淺談一題多解在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用
——以分段函數(shù)定積分解法為例

段 燕

（臨汾職業(yè)技術(shù)學(xué)院 山西臨汾 041000）

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淺談一題多解在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用
——以分段函數(shù)定積分解法為例

段 燕

（臨汾職業(yè)技術(shù)學(xué)院 山西臨汾 041000）

摘 要：一題多解的情況在數(shù)學(xué)中很常見(jiàn)，初等數(shù)學(xué)中的簡(jiǎn)單函數(shù)問(wèn)題常遇到一題多解，在高等數(shù)學(xué)中也有很多應(yīng)用。本文以分段函數(shù)定積分的解法為例，淺談一題多解在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。通過(guò)不同的解題方法，提高發(fā)散性思維能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)，豐富數(shù)學(xué)知識(shí)。

關(guān)鍵詞：一題多解 高等數(shù)學(xué) 分段函數(shù)定積分

引言

定積分包括積分第一、第二中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、牛頓—萊布尼茨定理和泰勒定理。分段函數(shù)定積分在解題過(guò)程中需要合理運(yùn)用這些定理，可以用不同的方法解題。本文將舉例分析分段函數(shù)定積分的一題多解，進(jìn)而淺析一題多解在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。［1］

一、定積分的定理

1.積分中值定理

2.拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理也叫拉氏定理，它反映了可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上的整體的平均變化率與區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)的局部變化率的關(guān)系。拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣，同時(shí)也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一階展開(kāi)）。［2］

如果函數(shù)f（x）滿足：

（1）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)；

（2）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；

那么在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)x（a＜x＜b）使等式F（b）-f （a）=f’（x）（b-a）成立。

3.柯西中值定理

柯西中值定理為拉格朗日中值定理的推廣，也是微積分的基本定理之一。其幾何意義為，用參數(shù)方程表示的曲線上至少有一點(diǎn)，它的切線平行于兩端點(diǎn)所在的弦。

設(shè)函數(shù)f（x），g（x）滿足

（2）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；

（3）對(duì)任意x∈false（a，b），g’（x）≠0，

4.牛頓—萊布尼茨定理

牛頓—萊布尼茨定理揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)或者不定積分之間的聯(lián)系。其內(nèi)容是一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間 ［ a，b ］ 上的定積分等于它的任意一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間［ a，b ］上的增量。［3］

如果函數(shù)f（x）在區(qū)間［a，b］上連續(xù)，并且存在原函數(shù)F（x），則：

5.泰勒定理

泰勒公式用于函數(shù)在某點(diǎn)的信息描述其附近取值，如果函數(shù)足夠平滑的話，在已知函數(shù)在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值的情況之下，泰勒公式可以用這些導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)近似函數(shù)在這一點(diǎn)的鄰域中的值。泰勒公式還給出了這個(gè)多項(xiàng)式和實(shí)際的函數(shù)值之間的偏差。

泰勒公式可以用（無(wú)限或者有限）若干項(xiàng)連加式（-級(jí)數(shù)）來(lái)表示一個(gè)函數(shù)，這些相加的項(xiàng)由函數(shù)在某一點(diǎn)（或者加上在臨近的一個(gè)點(diǎn)的n+1 次導(dǎo)數(shù)）的導(dǎo)數(shù)求得。對(duì)于正整數(shù)n，若函數(shù)

二、分析一題多解在高等數(shù)學(xué)中的意義

1.提高發(fā)散性思維能力

現(xiàn)在中國(guó)很注重培養(yǎng)人們的思維能力，不再是古代傳統(tǒng)的死記硬背。一題多解能幫助人們提高發(fā)散性思維，不同的解法從用不同的方式解決同一個(gè)問(wèn)題，就像萬(wàn)千條道路都通向同一個(gè)目的地。高等數(shù)學(xué)不僅僅是教給人們數(shù)學(xué)公式，更重要的是培養(yǎng)人們利用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決問(wèn)題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力。一題多解就是數(shù)學(xué)中鍛煉人們發(fā)散性思維的方式之一。將數(shù)學(xué)中的發(fā)散性思維用于生活更是其樂(lè)無(wú)窮。

2.提升高等數(shù)學(xué)的興趣

除了對(duì)數(shù)學(xué)特別感興趣的人以外，普通人面對(duì)一大推的公式符號(hào)，還是會(huì)感到枯燥無(wú)味的。一題多解可以激發(fā)人們探索的興趣，引發(fā)人們?nèi)ニ伎肌Ｈ硕际怯珊闷嫘牡模坏李}可以有不同的方式去解，解題的過(guò)程是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的一種鞏固，也是對(duì)數(shù)學(xué)世界的探索過(guò)程。當(dāng)問(wèn)題解決之后，解題人也會(huì)有成就感。

3.提高創(chuàng)新意識(shí)

一題多解需要有創(chuàng)新意識(shí)，不滿足于固定的解題模式，探索新的解題方法。做一道題，需要學(xué)會(huì)舉一反三，不僅要熟知已學(xué)的知識(shí)，還要做到溫故而知新。任何領(lǐng)域都需要?jiǎng)?chuàng)新才能進(jìn)步，創(chuàng)新是發(fā)展的源泉。在數(shù)學(xué)中，一題多解正是培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)的好方式。

三、總結(jié)

一題多解在高等數(shù)學(xué)中很常見(jiàn)，本文只是以分段函數(shù)定積分為例，簡(jiǎn)單分析了一題多解。分段函數(shù)的知識(shí)在生活中也很容易遇到，在不同的取值區(qū)間，函數(shù)表達(dá)式不同，分段函數(shù)定積分的解題方式很具有代表性。在高等數(shù)學(xué)中有一題多解，其他領(lǐng)域也一樣，給我們的啟示就是遇到問(wèn)題不要局限于一種思維模式，要嘗試不同的方法。

參考文獻(xiàn)：

［1］郎麗麗，張喜紅，康育慧，等.淺談一題多解在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用——以分段函數(shù)定積分解法為例［J］.數(shù)理醫(yī)藥學(xué)雜志，2015-04-15.

［2］李偉勛； 李中.關(guān)于新編《高等數(shù)學(xué)》教材增設(shè)“一題多解”的探討［J］.科教文匯（中旬刊），2015-10-20.

［3］張秀蓉.高等數(shù)學(xué)視角下的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究——以函數(shù)教學(xué)為例［D］.福建師范大學(xué)，2014-06-01.