淺析函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用

許彬城（福建省南安第一中學(xué)）

淺析函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用

許彬城
（福建省南安第一中學(xué)）

新課標(biāo)人教版必修5第29頁寫道：“數(shù)列可以看成以正整數(shù)（或它的有限子集｛1，2，…，n｝）為定義域的函數(shù)an=f（n），當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對應(yīng)的一列函數(shù)值。”數(shù)列是定義在正整數(shù)集（或其子集）上的特殊函數(shù)，具有函數(shù)的一般性質(zhì)。因此，巧妙地利用數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)來解決數(shù)列問題將有意想不到的效果。

一、數(shù)列通項(xiàng)公式與前n和公式的函數(shù)本質(zhì)

等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n和公式具有以下特征：

我們用函數(shù)的觀點(diǎn)揭開了數(shù)列神秘的“面紗”，將數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和看成是關(guān)于n的函數(shù)，為我們解決數(shù)列有關(guān)問題提供了非常有益的啟示。

例1.等差數(shù)列｛an｝中，

（1）若an=m，am=n（m≠n），求am+n

（2）若a1〉0，且前n項(xiàng)和Sn滿足S8=S14，求Sn取最大值時(shí)n的值。

解：（1）因?yàn)閿?shù)列｛an｝為等差數(shù)列，則an是關(guān)于n的一次函數(shù)，而一次函數(shù)圖象為一條直線，則A（n，m）、B（m，n）、C（m+n，am+n）三點(diǎn)共線，即直線AB的斜率與直線AC的斜率相等，從而可求得am+n=0。

例2．等差數(shù)列｛an｝和等比數(shù)列｛bn｝，首項(xiàng)均為1，公差不為1，公比q〉0且q≠1，則數(shù)列｛an｝和｛bn｝的公共項(xiàng)為_______。

解：等差數(shù)列｛an｝，由于a1=1，所以它的圖像為過（1，1）的直線上的離散點(diǎn)，而等比數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式為bn=qn-1，即它的圖像為向右平移一個(gè)單位的指數(shù)函數(shù)上的離散點(diǎn)，必過（1，1），所以數(shù)列｛an｝和｛bn｝的公共項(xiàng)為a1=b1=1。

二、構(gòu)建函數(shù)，轉(zhuǎn)化數(shù)列問題

新課標(biāo)倡導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方法。而構(gòu)建函數(shù)，一方面體現(xiàn)了學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的體驗(yàn)、思考與參與，另一方面也培養(yǎng)了學(xué)生的思維品質(zhì)和創(chuàng)新意識。在構(gòu)建函數(shù)之后，我們需要利用函數(shù)的概念和性質(zhì)來解決問題。函數(shù)基本性質(zhì)包括了奇偶性、單調(diào)性、周期性，最值性等。在數(shù)列學(xué)習(xí)中滲透函數(shù)思想，不僅可以進(jìn)一步鞏固函數(shù)知識，而且可以拓寬學(xué)生解決數(shù)列問題的視野。

1.構(gòu)造具體函數(shù)，實(shí)現(xiàn)“轉(zhuǎn)化”

例3．已知數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an=-2n2+3λn，若數(shù)列｛an｝為遞減數(shù)列，求λ的取值范圍。

解法一：構(gòu)造一次函數(shù)

∵數(shù)列｛an｝為遞減數(shù)列

∴an+1-an＜0對于任意正整數(shù)n恒成立

∵fmin（n）=f（1）=2

∴λ＜2

解法二：構(gòu)造二次函數(shù)

an=-2n2+3λn可以看成f（x）=-2x2+3λn（x∈N*）

∵數(shù)列｛an｝為遞減數(shù)列

∴f（x）=-2x2+3λn在｛1，2，3，…｝為遞減函數(shù)

∴λ＜2

例4．已知數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為，若am和an為數(shù)列｛an｝的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，則m+n_______。

又∵n∈N*

∴m=45，n=44，則m+n=99

2.構(gòu)造抽象函數(shù)，成功“突圍”

例5．已知數(shù)列｛an｝滿足an+2=an+1-an，a1=2015，其前n項(xiàng)和為Sn，則S2016_________________。

【分析：由于不明確數(shù)列｛an｝的類型，所以僅僅用數(shù)列的知識不好解決，而此時(shí)我們從函數(shù)角度去考慮，就容易聯(lián)想到函數(shù)的周期性。】

解：設(shè)f（n）=an，則f（n+2）=f（n+1）-f（n）

那么函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x+1）-f（x）……①

則f（x+3）=f（x+2）-f（x+1）……②

由①+②有f（x+3）=-f（x）即f（x+6）=-f（x+3）=f（x）

∴f（x）為以6為周期的周期函數(shù)

f（1）+f（2）+…+f（6）=f（1）+f（2）+f（3）-f（1）-f（2）-f（3）=0

∴S2016=a1+a2+…+a2016=336（a1+a2+…+a6）=0

通過對以上實(shí)例的分析，筆者發(fā)現(xiàn)，數(shù)列作為離散型函數(shù)的典型代表之一，在高中數(shù)學(xué)中具有重要位置。因此，在教學(xué)實(shí)踐過程中，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫匙寣W(xué)生在這個(gè)情境中自覺領(lǐng)會(huì)和發(fā)現(xiàn)知識的形成過程，在感悟的過程中深刻體會(huì)其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，理解用函數(shù)思想解決數(shù)列問題的本質(zhì)。當(dāng)學(xué)生理解并掌握之后，往往能誘發(fā)知識的遷移，使學(xué)生能夠舉一反三、融會(huì)貫通地解決多種數(shù)列問題。

·編輯 武慧慧