《函數y=Asin（ωx+φ）的圖象（1）》教學實錄

【課例導讀】

高境界的數學教學應基于思維發展，包括重視數學知識的內在聯系，凸現核心知識的價值，數學規律的形成和思維逐步深入的過程，數學思想方法的提煉以及數學理性精神的體驗等方面。而優質的數學思維又集中表現在如何有效地提出問題與解決問題的過程中，因而我們的數學活動可以以問題為研究的起點，以問題為研究的主線，并以問題的解決作為最終的教學目標。具體到這節課上，王榮鑫老師采用了“問題引領，自主建構”的教學方式，合理優化了問題的情境，有效凸顯了問題的作用，并讓學生在對問題的探究體驗中，掌握科學的研究方法，提升了數學的思維品質，這種帶有研究意味的教學方法與思路給我們的數學教學帶來了啟發。

【執教者簡介】

王榮鑫，江蘇省邗江中學數學教師，揚州市中青年教學骨干，曾獲江蘇省高中青年數學教師優秀課評比二等獎、揚州市優質課評比一等獎、揚州市基本功大賽一等獎、揚州市骨干教師展示一等獎等榮譽，有多篇論文在學術期刊上發表。

【課例呈現】

一、呈現背景、創設情境

（課前投影展示歡樂世界摩天輪動態畫面）

師：同學們，請看大屏幕，摩天輪上的每一點隨著時間的推移在周而復始地運動，從中我們可以抽象出如下數學模型。

（PPT動畫演示點P繞圓心做勻速圓周運動）

師：大家回憶一下，我們如何將單位圓上的任意一點P的位置表示出來？

生：通常是建立直角坐標系，用坐標來表示點P位置。

師：我們建立如圖所示的平面直角坐標系，圓O的半徑為A，P0為圓O上的一點，以射線OP0為終邊的角為φ，P點從P0出發沿圓O逆時針運動，P點每秒轉過的弧度為ω，求x秒后，P點的縱坐標y。

（學生經過計算，得到結果）

生：y=Asin（ωx+φ）。

二、啟發引導、提出問題

師：函數y=Asin（ωx+φ）刻畫了P點的運動規律，今天我們一起研究這個新函數的圖象。你覺得這個函數與學過的哪個函數有聯系呢？

生：y=sinx。

師：你為什么覺得這兩個函數有聯系呢？

生：這兩個函數都是刻畫周期運動的函數，另外，我覺得這兩個函數的解析式很像，都有正弦符號，我猜他們之間應該有聯系吧。

師：我們今天就來研究函數y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的圖象與y=sinx圖象的關系。

問題1：函數y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的圖象與y=sinx的圖象是什么關系？

三、自主建構，解決問題

生：我們已經學習過正弦曲線y=sinx的圖象，可以作出y=Asin（ωx+φ）的圖象，然后尋找圖象之間的關系。

師：你打算如何作出y=Asin（ωx+φ）的圖象？

生：用五點作圖法。

師：觀察這兩個函數的解析式，思考它與正弦曲線的關系，你還能有別的想法嗎？

生：可由y=sinx的圖象經過圖象變換得到。

師：為什么這么想？

生：當A=1、ω=1、φ=0時，y=Asin（ωx+φ）就是y=sinx，y=sinx是y=Asin（ωx+φ）的一個特例，我想是不是能由y=sinx圖象變換得到y=Asin（ωx+φ）的圖象。

師：在由y=sinx圖象變換得到y=Asin（ωx+φ）圖象的過程中，哪幾個參數對函數圖象有影響？

生：A、ω、φ。

師：如何研究A、ω、φ對y=Asin（ωx+φ）圖象的影響？

（學生獨立思考）

生：先固定其中的兩個，研究另外一個參數對圖象的影響。

師：具體的研究的計劃呢？可以繼續思考一下，如何“固定”？

（獨立思考）

生：我們可以讓A=1、ω=1、φ=0中的兩個成立，研究另外一個參數對圖象的影響。

師：下面分別研究y=sin（x+φ）、y=Asinx、y=sinωx與y=sinx圖象的關系。你能設計一個方案，探究參數對圖象的影響？大家可以進行小組討論。

（分組討論，交流成果）

生：我們可以舉幾個具體的例子，讓A、ω、φ取特殊的值，看看他們分別與y=sinx圖象的關系，找找有什么規律。

師：對，我們可以從具體的例子入手，探求一般性的規律，這體現了從特殊到一般的思想。

問題2：函數y=sin（x+φ）的圖象與y=sinx圖象是什么關系？

（學生自由選取φ為不同特殊值，在坐標紙上作圖，然后獨立探尋圖象之間的關系）

（實物投影學生畫圖，學生敘述研究結論）

生：取φ=1，通過作圖發現y=sin（x+1）可以看成由y=sinx圖象向左平移1個單位得到。

師：圖象向左的意思是什么？

生：圖象是由點構成的，y=sin（x+1）可以看成由y=sinx圖象上每一點向左平移1個單位得到。

師：你能得到一般性的結論嗎？

生：y=sin（x+φ）的圖象可以看成y=sinx圖象上所有點縱坐標不變，向左/右平移了φ個單位而得到。

（幾何畫板動態演示，φ可以取任意值）

師：經幾何畫板檢驗，結論確具一般性。

問題3：函數y=Asinx（A>0且A≠1）的圖象與y=sinx圖象是什么關系？

（學生任選A為不同特殊值，在坐標紙上作圖，然后獨立探尋圖象之間的關系，歸納得到一般性結論，然后在小組內討論，學生用幾何畫板進行驗證，最終達成共識）

生：由y=sinx圖象變換為y=Asinx（A>0且A≠1）的圖象，就是將y=sinx圖象上所有點的橫坐標不變，縱坐標變為原來的A倍即可。

師：大家從特殊到一般，歸納猜想出y=Asinx、y=sin（x+φ）與y=sinx圖象的關系。我們還可以用什么方法來研究？

生：還可用剛學過的必修一函數部分圖象變換的知識解決。我們研究過y=2x與y=x圖象之間的關系，y=（x+1）2與y=x2圖象之間的關系，第一個是函數圖象上每一點的橫坐標不變，縱坐標變為原來的2倍，第二個是圖象向左平移1個單位。這與我們剛才得到的結論是完全一致的。

師：對，剛才我們使用兩種方案研究y=sin（x+φ）、y=Asinx與y=sinx圖象的關系，第一種方法是從特殊函數的變換中歸納出一般性結論，第二種方法是類比之前所學的函數圖象變換的方法得到的結論。通過幾何畫板的演示，我們也驗證了同學們所得的結論是合理的。

師：那么，以上的幾種函數圖象變換過程中有什么不變的性質？

（教師用幾何畫板輔助演示）

生：函數的周期性。

問題4：函數y=sinωx（ω>0且ω≠1）的圖象與y=sinx圖象的關系又是什么呢？

師：我們當然可以用剛才特殊到一般的方法加以解決。你能不能應用所學y=Asinx與y=sinx圖象關系的知識，類比出y=sinωx與y=sinx的關系呢？

（分組討論，交流展示）

生：將y=Asinx的表達式改寫為y=sinx，并令y=Y，可得Y=sinx，Y=AY，就是說，y=Asinx的圖象是將y=sinx圖象上點的縱坐標乘以A得到（橫坐標不變）。因此，從y=sinx變換為y=Asinx，是將y=sinx圖象上所有點的橫坐標不變，縱坐標變為原來的A倍。

生：對于y=sinωx，令X=ωx，可得y=sinX，x=，就是說，y=Asinx（A>0且A≠1）的圖象就是將y=sinX的圖象的橫坐標乘以得到（縱坐標不變）。

師：對，我們還可以進一步從點的變換角度來嚴謹的推理出這個結論。

師：設函數y=sinx圖象上有一點P（x0，y0），則y0=sinx0，變換以后為P'（，y0），顯然P'在y=sinωx上，同理反之也成立，因此，y=sinx圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的就得到了y=sinωx的圖象。

師：這說明y=Asinx（A>0且A≠1）、y=sinωx（ω>0且ω≠1）兩個函數的圖象，就是分別將y=sinx圖象在縱向、橫向兩個方向進行的伸縮變換。其本質就是y=sinx圖象上點的變化，一個是橫坐標不變，縱坐標變為原來的A倍，后一個是縱坐標不變，橫坐標變為原來的。

師：總結在以上研究A、ω、φ對圖象影響的過程中，函數有什么性質是不變的呢？

生：函數的周期在變化，但仍然是周期函數。

四、操練拓展、反饋糾正

師：剛才我們共同研究了y=Asin（ωx+φ）圖象中A、ω、φ對圖象的影響，下面大家嘗試獨立解決下列問題。

問題5：為了得到函數y=sin（2x+1）的圖象，只需將函數y=sin2x）圖象上所有的點向左平移多少個單位長度？

生：向左平移1個單位長度。

師：有同學有不同的看法的，請闡述自己的看法。

生：應該是向左平移個單位長度。

師：為什么不是1？

生：因為圖象的變換本質是點的變換，這里左右平移，是點的橫坐標在變化，所以應該是看x變化了多少。

師：你能給出一般性的結論嗎？

生：一般地，函數y=sin（ωx+φ）（ω>0，ω≠0）的圖象是將函數y=sin（ωx）的圖象上所有的點向左（當φ>0時）或向右（當φ<0時）平移個單位長度而得到。

師：經過研究我們都清楚了，由y=sinx變換到函數y=Asin（ωx+φ）的圖象，是由A、ω、φ決定的，從這個角度去思考，由y=sinx變換而得y=Asin（ωx+φ）的圖象，路徑共有幾條？

生：六條。

師：很好，大家課后可以思考一下這幾種路徑是否可行？并總結出比較容易出問題的地方，下節課我們接著進行研究。

五、歸納反思、總結提高

問題6：通過本節課的學習，你有哪些感受與同學們分享？

（學生歸納總結，教師點評）

師：在研究y=Asin（ωx+φ）圖象與y=sinx圖象關系的過程中，我們知道了從特殊到一般的數學思想，知道了如何通過觀察、猜想、驗證的方法來研究新問題，進一步了解如何將一個復雜的問題進行分解、轉化，然后用已有的知識去加以解決。

（王榮鑫，江蘇省邗江中學，225009）

責任編輯：趙赟