如果把圓分成64等份、128等份甚至無限等份，那圓會更接近于我們學過的哪個圖形？教師通過課件操作，讓學生直觀感受把圓分成的份數越多，拼成的平面圖形就越近長方形。師：拼成的近似長方形的長和寬與圓有什么關系呢？你能根據它們的關系，推導出圓的面積計算公式嗎？生：拼成長方形的面積與圓的面積相等，拼成的長方形的長等于圓周長的一半（πr），拼成的長方形寬等于圓的半徑（r），長方形的面積=πr×r等于πr2，從而可以推導出圓的面積計算公式S=πr2。

借助課件的動態演示，彌補了動手操作過程中的一些不足，豐富了學生的感知，充分體驗了化曲為直的轉化思想和極限思想，使學生的思維更加清晰，從而抽象出圓的面積計算的公式，并將新的數學思想納入到原有的知識結構當中。

日本數學教學家米山國藏說：“學生們所學到的數學知識，在進入社會后不到一兩年就忘掉了，然而那種銘刻于頭腦中的數學精神和數學思想方法卻長期的在他的生活和工作中發揮作用。”因此，作為一線的老師，我們不能脫離學生的生活經驗，應關注知識的形成過程，讓學生在探索中分析與思考，有機地滲透數學思想，增強學生應用數學思想解題的能力，并采用相應的措施凸現數學內涵，幫助學生實現學習目標，促進學生的全面發展。