注重解題策略方能有效化解排列組合問題

張子祺

（吉林省實驗中學高一.十二班 吉林長春 130012）

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注重解題策略方能有效化解排列組合問題

張子祺

（吉林省實驗中學高一.十二班 吉林長春 130012）

摘 要：排列組合以極概率問題是高中數學的一個重點，也是難點，對于高中學習來說，這類數學問題如果能在平時多加練習并認真掌握其要領，可以在高考中應付自如，從而在考試中得心應手。本人作為一名高中生，平時特別喜歡在數學方面進行鉆研，對于高中數學中的排列組合問題進行分析研究，以便能給高中學生在學習排列組合與概率問題等方面提供借鑒。

關鍵詞：相互獨立事件 排列組合問題 解題策略 組合數計算 互斥事件 排列 組合 概率

排列組合知識，廣泛應用于實際，掌握好排列組合知識，能幫助我們在生產生活中，解決許多實際應用問題。同時排列組合問題歷來就是一個老大難的問題。因此有必要對排列組合問題的解題規律和解題方法作一點歸納和總結，以期充分掌握排列組合知識。

一、排列組合綜合問題的一般解題規律

1.使用“分類計數原理”還是“分步計數原理”要根據我們完成某件事時采取的方式而定，可以分類來完成這件事時用“分類計數原理”，需要分步來完成這件事時就用“分步計數原理”；那么，怎樣確定是分類，還是分步驟？“分類”表現為其中任何一類均可獨立完成所給的事件，而“分步”必須把各步驟均完成才能完成所給事件，所以準確理解兩個原理強調完成一件事情的幾類辦法互不干擾，相互獨立，彼此間交集為空集，并集為全集，不論哪類辦法都能將事情單獨完成，分步計數原理強調各步驟缺一不可，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，步與步之間互不影響，即前步用什么方法不影響后面的步驟采用的方法。

2.排列與組合定義相近，它們的區別在于是否與順序有關。復雜的排列問題常常通過試驗、畫 “樹圖 ”、“框圖”等手段使問題直觀化，從而尋求解題途徑，由于結果的正確性難于檢驗，因此常常需要用不同的方法求解來獲得檢驗。

3.按元素的性質進行分類，按事件發生的連續性進行分步是處理排列組合問題的基本思想方法，要注意“至少、至多”等限制詞的意義。處理排列、組合綜合問題，一般思想是先選元素（組合），后排列，按元素的性質進行“分類”和按事件的過程“分步”，始終是處理排列、組合問題的基本原理和方法，通過解題訓練要注意積累和掌握分類和分步的基本技能，保證每步獨立，達到分類標準明確，分步層次清楚，不重不漏。

4.在解決排列組合綜合問題時，必須深刻理解排列組合的概念，能熟練地對問題進行分類，牢記排列數與組合數公式與組合數性質，容易產生的錯誤是重復和遺漏計數。

總之，解決排列組合問題的基本規律，即：分類相加，分步相乘，排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；正難則反，間接排除等。

二、排列組合問題的具體解題方法

抓住問題的本質特征和規律，靈活運用基本原理和公式進行分析解答的同時，還要注意講究一些解題策略和方法技巧，使一些看似復雜的問題迎刃而解。下面介紹幾種常用的解題方法和策略。

1.特殊元素（位置）的“優先安排法”：對于特殊元素（位置）的排列組合問題，一般先考慮特殊，再考慮其他。

例題：用0，2，3，4，5，五個數字，組成沒有重復數字的三位數，其中偶數共有多少個？

3.相鄰問題用捆綁法：在解決對于某幾個元素要求相鄰的問題時，先整體考慮，將相鄰的元素“捆綁”起來，看作一“大”元素與其余元素排列，然后再考慮大元素內部各元素間順序的解題策略就是捆綁法。例如：有8本不同的書；其中數學書3本，外語書2本，其它學科書3本.若將這些書排成一列放在書架上，讓數學書排在一起，外語書也恰好排在一起的排法共有多少種？

解題分析：把3本數學書“捆綁”在一起看成一本大書，2本外語書也“捆綁”在一起看成一本大書，與其它3本書一起看作5個元素，共有A55種排法；又3本數學書有A33種排法，2本外語書有A22種排法；根據分步計數原理共有排法A55*A33*A22=1440（種）。因此，運用捆綁法解決排列組合問題時，一定要注意“捆綁”起來的大元素內部的順序問題.

4.不相鄰問題用“插空法”。不相鄰問題是指要求某些元素不能相鄰，由其它元素將它們隔開.解決此類問題可以先將其它元素排好，再將所指定的不相鄰的元素插入到它們的間隙及兩端位置，故稱插空法。例如：用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復數字的八位數，要求1與2相鄰，2與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰。這樣的八位數共有多少個？

5.順序固定用“除法”。對于某幾個元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進行全排列，然后用總的排列數除于這幾個元素的全排列數。例如：6個人排隊，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”順序排的排隊方法有多少種？

解題分析：不考慮附加條件，排隊方法有A66種，而其中甲、乙、丙的A33種排法中只有一種符合條件。故符合條件的排法有A6

6÷A33=120種。（或A63種）。

對于這種解題方法，我們還可以從另外一個問題中得到解答方法，比如另外一個例題：4個男生和3個女生，高矮不相等，現在將他們排成一行，要求從左到右女生從矮到高排列，有多少種排法。此題的解法是：先在7個位置中任取4個給男生，有A74種排法，余下的3個位置給女生，只有一種排法，故有A74種排法。（也可以是A77÷A33種）。

應該指出的是，以上介紹的各種方法是解決一般排列組合問題常用方法，并非絕對的。數學是一門非常靈活的課程，同一問題有時會有多種解法，這時，要認真思考和分析，靈活選擇最佳方法，進而能夠對數學產生興趣。