復(fù)矢量空間及矢量除法討論

夏海軍 張錚 李俊史 金威

【摘要】本文簡要介紹了矢量、復(fù)數(shù)和復(fù)矢量的發(fā)展歷史；證明了復(fù)矢量集符合線性空間，相關(guān)的基本法則成立；通過對矢量數(shù)乘、除的討論，否定了以往以矢量點(diǎn)積、叉積逆運(yùn)算定義矢量除法的思路；將復(fù)數(shù)的乘、除法則引入復(fù)矢量空間，定義復(fù)矢量除法，并結(jié)合物理問題，將矢量除法轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)除法.本文從全新的角度提出了矢量除法的新法則.

【關(guān)鍵詞】復(fù)數(shù)；矢量；復(fù)矢量；復(fù)數(shù)除法；矢量除法

一、緒論

（一）關(guān)于矢量

矢量是數(shù)學(xué)和物理學(xué)中的基本概念之一，指同時(shí)具有大小和方向的一類抽象的幾何對象.矢量最初起源于約公元前350年古希臘哲學(xué)家、科學(xué)家亞里士多德的研究.1687年牛頓在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中提出三大運(yùn)動定律，其中的推論之一提到：“當(dāng)兩個(gè)力同時(shí)作用于一個(gè)物體時(shí)，這個(gè)物體將沿著平行四邊形的對角線運(yùn)動，所需時(shí)間等于兩個(gè)力分別沿兩邊所用時(shí)間之和.”這個(gè)推論從作用效果上說明了力的合成和分解定理.從18世紀(jì)末到19世紀(jì)初，歐拉在力矩研究、拉普拉斯在動量矩研究以及泊松在坐標(biāo)系及射影研究中，都使用了矢量的方法.

矢量思想的孕育不僅有明確的力學(xué)背景，而且和位置幾何有著直接關(guān)系.1840年格拉斯曼在《潮汐理論》中歷史上首次建立了矢量分析系統(tǒng)，同時(shí)代德國數(shù)學(xué)家麥比烏斯在《重心計(jì)算》中也給出了一個(gè)與矢量系統(tǒng)類似的空間分析系統(tǒng)，在《幾何加法和乘法》中給出了矢量的矢量積、數(shù)量積與混合積的概念.

（二）關(guān)于復(fù)數(shù)

提到矢量，就不能不提及復(fù)數(shù).最早有關(guān)復(fù)數(shù)方根的文獻(xiàn)出于公元1世紀(jì)希臘數(shù)學(xué)家海倫，16世紀(jì)意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)在《重要的藝術(shù)》一書中公布了三次方程的一般解法，首次把負(fù)數(shù)的平方根寫到公式中.17世紀(jì)的代數(shù)學(xué)比幾何學(xué)占有更重要的地位，出現(xiàn)了大量新的數(shù)學(xué)概念如導(dǎo)數(shù)、積分等，虛數(shù)的概念也是在這一時(shí)期由法國數(shù)學(xué)家笛卡爾在《幾何學(xué)》中提出的.18世紀(jì)經(jīng)過法國數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾、棣莫弗以及瑞士數(shù)學(xué)大師歐拉的一系列工作，復(fù)數(shù)漸漸被接受，復(fù)數(shù)研究也日漸深入.1799年挪威-丹麥測量學(xué)家、數(shù)學(xué)家卡斯帕爾·維塞爾在丹麥皇家科學(xué)與文學(xué)會上發(fā)表的論文中，提出用復(fù)數(shù)表示平面上的點(diǎn)的方法，明確地給出復(fù)數(shù)的幾何意義，并利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算來定義平面向量的運(yùn)算.這一基本數(shù)學(xué)思想和方式沿用至今.

（三）關(guān)于復(fù)矢量—復(fù)數(shù)與矢量的有機(jī)結(jié)合

19世紀(jì)哈密爾頓發(fā)明了四元數(shù)，對矢量的發(fā)展帶來重要的影響，并被廣泛應(yīng)用于物理學(xué)的各個(gè)方面.之后，麥克斯韋在1864年的論文《電磁場的動力學(xué)理論》中大量使用矢量分析.19世紀(jì)80年代，美國數(shù)學(xué)家吉布斯和英國數(shù)學(xué)家海維塞德在各自研究的基礎(chǔ)上，特別是在物理學(xué)研究中，獨(dú)立開創(chuàng)了三維矢量分析體系，與四元數(shù)的正式分裂，建立了現(xiàn)代矢量理論.