對(duì)八年級(jí)數(shù)學(xué)這兩個(gè)“思考”的認(rèn)識(shí)

楊甫友

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1672-1578（2016）06-0227-02

對(duì)人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)107頁(yè)，109頁(yè)關(guān)于平方差公式和完全平方差公式的思考的一點(diǎn)看法：

思考1 你能根據(jù)圖15.2-1中的面積說(shuō)明平方差公式嗎？

筆者在上這節(jié)內(nèi)容時(shí)，學(xué)生對(duì)這道題目不知所措，作為教師當(dāng)然知道編者的意圖，但作為學(xué)生根本不知道這個(gè)題目的意思，過(guò)去提到圖形的面積一般都是求陰影部分的面積，如果這道題目是要我們求陰影部分的面積，那面積應(yīng)該為a2-ab+b2，有的學(xué)生去求整個(gè)圖形的面積為a2+ab-b2。

這些都不是而平方差公式左邊的式子（a+b）（a-b）和右邊的式子a2-b2，這兩個(gè)都不是這個(gè)題目要求我們求出的圖形的面積.同學(xué)們干脆說(shuō)此圖形不能說(shuō)明平方差公式。我只有引導(dǎo)學(xué)生把這個(gè)圖形進(jìn)行折分（如圖1），這樣學(xué)生們一看就懂。這是什么原因呢？

題目對(duì)題設(shè)與結(jié)論根本沒(méi)有說(shuō)清楚，同學(xué)們剛學(xué)習(xí)平方差公式，也對(duì)這個(gè)公式的結(jié)構(gòu)還不夠熟悉，也就不能靈活應(yīng)用在實(shí)際生活當(dāng)中。不會(huì)從平方差公式的結(jié)構(gòu)去考慮圖形的面積，究竟要我們做什么？從圖形上看要么求陰影部分的面積，要么求整個(gè)圖形的面積，都不是平方差公式的表達(dá)式，說(shuō)明圖形也沒(méi)說(shuō)明白。

編者為了求新、奇、趣，為了吸引學(xué)生的注意力，為了體現(xiàn)新課程的理念，煞費(fèi)苦心地創(chuàng)設(shè)迷人的問(wèn)題情境，這道題目如果同學(xué)們能夠正確理解，當(dāng)然能夠發(fā)展學(xué)生的思維能力，但對(duì)于這道題目在這里成了同學(xué)們猜答案、對(duì)答案的過(guò)程，筆者認(rèn)為這道題目應(yīng)該作一下修改，題目設(shè)置應(yīng)簡(jiǎn)潔，也能體現(xiàn)課堂教學(xué)的時(shí)間、學(xué)生的思考、消化、吸收的時(shí)間，怎樣學(xué)生就不會(huì)有特大的壓力。這個(gè)問(wèn)題的題目及圖形應(yīng)作修改：

如 請(qǐng)從這個(gè)大正方形邊長(zhǎng)為a的紙板上，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，如圖1，然后把勝余的圖形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，你能根據(jù)圖中的面積說(shuō)明平方差公式嗎？

（a+b）（a-b）=a2-b2即兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。

圖形折分后同學(xué)們都稱贊這個(gè)題目其實(shí)不難呀，為什么我們就沒(méi)想到呢？這里只用到兩種不同的方法求出了同一個(gè)圖形的面積，根據(jù)面積相等就得到了平方差公式。

思考2 你能根據(jù)圖15.2-2和15.2-3中的面積說(shuō)明完全平方公式嗎？

這里受到上一道題目來(lái)的影響，同學(xué)們更是茫然，想到這個(gè)圖形可能也是求某一部分的面積，象上一題目不是求整體的面積；其實(shí)不然恰恰這個(gè)題目是求整個(gè)圖形的面積，用整體的觀念求出正方形的面積為（a+b）2，再用分割法求出各個(gè)圖形的面積再求它們的和a2+2ab+b2。這樣很簡(jiǎn)單就說(shuō)明了完全平方和公式。此題目及圖形也應(yīng)該作修改：

如 你能根據(jù)圖2圖形中的數(shù)據(jù)，用不同的方法求出整個(gè)圖形的面積說(shuō)明完全平方和公式嗎？

（a+b）2=a2+2ab+b2

即兩數(shù)的和的平方，等于它們的平方和，加它們的積的2倍。

而圖15.2-3中如果從（a-b）2出發(fā)來(lái)考慮，要求求出大正方形（陰影部分）的面積，但小正方形也是陰影出現(xiàn)，究竟求那一個(gè)圖形的面積？根據(jù)編者的意圖肯定是求大的正方形（陰影部分）的面積，要是把題目及圖形改變一下，同學(xué)們就一目了然。

如 如圖3根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)用不同的方法求出圖中陰影部分的面積。

一種方法是直接表示陰影部分（正方形）的面積為（a-b）2；另一種是用邊長(zhǎng)為a的大正方形的面積減去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形的面積和兩個(gè)矩形的面積為a2-（a-b）b-（a-b）b-b2化簡(jiǎn)得a2-2ab+b2即得到了完全平方差公式（a-b）2 =a2-2ab+b2即兩數(shù)的差的平方，等于它們的平方和，減它們的積的2倍。

這兩個(gè)思考的題目及圖形都沒(méi)有說(shuō)清楚，各個(gè)圖形所求的面積有所不同（陰影部分的區(qū)分），這就給我們教師提出了更高的要求，促使教師去鉆研教材，尋求切實(shí)有效的解決方法；有效激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)潛能，也就是在平常的教學(xué)中，我們教師要善于思考，注重挖掘題目中潛在的價(jià)值，引導(dǎo)學(xué)生敢干探索、勇于探索、銳意進(jìn)取的學(xué)習(xí)精神，不斷提高學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新能力。

"理解中學(xué)數(shù)學(xué)教材編寫的意圖"這件事應(yīng)該是不難辦的！因?yàn)檫@教材還一定會(huì)是具有學(xué)材功能的，而且學(xué)材這個(gè)功能是不必疑的首要功能。……教師有責(zé)任在教學(xué)生掌握知識(shí)的同時(shí)，還要讓學(xué)生明白，只有進(jìn)一步的學(xué)習(xí)才能更深刻的認(rèn)識(shí)這一知識(shí)。另外，將學(xué)生的狀況搞清楚，實(shí)行因材施教，之后的事就容易了，因?yàn)樯虾脭?shù)學(xué)課的前提都具備了，下面就是努力教書了。