DEM地形描述誤差的概率分布特征研究

楊燦燦，王　春，江　嶺，鐘文軍

(1.滁州學院 地理信息與旅游學院，安徽 滁州 239000;2.滁州學院 安徽省地理信息集成應用協同創新中心,安徽 滁州 239000)

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DEM地形描述誤差的概率分布特征研究

楊燦燦1，2，王春1，2，江嶺1，2，鐘文軍1，2

(1.滁州學院 地理信息與旅游學院，安徽 滁州 239000;2.滁州學院 安徽省地理信息集成應用協同創新中心,安徽 滁州 239000)

摘要：：以黃土丘陵1:1萬DEM為基礎數據，通過稀疏抽點法獲取不同格網點布設位置下的DEM，進而分析不同分辨率DEM中單個地面點和區域地形單元的Et概率分布特征。實驗結果表明：對于任意格網分辨率DEM，無論是不同布設方案下的單個地面點，還是區域地形單元，其Et的概率密度均呈現正態分布特征。對于單個地面點，如果以其為中心的3×3DEM格網單元區域以凸地形為主，其Et概率密度呈現出右偏正態分布特征；如果以凹地形為主，則呈現左偏正態分布特征,其他區域則呈現標準正態分布特征。

關鍵詞：DEM;地形描述誤差;概率分布;正態分布;誤差場

DEM地形描述誤差(簡稱Et)指在DEM格網點高程采樣誤差忽略不計的條件下，由DEM離散格網采樣點重構的，模擬地形表面與自然地形表面點之間存在的高程偏差[1]。隨著現代高分對地觀測技術的不斷發展，DEM誤差研究的日益深入，Et已逐步成為影響國家系列比例尺DEM質量的主要因素[1-7]。湯國安、王光霞等對地形描述精度進行研究，并建立區域Et中誤差的初步估算模型[8-9]。王耀革、Chen C F、趙牡丹等研究指出Et具有與地形部位顯著相關的空間結構性分布特征，并與地形因子等密切相關[10-14]。王春等研究指出，對于任意已知格網分辨率DEM，其Et的空間分布是一個圍繞實際地形上下波動且具有特定厚度的誤差殼[15]。據此可以預見，對于任意已知格網分辨率DEM，隨著DEM格網點實際布設位置的不同，任意一點在其垂直方向具有無窮多不同大小的Et值，揭示其概率分布特征，有望建立Et等概率面模型，進而實現顧及Et空間分布特征的DEM數字地形分析不確定性的推演。鑒于此，本文以黃土丘陵1∶1萬DEM為基礎數據，采用重采樣法生成不同格網分辨率DEM，從單點和區域視角進行Et的概率分布研究，剖析其在誤差殼中的概率分布特征，進一步完善和發展DEM誤差分析理論與方法。

1Et數值解算模型及檢驗模型

1.1Et數值解算模型

假定P的實際高程為hp，在當前格網分辨率DEM中的高程為Hp_i。對于任意一點P的Eti(i為不同DEM格網布設方案的編號)值被定義為

(1)

如圖1所示(虛線框為包含P點的不同位置DEM的格網線)，假定參考真值DEM的格網分辨率為d，待分析的DEM格網分辨率為kd，對于任意一地面點P，只要當前DEM格網的左下角點位于ABCD實線矩形框內，則地面點P均屬于虛線所示DEM格網單元內部的點。顯然，地面點P與實際DEM格網有著無窮多的位置關系，其Et值也會隨著實際DEM格網點布設位置的不同而不斷改變，對此，文獻[16]提出了支持不同DEM布設方案的Eti計算模型。

圖1　地面點P與DEM格網間位置關系

首先，以高分辨率DEM為參考真值，采用抽點法獲得其他分辨率不同位置的DEM數據。如圖2所示，在格網分辨率為d的參考真值DEM基礎上，采用抽點法獲得2d格網分辨率的DEM，則總共可有4種格網布設方法；采用抽點法獲得3d格網分辨率的DEM，則總共可有9種格網布設方法。以此類推，如果采用抽點法獲得kd格網分辨率的DEM，則總共可有k2種格網布設方法。然后，采用以4×4 DEM格網單元為搜索圓的完全規則樣條函數插值模型，計算出P點在DEM地形曲面上的高程Hp_i，減去P點在參考真值DEM中的高程hp，完成Eti的解算。

圖2　不同基準點位置的DEM格網布設方案示意圖

1.2Et數值概率分布檢驗模型

對于Et數值概率分布特征單樣本參數進行的檢驗是建立在總體服從一定分布假設的基礎之上。本文首先假設Et數值概率分布特征服從正態分布，借鑒DEM精度評定的經典方法——等高線套合法，通過數據序列構成的分布曲線與假設分布曲線進行套合對假設進行檢驗。統計假設檢驗模型是統計學中的常用方法，亦可驗證Et數值概率密度函數是否服從正態分布，進而本文利用Kolmogorov-Smirnov(K-S)檢驗模型以及Q-Q圖檢驗模型進行假設檢驗。

K-S假設檢驗是將一組樣本值的分布和某一指定的理論分布函數進行比較，確定兩者之間的符合程度[17]。假設樣本Xi來自正態總體，F(x)表示理論分布的分布函數，Fn(x)表示一組隨機樣本的累積頻率函數，D為二者差距的最大值，則有

(2)

當實際觀測D>D(n,α)，則拒絕假設；反之則接受其為正態分布，其中D(n,α)是顯著水平為α，樣本容量為n時，D的拒絕臨界值。為方便起見，統計軟件直接輸出在該統計檢驗值下得出的相伴概率P值，并與顯著性水平α作比較，進而得出拒絕或是接受假設的結論。

若把觀測數據從小到大排列x(1)≤x(2)≤…≤x(n)，則經驗分布函數為

(3)

式中：k為數據從小到大排列的序號。由于理論分布函數近似等于樣本經驗分布函數，有

(4)

式(4)中σ表示標準差，μ為期望，若記標準正態分布的函數為Φ(x)，則

(5)

故在Oux平面上，有

(6)

2實驗與結果分析

2.1實驗數據

實驗樣區位于陜西省綏德韭園溝，韭園溝地處水土流失嚴重的陜北黃土高原，地表形態主要由梁、茆和分割梁茆的溝谷組成，平均坡度28.6°，平均地形起伏度7.49 m，此地區最低高程為848.697 m，最高高程為1 132.31 m。圖3為實驗區DEM影像。

圖3　試驗區DEM及采樣點示意圖

本文以實驗區1∶1萬DEM為基礎數據，通過稀疏抽點法獲取不同格網布設位置且格網分辨率分別為5 m，15 m，25 m，35 m，…,125 m的DEM數據，進而通過Et值解算模型分別獲取其Et值信息，其中5 m為參考真值。

2.2單地面點Et數值變化特征

在研究區域中隨機選擇54個地面采樣點(如圖3所示)，以25 m DEM為例通過上文布設方案得到每一個地面采樣點在25種格網位置關系下的地形描述誤差Eti值，并對其進行統計分析，統計結果如圖4所示(此處只選6點進行展示)。圖中曲線為Et概率密度函數曲線，橫軸表示Et值，縱軸表示概率密度，即對應橫軸值得到的Et概率密度函數值。

Et概率密度函數曲線圖顯示單點在不同布設方案下的Et值統計特征近似服從正態分布。本文假設此系列Et值服從標準正態分布，繼而以1號采樣點為例通過標準正態分布曲線套合法以及SPSS統計檢驗法分別對此假設進行檢驗。

1)曲線套合法：對任意一點對應的25個Et值求期望和方差，畫出正態概率密度函數曲線并與此點的概率密度函數曲線進行套合。實驗證明，兩條曲線趨勢相同(如圖5(a)所示)，且在波動允許的范圍內可用同一函數進行描述，即此組數據近似服從標準正態分布。

2)K-S檢驗：在SPSS中，利用非參數檢驗K-S方法得出相伴概率值P，并與顯著性水平0.05進行比較。實驗結果表明P值為0.773大于0.05，D為0.132，查表可得D(n,α)=0.264，D

3)Q-Q圖檢驗：依據Q-Q圖檢驗方法，以樣本的分位數作為橫坐標，以按照正態分布計算的相應分位點作為縱坐標，在上述平面坐標系中做散點圖，經實驗樣本點成圍繞第一象限對角線的直線分布，說明此數據服近似服從標準正態分布，Q-Q圖如圖5(b)所示。

圖4　Et分布概率密度曲線

圖5　單地面點Et值服從正態分布統計規律的檢驗

在進行凸地形為主的5號點和以下凹地形為主的6號點進行正態分布檢驗時，發現5號點的P值為0.663大于0.05，D值為0.146小于D(n,α)，偏度系數Skewness為0.944大于0且偏度較大，說明此數據為正態分布呈右偏狀態。6號點中，偏度系數為-0.503小于0，說明此組數據服從左偏態分布。具體分析則會發現，以地面點為中心的3×3 DEM格網分辨率下，若以上凸地形為主，地面起伏較大時，格網間隔大于凸起地形的一半，或者是格網間隔恰巧包含了地形凸起部分，則會使DEM的描述值小于真實地形的高程，從而使地形描述誤差絕對值較大且Et值表現為右偏態；同樣，在下凹地形中，DEM格網間隔大于地形中兩高峰之間的距離，或者下凹地形長度恰為格網間隔，則會使概率密度曲線表現為朝向偏左的偏態分布。

利用同一方法，對其余地面采樣點進行正態分布統計假設檢驗，結果表明實驗區內任意單一地面點在不同布設方案下的Et值，以其為中心的3×3 DEM格網分辨率區域以上凸地形為主，其Et概率密度呈現出右偏正態分布特征；如果以下凹地形為主，則呈現出左偏正態分布特征；其他區域則呈現標準正態分布特征。

2.3區域地形單元Et概率變化特征

單點Et數值的變化特征能夠為等概率面的構建提供前提和基礎，但是還需從整體上研究區域地形單元Et概率變化特征，從而科學有效的進行Et誤差傳播和不確定性應用研究。本文以5 m、15 m格網分辨率為例進行區域地形單元的Et概率變化特征的分析。

圖6(a)為格網分辨率15 mDEM中區域地形單元的Et數值統計直方圖，通過目視可以看出Et的統計規律近似服從正態分布，由統計指標偏度系數為0.344，圖6(b)Q-Q圖中各點表現為圍繞對角線近似直線分布，此數據服從正態分布統計特征。利用此方法分別對不同布設方案下的Et值進行實驗，結果表明在15 m格網分辨率下，區域單元地形描述誤差的期望和標準差會因布設方案的不同略微變動，但是整體的地形描述誤差服從正態分布，而且可以用期望為-0.02，方差為11.916 7的概率密度函數來描述。不同布設方案下區域單元Et值的概率密度曲線疊加情況見圖6(c)，其中±0.18以及±0.06分別表示期望和方差的波動范圍。

圖6　區域單元Et值服從正態分布統計規律的檢驗

選取5 m DEM，利用相同的方法對研究區域內Et值進行分析，結果如圖6(d)所示。此圖說明5 m格網分辨率下，期望和方差也會因布設方案的不同而有所變化，期望的變化范圍為±0.02以及±0.013，區域地形單元Et數值的變化特征可近似用期望為-0.108 8，方差為2.142 2的概率密度函數表示。利用相同的方法對其他任意格網分辨率下的區域地形單元Et數值進行分析，結果表明，區域地形單元Et的概率密度均呈現理想的正態分布特征。

3結束語

基于Et解算模型，獲取了任一地面點在不同格網分辨率及不同格網位置下的Et值，在此基礎上分別對單點和區域單元的Et值進行概率分布及數值變化特征分析。實驗結果表明：對于任意確定格網分辨率的DEM，無論是單點Et值，還是區域單元的Et值，均近似服從正態分布；同時在以當前地面點為中心的3×3 DEM格網分辨率范圍內，當其地表曲面呈現顯著的以凸地形為主(或以下凹地形)為主時，Et值的概率分布曲線也會在出現一定的右偏態(或左偏態)的現象，其余皆服從正態分布。

依據Et值正態分布特點，由1σ，2σ，3σ，……不同倍率的Et標準差，構建Et誤差殼等概率面模型，將為實現顧及Et空間場分布特征的DEM數字地形分析誤差傳播推演奠定基礎。然而，要實現完整意義的上述誤差傳播推演，還需在等概率面基礎上研究揭示Et值在橫向空間相關性特征，即各格網單元Et值與其相鄰格網單元Et值之間的空間相關關系。

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[責任編輯：李銘娜]

DOI:10.19349/j.cnki.issn1006-7949.2016.08.005

收稿日期：2015-09-07

基金項目：安徽省自然科學基金資助項目(1408085MD77);教育部科學技術研究重點項目(212078);安徽省高校自然科學研究一般項目(KJ2015B13);滁州學院科研基金資助項目(2014KJ02)

作者簡介：楊燦燦(1988-)女，碩士，助教.

中圖分類號：P208

文獻標識碼：A

文章編號：1006-7949(2016)08-0019-05

Probability distribution characteristics of DEM terrainrepresentation error

YANG Cancan1,2, WANG Chun1,2, JIANG Ling1,2，ZHONG Wenjun1,2

(1.Geographic Znformation and Tovrism College,Chuzhou University,Chuzhou 239000,China;2.Anhui Center for Collaborative Innovation in Geographical Information Integration and Application, Chuzhou University, Chuzhou 239000, China)

Abstract：Taking a 1∶10 000 DEM of loess hill as the source data, this paper analyzes the probability distribution characteristics of Et for individual points and regional terrain units via getting DEMs with different layout schemes through sparse resampling technique. Experimental results show that:for any resolution of DEM, the probability density of Et appears in the characteristics of a normal distribution, no matter it is gotten from individual points or regional terrain units;for a single ground point, if located in an area corresponding to 3×3 grid cells with this point as the center and this area has mainly a convex terrain on the earth, the probability density of Et shows a right skewed normal distribution. If this area corresponds mainly to a concave surface, the probability density of Et shows a left skewed normal distribution, and it shows a standard normal distribution for the area with other surface forms.

Key words：DEM; terrain representation error; probability distribution; normal distribution; error field