淺析函數思想在數列中的應用

許彬城（福建省南安第一中學）

淺析函數思想在數列中的應用

許彬城
（福建省南安第一中學）

新課標人教版必修5第29頁寫道：“數列可以看成以正整數（或它的有限子集｛1，2，…，n｝）為定義域的函數an=f（n），當自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應的一列函數值。”數列是定義在正整數集（或其子集）上的特殊函數，具有函數的一般性質。因此，巧妙地利用數列的函數性質來解決數列問題將有意想不到的效果。

一、數列通項公式與前n和公式的函數本質

等差數列和等比數列的通項公式與前n和公式具有以下特征：

我們用函數的觀點揭開了數列神秘的“面紗”，將數列的通項公式以及前n項和看成是關于n的函數，為我們解決數列有關問題提供了非常有益的啟示。

例1.等差數列｛an｝中，

（1）若an=m，am=n（m≠n），求am+n

（2）若a1〉0，且前n項和Sn滿足S8=S14，求Sn取最大值時n的值。

解：（1）因為數列｛an｝為等差數列，則an是關于n的一次函數，而一次函數圖象為一條直線，則A（n，m）、B（m，n）、C（m+n，am+n）三點共線，即直線AB的斜率與直線AC的斜率相等，從而可求得am+n=0。

例2．等差數列｛an｝和等比數列｛bn｝，首項均為1，公差不為1，公比q〉0且q≠1，則數列｛an｝和｛bn｝的公共項為_______。

解：等差數列｛an｝，由于a1=1，所以它的圖像為過（1，1）的直線上的離散點，而等比數列｛bn｝的通項公式為bn=qn-1，即它的圖像為向右平移一個單位的指數函數上的離散點，必過（1，1），所以數列｛an｝和｛bn｝的公共項為a1=b1=1。

二、構建函數，轉化數列問題

新課標倡導學生積極主動、勇于探索的學習方法。而構建函數，一方面體現了學生在學習過程中的體驗、思考與參與，另一方面也培養了學生的思維品質和創新意識。在構建函數之后，我們需要利用函數的概念和性質來解決問題。函數基本性質包括了奇偶性、單調性、周期性，最值性等。在數列學習中滲透函數思想，不僅可以進一步鞏固函數知識，而且可以拓寬學生解決數列問題的視野。

1.構造具體函數，實現“轉化”

例3．已知數列｛an｝的通項公式為an=-2n2+3λn，若數列｛an｝為遞減數列，求λ的取值范圍。

解法一：構造一次函數

∵數列｛an｝為遞減數列

∴an+1-an＜0對于任意正整數n恒成立

∵fmin（n）=f（1）=2

∴λ＜2

解法二：構造二次函數

an=-2n2+3λn可以看成f（x）=-2x2+3λn（x∈N*）

∵數列｛an｝為遞減數列

∴f（x）=-2x2+3λn在｛1，2，3，…｝為遞減函數

∴λ＜2

例4．已知數列｛an｝的通項公式為，若am和an為數列｛an｝的最大項和最小項，則m+n_______。

又∵n∈N*

∴m=45，n=44，則m+n=99

2.構造抽象函數，成功“突圍”

例5．已知數列｛an｝滿足an+2=an+1-an，a1=2015，其前n項和為Sn，則S2016_________________。

【分析：由于不明確數列｛an｝的類型，所以僅僅用數列的知識不好解決，而此時我們從函數角度去考慮，就容易聯想到函數的周期性。】

解：設f（n）=an，則f（n+2）=f（n+1）-f（n）

那么函數f（x）滿足f（x+2）=f（x+1）-f（x）……①

則f（x+3）=f（x+2）-f（x+1）……②

由①+②有f（x+3）=-f（x）即f（x+6）=-f（x+3）=f（x）

∴f（x）為以6為周期的周期函數

f（1）+f（2）+…+f（6）=f（1）+f（2）+f（3）-f（1）-f（2）-f（3）=0

∴S2016=a1+a2+…+a2016=336（a1+a2+…+a6）=0

通過對以上實例的分析，筆者發現，數列作為離散型函數的典型代表之一，在高中數學中具有重要位置。因此，在教學實踐過程中，教師應創設恰當的情境讓學生在這個情境中自覺領會和發現知識的形成過程，在感悟的過程中深刻體會其蘊含的數學思想和方法，理解用函數思想解決數列問題的本質。當學生理解并掌握之后，往往能誘發知識的遷移，使學生能夠舉一反三、融會貫通地解決多種數列問題。

·編輯 武慧慧