地方院?！毒€性代數》教材編寫的思考與實踐

何亞麗 閆焱 劉琳琳

【摘要】本文深入分析目前高校特別是地方院校使用的線性代數教材以及學生學習線性代數知識的基本狀況，在此基礎上，結合作者多年的教學經驗，提出新的教材編寫思路，在教材的內容安排、體系結構、軟件使用、理論應用等幾個方面做了大膽的嘗試，以期為線性代數教學質量的提高及學生數學應用能力的培養提供有力的支撐.

【關鍵詞】線性代數；教材；直觀與抽象；理論與應用；Mathematica軟件

一、引言

線性代數是高等院校理、工、經、管等各專業學生的一門必修課.是學生學習專業課的必備基礎，也是理工科研究生入學考試的必考內容.因此，線性代數知識的掌握對學生后續課程的學習及未來的深造都有影響.另外，在分析實際問題時，扎實的代數功底是構建實際問題的數學模型及對問題進行求解時所必需的基本工具.因此，線性代數在科學研究中的應用日益廣泛，其重要性也日益凸顯.讓學生深刻領會、掌握線性代數的思想、方法并能應用于實際問題的解決是數學教育工作者不可推卸的責任.

線性代數具有概念多、內容抽象、易忘、難學的特點，隨著線性代數課程的改革和發展，對于現代化思想與方法的滲透的要求越來越高.學時少、內容多、要求高使線性代數教學受到新的挑戰.在這樣的背景下，如何在有限的時間內高質有效地開展線性代數教學是個亟待解決的問題.在教學活動中，教材、教師、學生是教學質量生成的三種基本要素.教材作為三要素之一是重要的教學資源，是體現課程教學理念、教學內容、教學要求，甚至教學模式的知識載體，在教學過程中起著引導教學方向、保證教學質量的作用.一本適宜的教材可使教學效果事半功倍.為此，我們對目前高校特別是地方院校使用的線性代數教材做了深入的分析，結合多年來對學生學習情況的調查研究，筆者認為，目前大多數高校的線性代數教材以理論為主導思想，偏重理論體系的完整性，過多強調證明和推理，再加上該課程本身所固有的抽象性和邏輯性，計算的繁瑣和計算量之巨大，使得學生學起來費時費力，有一定困難，學習興趣不高，同時還弱化了該門課程的計算功能以及在后續專業課中的作用.我們認為21世紀的線性代數教材應強調基礎與現代科學貫通，應以“保證基礎、體系先進、聯系實際、引導創新、分清層次、利于教學”為原則，緊扣基本教學要求，并高度突顯“創新”二字，應在“培養學生的科學思想”、“關注知識應用”、“教材的可教性”、“語言凝練”以及“啟發性與趣味性”等方面都有所體現.

二、新教材編寫思路與特點

筆者結合自己多年的教學經驗對線性代數教材的體系結構做了較大改動，大膽嘗試了新的編寫思路.以是否“有助于達到人才培養目標”為基本規范和根本標準，編寫了一本適合地方院校的線性代數教材.主要有如下幾個特點

1.突破傳統，構建獨特的結構體系

本書最突出的特點是將各章都分成五部分：基本概念篇、軟件實現篇、價值體現篇、解因析理篇和拓展提高篇.我國的大學具有多層次性，每年上百萬學線性代數的大學生中，有很多層次，其要求差別很大.對多數學生來說，不教他們算題而去教抽象思維，將是對資源的極大浪費.因此，我們將線性代數中的基本概念剝離出來.引入數學軟件Mathematica，將繁瑣的計算交給計算機完成，并引導學生將所學知識用于實際問題的解決，將每一章的前三部分拿出來可自成體系，即使只學習前三部分，也能全面了解線性代數的基本概念和方法，解決相關實際問題.這對于部分只注重應用的獨立學院學生，文科、醫學部分專業學生和專科學生是適用的.解因析理篇包括線性代數的所有方法、結論和基本計算技能，彌補前三部分在理論敘述上的不足，保證線性代數知識結構的嚴謹和完整.需要對線性代數理論及應用全面了解的專業的學生應學習前四部分內容.拓展提高篇注重的是解題思路的分析、計算技巧的歸納以及題型變化的多樣性介紹等，以期達到深刻理解、融會貫通的效果.有進一步深造和考研要求的學生則應將五部分全部學完.這種獨特的體系結構，層次分明，宜教易學，學生可各取所需，從而滿足各個不同層次專業學生的需要.

2.克服抽象，使直觀與抽象共存

按照現行的國際標準，線性代數是通過公理化來表述的，它是第二代數學模型.這意味著數學的表述方式和抽象性的全面進化.數學的公理化、系統性描述使得線性代數內容在嚴謹性上大大提高，但在直覺性上有一定的缺失.我們不認為直覺性與抽象性一定相互矛盾，特別是在數學教育和數學教材中，如果一味注重形式上的嚴格性，學生就好像被迫進行鉆火圈表演的小猴子一樣，變成枯燥的規則的奴隸.多年來，線性代數概念的抽象、計算的冗繁、內容的枯燥一直困擾著學生的學習.幫助學生建立直覺，有助于他們理解抽象的概念，進而理解數學的本質.因此，本教材的編寫立足普通高等院校人才培養的需要，把握“科學、簡約、應用、現代”的原則，力爭使教材內容既保持嚴謹的風格又直觀生動，易學易懂.具體做法是各章知識與中學數學無縫銜接，每個概念的引入都有出處.或來自中學數學的延伸，或來自幾何直觀及實際問題的解決，讓學生感覺線性代數并非無源之水無本之木，它實實在在地存在于我們的生活中.以提出問題，討論問題，解決問題的方式展開教材，使學生既知其然也知其所以然.

3.加強應用，使理論與應用共融

由于課時的限制，線性代數教材極少涉及實際應用內容.線性代數是一門基礎的學科，是一門技術性的學科.將一些平時中遇到的問題，用線性代數的知識進行分析，可以充實授課內容.特別是與其他學科相結合的案例講解，可以在傳授理論知識的同時教會學生合理的應用，從而滿足大多數學科的需求.通過閱讀和研究應用問題和實例，不僅使學生提高了學習興趣，也達到了鞏固基本知識的目的.更為重要的是，通過對應用實例分析，可以了解如何將一個實際問題模型化，然后選擇合適工具進行分析，這大大提高了應用理論知識和獨立思考的能力.因此，本教材每一章的第三部分都安排為“價值體現”，內容是能用線性代數知識求解的實際案例.這部分內容既可以在課上講解一部分，也可以作為閱讀材料.如何時間緊還可以將其求解過程用軟件實現，主要目的是讓學生親身體會線性代數知識的實用價值，不再對線性代數產生距離感，真正覺得其有用、好用、實用.

4.利用軟件，使現代技術得以充分發揮

目前，國內很多線性代數教材中關于基本概念和基本方法的介紹方式基本上采用介紹概念、演示例子、重復練習的傳統技能培訓過程.這種方法在強調基本計算能力的年代是非常重要的，但是，對于培養適應新時代的人才是不夠的.隨著電子計算機的普及，現在學生基本上都能夠熟練使用計算機.同時，國際上有一些成熟的數學工具軟件，例如MathWork公司的MatLab，Worlfram公司的Mathematica，都已經具備了非常強大的功能，融入了線性代數中所有計算對象和方法.利用這些工具軟件，完全可以讓學生自己進行探索.特別是實際問題中所涉及的方程組和矩陣往往是大規模的，高階的，用人工來計算是非常不易的，而且基本上是不可行的，所以需要用到計算機來進行計算.我們將Worlfram公司的Mathematica軟件與線性代數相結合，讓學生掌握如何用Mathematica軟件進行相關計算的同時，加深對所學線性代數知識的理解.無論從Mathematica這門程序設計語言出發，還是從線性代數這門課程改革的意義出發，兩者相結合實施教學都有可取之處.本教材包含了很多Mathematica程序設計實例，或者研究課題.相比較而言，國內線性代數教材很少有使用數學軟件的練習內容，或者雖有也是寥寥數筆，一帶而過.我們則“堂而皇之”的將“軟件實現”放在每一章的第二部分，通過Mathematica軟件的使用，不但可以提高分析問題能力，也熟悉了現代計算工具的使用，大大擴展了線性代數教學內容.在計算機軟件的輔助下，除了可以看到抽象的理論論述和符號推演外，也可以看到極為直觀的圖形演示，有益于提高學習內容的趣味性.

另外，由于數學軟件Mathematica涵蓋了線性代數的所有計算，絕大部分計算只需一兩個語句就可完成，并不占用過多課時，省時省力，大大提高學習效率.將基本知識、計算技能與計算機應用融為一體，復雜計算借助Mathematica實現，幫助學生實現由知識向能力的轉化.

傳統線性代數教材理論推理完整，內容相對抽象、邏輯體系嚴密，例題示范性強，學生通過學習，會有比較好的理論推導和解決復雜計算能力，對于掌握線性代數基本方法和技能訓練有一定必要性.本教材在理論知識之外，通過結構體系的調整，軟件的使用及應用案例的引入，賦予學生更多的學習探討空間，提高學生自主駕馭知識能力，而這種能力恰恰是當今人才所需要的，更適用于當今綜合型人才培養的要求.

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