探討美國職前教師小數迷思概念

曹雅玲

【摘要】作者根據在美國培育職前教師的教學經驗，來探討及分享美國職前教師在小數學習的迷思概念，并且提出有效的教學方法.

【關鍵詞】美國職前教師；小數學習；小數迷思概念

[小數]這個主題在小學數學教育上是一個重要的教學重點，從過去的研究結果及文獻中發現，發現不只是學童學習小數有許多的迷思概念產生，即使是職前教師也無可避免.小數的意義是由分數與整數概念之延伸與統整所建立起來的（Behr&Post，1988），小數也可用于為以10為基底的位值系統從兩個方向無限延伸到很小和很大的值（van de Walle，1998）.以此觀點看來，小數的意義是來自分數；小數的結構是來自整數的位值概念，也可說小數的位值系統是依據整數的位值系統而來的.但當職前教師無法清楚掌握小數概念與問題時，往往會利用這些錯誤概念來解釋，例如將其所知的整數或分數知識過度類推而產生教學的錯誤.

根據作者教學經驗及文獻研究的發現，美國職前教師所產生對小數迷思概念可由以下幾方面來加以討論：小數的錯誤概念與迷思、先備知識不足和小數計算的迷思的幾方面來加以討論.

美國職前教師在小數概念上常出現的錯誤概念與迷思與先備知識不足

1.小數與整數的不同處

小數與整數的位值都是由左向右遞減，每一個位值都是其右邊的十倍；小數部分離小數點越遠，其位值越小，而整數部分則是離小數點越遠，其位值越大.如果職前教師理解不夠，就極易產生整數法則的迷思概念（Resnick，et al.，1989），誤認為小數點后數字越多其值越大（如4.21會比4.8大）、或將小數點后的數位讀成整數.如在比較小數的大小時，有的認為小數點后的數字越多其值越大，也有的認為其值越小，如0.7會小于0.48等錯誤想法.如在教學中且借由認識小數與整數之間的異同，加強小數與整數結構上的學習，教學的重點應該著重在概念性的發展與小數符號的意義.

2.小數與分數的不同處

小數可被視為不帶分母的十進制分數，雖然小數和分數都可以用來代表不滿一個單位量的量，但在其符號表征上，卻有著極大的不同：分數的分母代表著一個單位量被切割的份數，而分子則代表得到的份數，但小數的數字卻只代表得到的份數，而其切割的份數則被隱藏在位值內；分數的分割量是隨著分母的不同而得到不同的分數，但小數的分割則被限制在10的冪次方中，如果職前教師理解不夠，就極易產生分數法則的迷思概念（Resnick，et al.，1989），誤以為小數點后數字越多其值越小（如3.45會比3.2小）、或分數與小數關系是由表面形式互換而成（如5.3和3/5相等）.在分數與小數的轉換時，會將分母當整數、分子當小數或分子當整數、分母當小數，如5/8會當成5.8或8.5；小數與分數的不同處以及小數與整數的不同處，如果職前教師對小數的理解不夠，就極易產生迷思概念（Tsao，2005）.學生整數與分數的先備知識一方面會幫助學習小數；而另一方面如先備知識不足時也會干擾學生建構正確的小數概念.由此可見，小數的知識是從分數和整數而來，而其迷思亦由分數與小數而來；所以在教學時，應對分數與整數的概念進行澄清.在含有整數的小數中亦可用此種方式進行位元值的教學，如：8.437=8+4/10+3/100+7/1000.這種由分數到小數的轉換可以幫助進行位值的教學；此方式不僅可以澄清其位值概念亦可對小數與分數的轉換有更進一步的認識，因此可藉由這三者（分數、小數、整數）的連結加深其概念的理解，以避免美國職前教師將分數和整數概念誤用.

3.缺乏小數稠密性的概念

也有不少美國職前教師缺乏小數稠密性的概念，也就是不知數與數之間可以無限制的被分割等.從分數的角度切入，不難了解有限小數是由[十等分]分割產生的.百分之一的份量可從十分之一的份量再分割十等分產生的，而千分之一的份量可從百分之一的份量再分割十等分產生的……，因此，十等分的活動可任意無限制繼續下去.而此無限制被分割的觀念正可用來說明小數稠密性的性質，亦即，任意兩個小數之間有無限多個小數存在.教師可利用數線的無限制分割，加強小數稠密性的概念，因為0.1是由1切割成十等份而來、0.01是由0.1割成十等份而來的、0.001是由0.01割成十等份而來的……，有助于理解小數稠密性的概念并且有助于小數知識的建構.在教學進行時，透過等分割的概念，去解釋小數的十等分與整數的十倍不同的地方，以解釋小數點后面的數值為什么不能精讀的原因.

4.小數與數線對應的困難

美國職前教師在數在線讀小數或標小數時，常見會弄錯兩格之間的單位，如0.01與0.02分成十格時，不知兩小格間代表的是0.001；且在小數與數線對應的理解的確有其困難.錯誤的主要原因是無法判斷每一小間隔所代表的大小，習慣以1、0.1或0.01當作每一小間隔的大小，再點數間隔來做答.此反映出美國職前教師在小數與數線對應關系時，未能引用分數思考.在小數教學時，是需先透過分數的意義來幫助學生了解小數的意義，除了強調小數和分數之間的關系（1被十等分割后每一等份是0.1和0.1=1[]10；1被百等分割后每一等份是0.01和0.01=1[]100）需作加強外，也要進一步透過整數的十進制記數系統，讓學生了解1、0.1以及0.01彼此的關系，也就是說10個0.1等于1和10個0.01等于0.1.教師透過多元化的情境教學，使用不同教具來表征小數符號表示單位被等分割后的結果和了解1、0.1以及0.01彼此的關系.教學中也應強調數在線所給定相關的參考點數值，才能得知數線中的起始點與透過兩個參考點間等分割的情況以判斷每一間隔的大小，進而能正確標示出數在線各點的小數數值.

5.度量衡單復名數的轉換問題

美國職前教師在度量衡單復名數轉換時，易未考慮到大單位與小單位間的轉換關系，常以小數點來當作大單位與小單位的分界，易放錯小數點，如1公尺20公分轉換到1.2公尺時，不能順利的進行轉換；將小數點做為大單位與小單位的區隔，如下列錯誤的發生；8.9公斤是8公斤9公克、

5公尺9公分是5.9公尺，在進行度量衡單復名數轉換教學時，復習度量衡單復名數之間的關系，以減少此類的錯誤出現，

美國職前教師在小數計算上的迷思

1.小數乘法

由于小數加減法是對齊小數點后計算，而小數乘法是向右對齊后來計算，兩者間的差異容易讓學生感到困惑，因而混用.美國職前教師常見小數乘法迷思有：（1）職前教師最易放錯積的小數點，尤以被乘數與乘數的積都是相同小數字的題目最明顯；常見的錯誤例子如：0.2×0.4=0.8、1.27×2.35=298.45；（2）職前教師計算前先將被乘數與乘數的小數點對齊，計算后再將小數點放下；（3）有[乘變大]的錯誤迷思.由于小數加減法是對齊小數點后計算，而小數乘法是向右對齊后來計算，兩者間的差異容易讓學生感到困惑，因而混用.針對這類錯誤迷思問題，建議教師利用先將小數換成數、利用分數的分數倍概念進行解題后，再將分數換成小數，再借此引導學生小數相乘會變小的概念.如：0.2=2/10；0.4=4/10；0.2×0.4=2/10×4/10=8/100=0.08

在小數乘法計算的教學方面，建議教師在透過分數乘法協助學生理解積數小數點的處理原則時，應先復習分母為10的冪次的分數與小數互換，并協助學生從中找出分母與小數數中小數點位置的關系.

2.小數除法

美國職前教師小數除法常見迷思有：（1）職前教師易放錯商與余數的小數點；（2）在有余數的除法中，常忽略余數的小數點，或是將余數的小數點對齊移位后的被除數小數點等錯誤的想法；（3）職前教師很難接受對于除數小于1，商比被除數大等事實.在小數除法計算的教學方面，建議教師可先讓學生操作具體物解決除法問題，產生將大單位換成小單位的需求，再透過定位板連結具體操作過程與直式算則，進而理解商和余數小數點的處理原則.此外教師可向學生加強在小數除法中，商與余數的小數點皆要對齊原被除數（未移位前）的小數點這個運算概念，避免商與余數小數點亂放的情況產生.另針對學生對于[除愈小]的迷思問題，建議教師亦可利用小數換成分數，利用分數的除法進行解題后，再將分數換成小數，再借此引導學生小數相除會變大的概念.如：0.9÷0.3=9/10÷3/10=9/10×10/3=6/3=3.在小數的計算上的教學，可以先發展小數的估算能力，小數的紙筆運算能力并不能幫助美國職前教師了解小數的運算，可透過小數的估算，才能對小數的計算有所幫助，而小數的估算應從位值概念開始，而不是去強調強記背誦或符號的計算.

【參考文獻】

Behr，M.J.，&Post，T.R.（1988）.Teaching rational number and decimal concept.In T.R.Post（Eds.），Teaching mathematics in Grades K8：Reach Based Methods.Educational Studies in Mathematics，12，399-420.