對八年級數學這兩個“思考”的認識

楊甫友

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2016）06-0227-02

對人教版八年級數學上冊107頁，109頁關于平方差公式和完全平方差公式的思考的一點看法：

思考1 你能根據圖15.2-1中的面積說明平方差公式嗎？

筆者在上這節內容時，學生對這道題目不知所措，作為教師當然知道編者的意圖，但作為學生根本不知道這個題目的意思，過去提到圖形的面積一般都是求陰影部分的面積，如果這道題目是要我們求陰影部分的面積，那面積應該為a2-ab+b2，有的學生去求整個圖形的面積為a2+ab-b2。

這些都不是而平方差公式左邊的式子（a+b）（a-b）和右邊的式子a2-b2，這兩個都不是這個題目要求我們求出的圖形的面積.同學們干脆說此圖形不能說明平方差公式。我只有引導學生把這個圖形進行折分（如圖1），這樣學生們一看就懂。這是什么原因呢？

題目對題設與結論根本沒有說清楚，同學們剛學習平方差公式，也對這個公式的結構還不夠熟悉，也就不能靈活應用在實際生活當中。不會從平方差公式的結構去考慮圖形的面積，究竟要我們做什么？從圖形上看要么求陰影部分的面積，要么求整個圖形的面積，都不是平方差公式的表達式，說明圖形也沒說明白。

編者為了求新、奇、趣，為了吸引學生的注意力，為了體現新課程的理念，煞費苦心地創設迷人的問題情境，這道題目如果同學們能夠正確理解，當然能夠發展學生的思維能力，但對于這道題目在這里成了同學們猜答案、對答案的過程，筆者認為這道題目應該作一下修改，題目設置應簡潔，也能體現課堂教學的時間、學生的思考、消化、吸收的時間，怎樣學生就不會有特大的壓力。這個問題的題目及圖形應作修改：

如 請從這個大正方形邊長為a的紙板上，剪下一個邊長為b的小正方形，如圖1，然后把勝余的圖形拼成一個長方形，你能根據圖中的面積說明平方差公式嗎？

（a+b）（a-b）=a2-b2即兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差。

圖形折分后同學們都稱贊這個題目其實不難呀，為什么我們就沒想到呢？這里只用到兩種不同的方法求出了同一個圖形的面積，根據面積相等就得到了平方差公式。

思考2 你能根據圖15.2-2和15.2-3中的面積說明完全平方公式嗎？

這里受到上一道題目來的影響，同學們更是茫然，想到這個圖形可能也是求某一部分的面積，象上一題目不是求整體的面積；其實不然恰恰這個題目是求整個圖形的面積，用整體的觀念求出正方形的面積為（a+b）2，再用分割法求出各個圖形的面積再求它們的和a2+2ab+b2。這樣很簡單就說明了完全平方和公式。此題目及圖形也應該作修改：

如 你能根據圖2圖形中的數據，用不同的方法求出整個圖形的面積說明完全平方和公式嗎？

（a+b）2=a2+2ab+b2

即兩數的和的平方，等于它們的平方和，加它們的積的2倍。

而圖15.2-3中如果從（a-b）2出發來考慮，要求求出大正方形（陰影部分）的面積，但小正方形也是陰影出現，究竟求那一個圖形的面積？根據編者的意圖肯定是求大的正方形（陰影部分）的面積，要是把題目及圖形改變一下，同學們就一目了然。

如 如圖3根據圖中的數據用不同的方法求出圖中陰影部分的面積。

一種方法是直接表示陰影部分（正方形）的面積為（a-b）2；另一種是用邊長為a的大正方形的面積減去一個邊長為b的小正方形的面積和兩個矩形的面積為a2-（a-b）b-（a-b）b-b2化簡得a2-2ab+b2即得到了完全平方差公式（a-b）2 =a2-2ab+b2即兩數的差的平方，等于它們的平方和，減它們的積的2倍。

這兩個思考的題目及圖形都沒有說清楚，各個圖形所求的面積有所不同（陰影部分的區分），這就給我們教師提出了更高的要求，促使教師去鉆研教材，尋求切實有效的解決方法；有效激發學生數學潛能，也就是在平常的教學中，我們教師要善于思考，注重挖掘題目中潛在的價值，引導學生敢干探索、勇于探索、銳意進取的學習精神，不斷提高學生的探究能力和創新能力。

"理解中學數學教材編寫的意圖"這件事應該是不難辦的！因為這教材還一定會是具有學材功能的，而且學材這個功能是不必疑的首要功能。……教師有責任在教學生掌握知識的同時，還要讓學生明白，只有進一步的學習才能更深刻的認識這一知識。另外，將學生的狀況搞清楚，實行因材施教，之后的事就容易了，因為上好數學課的前提都具備了，下面就是努力教書了。