基于數學知識分類的認知工具設計原則

☆高鶴　馬玉慧（渤海大學，遼寧錦州　121000）

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基于數學知識分類的認知工具設計原則

☆高鶴馬玉慧
（渤海大學，遼寧錦州121000）

摘要：在中小學教育中，數學作為一門不可或缺的課程，成為了教育教學改革中的重要關注點。課改要求數學教育作為促進學生全面發展教育的重要組成部分，還要充分考慮學生發展和在學習過程中表現出的個性差異，因材施教。目前課件等認知工具盛行，但并不能針對學生的問題進行制作，對學生學習促進作用并不大。文中將數學知識分為兩類：幾何-空間型數學知識和代數運算型數學知識，針對兩類知識的學生學習心理和知識特點，進行設計原則的制定，并通過對幾個數學認知工具的設計分析和實驗研究，發現制定的設計原則對學生的學習成績有所幫助，以期為中小學數學教師和研究人員的后續工作提供一些幫助。

關鍵詞：數學知識分類；認知工具；案例；設計原則

一、概念界定

本文研究的是狹義的認知工具，即數學認知工具，它是指基于計算機技術，能夠提高學習者數學學習的興趣，支持數學知識的建構，幫助學習者減輕數學認知負荷，提高數學思考能力、認知能力和空間能力的認知模式媒介。例如：概念圖、動畫、視頻和課件等。

二、基于數學知識分類的認知工具設計原則

常見的數學知識可以分為幾何-空間型數學知識和代數運算型數學知識。

（一）幾何--空間型數學知識的設計原則

幾何-空間型數學知識具有空間性，又具有邏輯演繹的特點。學生可以通過利用直觀圖形、實際的操作和演示來加深印象，增添學習中的實驗性。圖形的綜合性，可以將更多的特征信息或背景因素展現出來。

幾何-空間型知識常見的認知障礙是，二維圖形只能展示某一點的特殊情況，或學生定勢于標準圖形，無法擺脫靜態圖形的限制；由二維靜態信息來呈現三維情境，或反過來，維度上的差異會導致視覺“失真”，起初學生理解起來比較困難，無法把孤立的成分整合成有序的意義結構，無法理解圖形背后隱藏的幾何概念，只能注意到沒有聯系的事實；幾何語言與文字語言互譯不正確。

根據對上述特征和認知障礙的分析，筆者針對知識特點和發現的問題，總結出如下設計原則。

1.視覺構造——幫助二維平面與三維空間的轉化

空間能力，是許多學科學習中最重要的能力，如數學、物理、化學、科學等，有研究表明：人腦皮層中針對的數學學習的認知支持網絡，具有分布式的特點，這意味著數學的多重表征結構得到人腦認知支持。分布式認知網絡結構相較于其它具有精確語言表征的結構，本身具有較強的進化發展空間、更多的視覺空間特點[1]。學生在學習三維立體幾何數學知識時，常常受到空間、材料和思維定勢的束縛，習慣于二維平面的感知，但對三維空間、透視等，缺乏將二維平面轉化成三維立體的意識，保持和遷移能力很低。

隨著多媒體技術的迅速發展，三維技術已經被引入教育，幫助提高空間能力的學習。很多研究證明，多媒體技術，如果設計合理則可以提高學生的表現。近年來，許多多媒體技術與三維動畫或軟件系統的應用也已被證明可以有效提高學生的空間能力。

所以，在設計此類認知工具的時候，要將原本需要學生進行大容量認知負荷的思維抽象轉化為空間動態，化二維抽象為三維動畫，有利于學生加強平面幾何與立體幾何的學習。

這個案例中的數學認知工具，是一個多媒體學習環境下的學習系統，目的是為了提高學生的空間能力。在這個系統中，可以用動畫模擬二維圖形折疊成立方體的形狀，或立方體擴展成二維圖形等。在學習的過程中，提出一個折疊或展開的問題，然后讓學生思考并提交答案，此時系統會給出答案“真”或“假”[2]，根據學生對這個問題的答案提供一些線索（即“思考為什么這個二維圖不能被折疊成一個立方體，以及如何改變現有這種展開圖形的形狀的擺放被折疊成立方體”），如果學生按下“折疊”按鈕，提示動畫將被播放。這些動畫可以用三維動畫軟件制作完成，模擬二維圖形如何折疊的立方體的過程，或是不能折疊成的過程。動畫與提示的模型（如圖1）。

此案例通過在實驗室中分組前后測的實驗證得，三維動畫確實是提高學生的空間能力的有效方法。而且，此案例中的三維動畫也有利于提高學生有關二維圖形和三維圖形之間轉換的空間想象能力。在進行如上空間體折疊的認知工具設計中，還可以利用Flash制作成為交互性更強的版本，在現有功能的基礎上可以通過加入簡單的腳本語言，如鼠標點擊左鍵進行折疊，通過點擊右鍵進行展開，讓學生實時看見折疊或展開的動態。

2.圖形分割——化思維抽象為動態變化

杜瓦爾將兒童的幾何理解水平分為4類：知覺性理解、構圖性的理解、論述性理解和操作性理解。其中，操作性理解是當學生觀察一個圖形時，可以通過操作圖形來得到靈感，而在以不同方式（平移、旋轉、縮放等）改變圖形之后，得到操作性理解，這些操作使得圖形具有啟發性的功能。杜瓦爾還強調，任何一個圖形都是由幾個基本的圖形單元所組成的，其中的一些子結構（或者一些基本完形）是解決問題的關鍵，因此，解決幾何空間類的題，關鍵就在于利用視覺技能把那些關鍵的子結構分割區分出來[3]。所以在對認知工具進行設計時，應將大圖形中的小圖形逐一分割，然后通過不同方式（平移、旋轉、縮放等）將圖形改變之后，發現圖形各個部分之間的關系，最終得到答案。

例如：圖2中，題目是“在RT△ABC中，∠A=50°，點D在斜邊AB上，如果△ABC經過旋轉后與△EBD重合，那么這一旋轉中心是哪個點？旋轉角是多少？”。設計圖形中包括兩個三角形——△ABC和△EBD，將這個圖形中的兩個三角形拆成出來，然后經過旋轉和平移，得到結論。學生可以通過拖動右側拉桿條上的點調節旋轉△ABC，在拉桿條上會顯示旋轉的角度。

圖2　圖形分割原則設計示意圖

（二）代數--運算型數學知識的設計原則

代數-運算型數學知識的特點是，具有典型的操作性和潛在的運算過程，其形式化也往往具有直觀啟發性。代數其實是省略了對象和運算的實際情境，去掉實際語言帶有的差別，使其一般化，但也可能使學生無法理解符號的含義。在進行這類知識的分析時，應先用簡要的形式表述問題（畫圖表等），試圖簡化問題（考慮對稱性、固定一些變量、特殊情況等），然后選擇觀點、重點的性質法則。在純粹的代數題（代數式的表示、賦值與變形、解方程、不等式的解或證明、函數的表示即函數性質的研究、數列及遞推關系的討論等）方面，等價關系是基礎。在代數應用題方面，問題表述的文字轉化極為重要，自然語言的句法結構與數學表達式的代數結構是有差異的。此外，還要注意處理問題的方法，要將問題與代數系統建立對應關系，并將問題中的操作或關系以代數系統中的運算呈現。

大多數學生將代數運算看作一種程序規則，而非一個數學對象，有些缺乏形式思維理解能力的學生在將文字題轉化成代數時存在問題，比如：認為題意中的文字信息都應被使用，這是學生在建構語意網絡時的障礙。根據對上述特征和認知障礙的分析，針對知識特點和發現的問題，筆者總結出如下設計原則。

1.圖解文字信息——加強形式思維理解

心理學表明，用不同的方法重新敘述，可以啟發解題思路，具有啟發功能。圖解代數題中的文字信息，可以使學習者在學習代數運算類的知識時，更有效地進行數量分析，也可以使題意理解更加清晰，有效消除學生在對文字題語意轉化的障礙。

圖解法包括線段圖解法、圖形圖解法以及表格圖解法。即將問題用適當的方法重新表征出來，消除掉自然語言的句法結構與數學表達式的代數結構式之間的差異，加強形式思維、邏輯思維的理解[4]。如圖3是一個來自臺灣的計算應用題設計示意圖，題目是“臺灣高速鐵路有臺北到高雄（左營）全長約345公里；沿途經過14個縣市及77個鄉鎮市，從臺北到高雄的左營站，沿途一共有板橋、桃園、新竹、臺中、嘉義、臺南等6個停靠站。請你算一下，如果小明在臺中站進站，想購票上車，應該會有幾種不同的單車車票可以購買？”對于這類題，教師可以按照題意，用線段圖解法將文字信息重新表征，并將重點突出，促進思維形成。

圖3　臺灣計算應用題設計示意圖

2.軌跡跟蹤、結論驗證

在數學學習中，驗證是數學思維的主要內容之一，數學驗證可以激發學習者的創造能力，數學驗證也是一種學生構建數學的過程。《數學課程標準》強調，在教學時要讓“學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動”，所以，驗證也是數學教學的基本要求。教師應有目的地創設探究性的學習環境，讓學生有充分驗證的空間[5]，這就需要在認知工具的設計中，盡量給學生呈現多樣化、功能齊備、操作簡易的軟件平臺，學習者就可以在平臺上進行簡單的操作，或開發有用的功能，通過軌跡跟蹤或內部參數公式等方法，得出結論，免去學生生搬硬套之難，不再把運算當作程序，而是一個對象。

如圖4中，學生可以自行在軟件中輸入想要的公式，生成函數圖形，開發其斜率計算跟蹤功能，學習者自己通過拖拽等方式改變函數切線切點位置，軟件動態顯示斜率變化，并跟蹤顯示斜率數值變化線段。學生可以驗證結果，并為下一階段學習打下基礎。

圖4　軌跡跟蹤、結論驗證設計原則示意圖

在解題或考試的過程中，很多題目可能需要學生綜合運用幾類知識進行作答，所以，教師在進行認知工具的設計時，也要全面考慮多種類型的設計原則，將各類設計原則巧妙結合，達到促進學生思維，提高學習效率的效果。

三、實驗驗證與結果分析

通過上述分析與設計原則，筆者對初高中數學教材進行了試驗開發。這里節選出部分內容——主要以北師大版八年級《數學》下冊進行展示。這部分涉及的主要內容分為：三角形、四邊形的性質；圖形的平移和旋轉；一元一次不等式方程；分式基本意義及解分式方程等。設計過程中，筆者邀請一線教師——鐵嶺市支教數學教師張宏家給予指導。經過張老師的分析，學生在學習這部分內容時，有以下需求：（1）圖形的平移和旋轉是難點，書上語言晦澀，學生學起來有困難，希望相關內容可以更加充分；（2）不知道書上的一些術語，希望給予解釋；（3）習題有點少，希望多一些測試；（4）自制力比較好的學生希望多一些拓展學習。

根據前期樣本對象和內容的分析，筆者制定了詳細的交互支持開發方法，并進行了數學認知工具的開發。本次中學數學認知工具的設計與開發主要基于Windows系統進行，主要采用GeoGebra數學開發工具，GeoGebra需在Java環境下運行，因此，在安裝GeoGebra前，先要在計算機中安裝Java虛擬機。GeoGebra的功能齊全，其特點是可以跨平臺，簡單易操作，界面友好，具有較強的交互性，不僅包含了幾何、代數、表格和圖形，還具備符號計算、微積分、統計等功能。此外，GeoGebra也是非常好的繪圖工具。

筆者對兩類知識分別進行實驗，在教育水平較為不錯的遼寧省本溪市實驗中學進行。在實施過程中，進行的是隨機化實驗組、控制組前后測設計，然后對兩對實驗組和控制組進行兩次獨立樣本T檢驗，由數據得到：在幾何組中F=1.866，顯著性概率Sig.=0.176，遠大于0.05，證明兩組學生前測成績無顯著區別，可以推斷幾何-空間型知識的實驗組和控制組學生水平無顯著差異；在代數組中F=1.332，顯著性概率Sig.=0.252，遠大于0.05，即推測兩組學生前測成績無顯著區別，可以斷定代數-運算型知識的實驗組和控制組學生水平無顯著差異。

在對兩地進行過T檢驗后，可以排除前期學習能力的干擾，對實驗的后測結果進行單因素方差分析，結果如下：對幾何組單因素ANOVA分析結果顯示，方差齊性檢驗值為0.518，檢驗結果的相伴概率P值相對應于Sig.=0.474，顯著水平α設為0.05，滿足單因素方差中方差相等的要求；在ANOVA差異分析中，假設在學習中有無認知工具的支持對學生后測成績影響沒有差異，而得到的F=14.930，相應的概率P值Sig.=0.000，應否定原假設，認為有無認知工具的支持對學生學習的后測成績有顯著影響。

在對代數組的單因素ANOVA分析結果顯示，方差齊性檢驗值為3.622，檢驗結果的相伴概率P值相對應于Sig.=0.061，顯著水平α設為0.05，基本滿足單因素方差中方差相等的要求；在ANOVA差異分析中，假設在學習中有無認知工具的支持對學生后測成績影響沒有差異，而得到的F=12.045，相應的概率P值Sig.=0.001，應否定原假設，推測有無認知工具的支持對學生學習的后測成績有顯著影響。

參考文獻：

[1]董奇,張紅川,周新林.數學認知:腦與認知科學的研究成果及其教育啟示[J].北京師范大學學報(社會科學版),2005,(03):40-46.

[2] Guo Jiong,Ma Yuhui,Gao He.The impact of using 3D animation in students' spatial ability:Proceedings of the 22nd International Conference on Computers in Education[C], Nara,Noveber 30-December 4,ICCE 2014:379-384.

[3] Duval,R.(1998).Geometry from a cognitive point of view. In: C. Mammana & V. Villani(Eds.),Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21st Century, An ICMI Study[Chapter 2.2].The Netherlands: Kluwer Academic Publishers.

[4]高月琴.試論圖解法對小學數學解題的作用及實施對策[J].數理化學習,2014,(10):93-100.

[5]朱慶飛.小學生數學驗證能力的培養[J].教學月刊小學版,2001, (11):30-32.

[編輯：鄭方林；實習編輯：龐潔]

中圖分類號：G434

文獻標識碼：A

文章編號：1671-7503（2016）07-0033-03