學生錯誤，如何“診療”
——由一次網絡研討說起

☉江蘇省張家港市鹿苑中學　吳禮紅

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學生錯誤，如何“診療”
——由一次網絡研討說起

☉江蘇省張家港市鹿苑中學吳禮紅

一、緣起

近幾年來網絡的普及，特別是QQ超級大群的建立，為廣大數學教師交流和研討提供了一個非常重要的平臺.網絡上有很多初中數學教師超級大群，老師們可以突破時空限制，圍繞各自的教學實踐展開交流研討，這成為老師們追求專業精進的重要教研方式，其作用不容小覷.對待學生的錯誤，教師不僅要“糾錯”，更要“究錯”.本文記錄了一次針對學生計算出錯的研討片斷，并圍繞“如何幫助學生究錯”給出進一步的思考與建議，供研討.

二、學生錯例及研討片斷

師1（皖馬鞍山吳老師）：請教大家，學生老是犯這樣的錯誤，怎么樣糾正？這種錯誤的成因何在？（錯誤解法如下）

案例1：解方程：x2-4x-1=0.

這個學生還是個小女孩，但是總是犯這樣的錯誤，從初一到現在初三，一直沒找到好的方法指導她.

師2（山東諸城王老師）：讓學生推理公式，積累經驗.

師3（江蘇常熟張老師）：出錯的原因是做題不細心導致符號出錯.有些同學以為只要記住公式就會做對題目.這類學生眼高手低，做題時追求速度，忽視答題的正確率.

師4（上海趙老師）：為什么這樣處理，這個學生應當是有自己的想法與考慮的，聽聽她是怎樣想的，再尋求解決之道可能會更有效一些.找個機會，試著不讓她寫過程，而是讓她說解題過程，了解她的思維方式.另外，也可以讓她整理自己的錯題，歸納出錯的原因，加深她對這類錯誤的敏感度，不知是否有幫助？

師1：謝謝，我試試.

三、“診療”意見

學生的錯誤如同病例，需要教師做出精準的診斷評估，然后才開出治療處方.從上面的研討片斷中可見，兩位老師都對學生的錯誤表示出耐心，也想把其中的錯因弄清楚，但是仍然沒有觸及學生錯誤的本質.筆者認為，這位學生做錯的原因從表面上看是粗心導致運算結果錯誤，究其根本，錯因在于跳過程！套用交通安全的宣講材料所說，“十次事故九次快”，這位學生的錯誤也是“十次算錯九次快”.讓我們先來看看蘇科版數學九年級上冊的例題是如何規范求根公式法的解法步驟的.

案例2：解方程：x2+x-1=0.

解：a=1，b=1，c=-1，b2-4ac=12-4×1×（-1）=5，

對比一下上文中學生的錯誤，她跳過了明確a、b、c的過程，跳過了計算b2-4ac的過程，只是默寫了求根公式，但是在代入求值時口算或心算過程中符號出錯，建議讓該學生重新體會教材上的規范表達，再讓她規范步驟，如下所示.

解：a=1，b=-4，c=-1，b2-4ac=（-4）2-4×1×（-1）=20，

簡評：可以發現運算的成功不僅需要對算理、算法的理解，還需要對運算步驟的執行，而不是盲目跳步驟、跳過程.規范表達的習慣往往也是學生嚴守規范的需要.

四、想起一個“高層次”學生的錯例

由上面的研討，筆者聯想到近期本校一位初一優秀學生在期中考試中的錯例如下所示.

案例3：某校計劃在“五一”期間組織教師到某地參觀旅游，參加旅游的估計有10～25人，甲、乙兩家旅行社的服務質量相同，且報價都是每人800元，經過協商，甲旅行社表示可給予每位游客7.5折優惠，乙旅行社表示可免去一位游客的旅游費用，其余游客8折優惠.該單位選擇哪一家旅行社支付的旅游費用較少？

學生的解答如下（截圖）.

錯例故事：這是初一期中考試卷中一道應用題，該生這道大題8分全失，學生找老師申訴，老師粗看一下，認為他的錯誤在于沒有用到本題中的一個重要條件800元，所以解答無效……這位優秀的學生繼續把800元補充到列式中，仍然演算出上述解答，百思不得其解.那么該如何評價這位學生的錯誤解答呢？是那個所謂的“重要條件800元”缺失嗎？

診斷意見：他的錯誤主要在理解題意上，把員工和帶隊領導分開了，其實領導也屬于員工之一.這種錯誤很隱蔽，屬于高位出錯，一般檢查不出來.嚴格來說，不是數學上的問題，而是問題情境的理解.也就是說，該學生的解法根本上出發點就錯了，而跟800元無關，這一點孩子認識是深刻的.所以，當人數為16時，甲、乙旅行社費用相同；當人數為17-25時，選甲旅行社費用較少；當人數為10-15時，選乙旅行社費用較少.還要順便指出的是，該學生的解法已體現了初二函數解法的規范表達，很不錯.

五、關于教學“究錯”進一步的思考

1.讀懂學生的錯誤需要貼近學生的思維

學生的解法出錯，往往是一系列因素造成的，有時是對概念或題意的理解出錯，有時是對算理、算法的遺忘造成的，還有的是混淆公式或符號出錯造成的.需要結合問題的特點、學生的解法步驟等綜合評價，特別是要貼近學生思維，嘗試理解學生的可能想法或念頭，如果條件許可，應該讓學生參與答辯，通過追問，暴露他們的想法，特別是基于題目中哪個關鍵信息下手的，如何獲得思路，為什么這樣思考等，在充分理解學生的思考和思維風格之后，可以綜合診斷評估學生出錯的原因.

2.究錯的關鍵在于引導學生回到“起點”思考

筆者認為，究錯教學的關鍵在于引導學生回到問題的“起點”，比如仔細閱讀問題，如案例1中，引導學生仔細辨認一元二次方程的各項系數，然后逐一代入，按步計算，而不是隨意跳步驟.比如案例3中，引導學生仔細讀題，讓學生辨析員工與領導之間的從屬關系，回到理解題意上找出錯誤的本質.有些問題還需要“回到概念”去究錯，比如一元二次方程求根公式運用的前提是先把方程轉化為一般式，然后計算根的判別式，在確認根的判別式為非負數后，才能代入求根公式.

3.學生錯例的“診療”也是專業基本功之一

經由南京大學哲學系鄭毓信教授在《人民教育》上的推介，我們知道了數學教師的專業基本功主要是：善于舉例、善于提問、善于優化.長期以來，我們堅守對“三字一話”的通式基本功的研討，往往忽視對數學教師專業基本功的探討，這值得我們深思.再結合本文推介的學生錯題的“診療”來看，我們這些在一線教學的教師還需要一種重要的基本功，就是對學生的錯例能做出精準“診斷”和有效“治療”.而這項基本功的修煉也需要“三個理解”，即章建躍博士提出的理解數學、理解教學、理解學生.本文所列舉的案例還不夠豐富，思考也是初步的，期待更多同行在平時的教學中積累案例，推介優秀的“診斷”與“治療”方案，豐富這個方面的研究案例.

參考文獻：

1.楊裕前，董林偉.義務教育課程標準教科書·數學（九年級上冊）［M］.南京：江蘇科學技術出版社，2013.

2.鄭毓信.善于舉例［J］.人民教育，2008（18）.

3.鄭毓信.善于提問［J］.人民教育，2008（19）.

4.鄭毓信.善于優化［J］.人民教育，2008（20）.

5.章建躍.構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考［J］.數學通報，2013（6）.Z