妙用變換巧解題

姜奎宏

摘 要：幾何問題主要考察了學(xué)生們的思維變換能力。有些幾何問題在不經(jīng)圖形變換的情況下很難解答，但往往通過簡單的圖形平移、旋轉(zhuǎn)等變換就很容易得到問題的答案。利用圖形變換解題的技巧也已經(jīng)成為幾何題目的重要考察點。

關(guān)鍵詞：幾何問題；變換；新圖形；解題技巧

有些幾何問題初看很難入手，但當(dāng)把圖形的某一部分或平移、或旋轉(zhuǎn)、或翻折等變換后，便可將分散的條件相對集中，發(fā)現(xiàn)新圖形的一些奇妙性質(zhì)，解題思路也就隨之暢通。請看下面幾個例子：

例1.在平行四邊形ABCD中，點A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分別為AB和CD的五等分點，點B1，B2和D1，D2分別是BC和DA的三等分點，已知四邊形A4B2C4D2的面積為1，則平行四邊形ABCD面積為（ ）

A.2 B.35 C.53 D.15

分析：此題根據(jù)面積公式無法直接計算，注意到A4D2，B2C4，A4B2 D2C4，故可考慮將△AA4D2平移與△CB2C4拼接，△BA4B2平移與△DD2C4拼接，也可將陰影部分四邊形A4B2C4D2先分割、再平移拼接，這樣圖中陰影部分與的ABCD面積關(guān)系便一目了然。

解：將陰影部分四邊形A4B2C4D2分割，平移

可知S四邊形A4B2C4D2=SABCD

∴SABCD =×1 =

故選（C）

例2.如圖2，AB是⊙O的直徑，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD，AB∥EF，AB=10，CD=8，EF=6，求圖中陰影部分面積。

分析：根據(jù)條件，運用有關(guān)面積計算公式直接計算陰影部分面積有困難。注意到AB∥CD，AB∥EF，于是圖中陰影部分面積可先考慮等積變換轉(zhuǎn)化為扇形OCD、扇形OEF的面積（如圖3），再將扇形OEF通過旋轉(zhuǎn)變換至圖4位置，問題便迎刀而解。

解：連結(jié) OC、OD，OE、OF

∵ AB∥CD，AB∥EF

∴ S扇形OCD=S陰影CAD

S扇形OEF=S陰影BEF

∴S陰影= S扇形OCD+ S扇形OEF

將扇形EOF繞點0按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使OF與0D重合

由題設(shè)條件AB=10，CD=8，EF=6

故旋轉(zhuǎn)后的兩個扇形恰好構(gòu)成一個半圓（如圖4）

∴ S陰影=S⊙O=π

例3.如圖 5，正方形……