基于個體公平原則的壽險產品定價模型

趙明清　張曉曉　陳玉澎

摘要在無套利框架的基礎上，討論基于個體公平原則下的壽險產品定價問題，即運用倒向隨機微分方程理論，將投保人和保險人置于同一系統中進行考慮：首先，根據雙方的隨機投資決策目標分別建立無套利壽險定價模型和動態資產份額定價模型，得出兩個特殊線性倒向隨機微分方程的顯式解；然后，建立基于個體公平原則的壽險定價模型，從投保人和保險人雙方的角度對壽險產品進行公平定價，得出了從供需雙方考慮的投資回報定價公式；最后，利用所建立的模型進行案例分析，計算出基于個體公平原則的保費及保險公司的投資策略.該壽險產品定價模型不僅考慮了保險人的意愿，還同時考慮了投保人的實際情況，因此，按此定價理念開發出的保險產品，不僅可以提高產品研發的成功率，而且使得研發出的新產品更能在競爭激烈的保險市場中站穩腳步.

關鍵詞應用統計數學；壽險定價模型；無套利定價；資產份額定價；個體公平原則

中圖分類號F840.32 文獻標識碼A

AbstractOn the basis of the no arbitrage pricing model， this article discussed the problem of life insurance product pricing based on the principle of individual equity. Using the theory of backward stochastic differential equation， the policyholders and the insured were considered in the same system. First of all， according to the target of the policy holder's investment decision， this paper established the non arbitrage life insurance pricing model ，and at the same time， according to the target of the insurer's investment decision， this paper established the asset share pricing model， and the explicit solutions of the two special linear backward stochastic differential equations were obtained. Then， this article established the life insurance pricing model based on the principle of individual equity. The model considers both the angle of the insured and the insurer， and obtains the pricing formula of the investment return. Finally， the insurance case was analyzed by using the established model， meanwhile， the insurance company's investment strategy and premium based on the principle of individual equity were calculated. The life insurance product pricing model considers both the insurer and the actual situation of the insured. Therefore， the insurance product developed by this pricing method can not only improve the success rate of product research and development， but also make the new products with stronger competitiveness in the fierce competition in the insurance market.

Key wordsApplied Statistical Mathematics；Life insurance pricing model；non arbitrage pricing；asset share pricing；individual equity principle

1引言

壽險定價是壽險產品開發的關鍵環節，準確合理的壽險定價對壽險公司的發展起著關鍵作用.隨著保險業與金融業的關系越來越密切，壽險投資越來越普遍，因此考慮金融市場的投資情況，按照隨機投資回報決策目標，建立動態的定價模型是非常有必要的.然而，從理論上講，壽險產品可以看作是一種商品，壽險產品的價格應該由市場的供求關系決定，即由投保人和保險人共同決定，所以在無套利壽險定價理論的基礎上，在同一系統中分別對投保人和保險人進行研究，考慮各自隨機決策目標下的壽險定價模型，按此定價理念開發出的保險產品，不僅可以提高產品研發的成功率，而且使得研發出的新產品更能在競爭激烈的保險市場中站穩腳步.

目前，國內外對基于投資的壽險定價問題研究較少.Brennan、Schwartz（1976）最早將金融產品的定價方法應用到保險定價中，對保險產品進行合理定價[1]；Trowbridge（1977）考慮了利率波動和通貨膨脹對壽險定價的影響[2]；Spellman（1975）等考慮了投資收入和需求彈性對壽險定價的影響，以利潤最大化作為最終目標，建立壽險定價模型[3].Pardoux和彭實戈（1990）最早建立非線性下倒向隨機微分方程的基本框架[4]；石玉鳳（2006）闡述了無套利壽險定價法及動態資產份額定價法，根據保險公司的決策目標，計算出合理保費及投資策略[5]；鄭鸕捷（2012）將無套利壽險定價運用到再保險定價中，加入時間序列預測方法，給出了基于投資的非比例再保險定價公式，為保險公司厘定比例再保險保費提供了新的方法[6].

在個人公平原則的基礎上，從投保人和保險人雙方的角度出發，把賠付情況與投資收益相結合，根據投保人和保險人各自的隨機投資決策目標，分別建立基于倒向隨機微分方程的無套利定價模型和動態資產份額定價模型，給出保費的定價公式（以上內容主要參考文獻[1]），在此基礎上增加壽險產品成功定價的個體公平條件，進而制定出更加合理的保費以及合理的投資策略.

2投保人無套利壽險定價模型

2.1模型構建的基本思想

投保人購買保險的行為可以看作是一種投資行為，初始時刻的投資金額是保費，到期時的預期投資回報是保險金額，因此對投保人來說并不是真正的參與到投資市場中進行投資，在投保人虛擬的投資過程中，只考慮投保人初始投資金額在投保期間的變動情況，不考慮投保人在投資期間的收入和消費等資產的變動情況.對投保人運用最基本的無套利定價模型，根據其預期投資回報目標，建立壽險定價模型，鑒于壽險定價的穩定性要求，投保人把保費投資于兩種資產：即無風險資產和有風險資產.

2.2符號及模型假設

2.2.1符號

x歲的人投保的初始時刻記為0，投保時間長度記為T，無風險利率記為r0（一般認為是銀行或國債的當期利率），有風險投資的預期收益率為μ，投資市場的隨機波動系數為δ，t∈（0，T）時刻無風險資產的價格為p0（t），有風險資產的價格為pt，初始時刻需要繳納的保費為P0，保費在t時刻的價值為Pt，T時刻的價值為PT=V即保額，保費中用于有風險投資的金額在t時刻的值為It.

2.2.2模型假設

（1）不考慮投保人在投保期間的收入、消費及投資交易成本；

（2）無風險投資定價過程滿足：

由無套利定價公式可以看出，投保人預期的保險金額越高，則投保初期需要繳納的保費就越高.

3保險人動態資產份額定價模型

3.1模型構建的基本思想

對于保險人來說，面對的是真實的投資環境，壽險產品的定價除了要考慮利率之外，還要考慮死亡率、退保率、各種費用率、保險金額等多種因素.在壽險定價方法中，動態資產份額定價法是一種能考慮多種因素并且得到廣泛使用的定價方法之一，因此對于保險人可建立動態資產份額定價模型.保險人在保險期初的可投資金額除了收取的保費之外還可以利用公司期初的資產份額進行投資 ，考慮到壽險定價的穩健性，保險人將期初的資產份額和可投資保費投資于無風險和有風險兩種資產，并且考慮到保險人的無風險投資相比投保人來說投資渠道更多，收益更具優越性，因此認為投保人的無風險投資收益率要比保險人的無風險收益率高，在保險期間資產份額經投資而不斷增長，在保險期末達到預期的資產份額和必要的給付目標.

3.2符號及模型假設

3.2.1符號

記保單生效的初始時刻為0，保單的有效期為T，由于資產份額定價法注重短期定價的有效性，因此建立一年期的動態資產份額壽險定價模型，即T=1.設無風險投資回報率為r，有風險投資的預期收益率為μ，投資市場的隨機波動系數為δ，t時刻無風險資產的價格為p0t，t時刻有風險資產的價格為pt，保險人年初擁有的資產份額為AS0，x歲的投保人在達到x+1歲之前的死亡率為q1x，投保人退保的概率為q2x，投保人生存并且不會退保的概率為p（τ）x，年末支付的退保金額為CV1，年末的死亡給付金額為B，初始時刻收取的保費為G0，與保費有關的費用比例為c0，與保單有關的費用為e0，t時刻動態資產份額的價值記為Ut，動態資產份額到T時刻的目標值為UT，其中用于有風險投資的金額在t時刻的值為It.

3.2.2模型假設

3.3模型建立

保險公司初始時刻可用于投資的資金包括兩部分：一部分是扣除保單費用和保費費用后可用于投資的金額；另一部分是保險公司初始時刻的資產份額.即預期資產份額的增長有兩部分構成：一部分是無風險投資收益，另一部分是有風險投資收益.

4基于個體公平原則的保險定價條件

壽險產品作為一種商品，必須對壽險產品進行合理的定價，因此在定價的過程中應該從投保人和保險人雙方的角度出發，考慮個體公平原則，當投保人期望支付的保費大于或等于保險人期望收取的保費時，才能得到一個合理的保險定價，即在定價過程中需滿足下面的定價條件

除此之外，在建立壽險定價模型的過程中，對有風險投資的回報率做出了假設，即有風險投資的回報率不低于無風險投資的回報率，也就意味著我們利用無套利壽險定價模型得出的保費含有有風險投資導致的因素，所以假如在期初將可投資資金全部投資于無風險資產，則得出的保費應該大于等于無套利壽險定價模型得出的保費.因對于投保人來說并不會真正的參與到投資市場中，只是一種虛擬的投資定價，所以只需要考慮保險人的保費定價滿足無套利定價條件，即

5案例分析

保險公司新開發的一種面向X歲人的一年定期保險，保額為1000元，X歲的人在一年內死亡的概率為q1x=0.15，在一年內退保的概率為q2x=0.25，在一年內既不退保也未出險的概率為pτx=0.6，與保費有關的費用比例為c0=0.06，與保單有關的費用為e0=2，保單年末支付的退保金額為560元，保險公司第一年初擁有的資產份額為AS0=180，保險公司第一年末擁有的資產份額為AS1=500，投保人的無風險投資收益率為r0=0.0258，保險人的無風險投資收益率為r=0.035，計算保險公司第一年初需要收取的保費，同時計算保險公司的有風險投資額和無風險投資額.

根據保險公司的有風險投資情況，引用文獻[4]中的幾組風險投資經驗回報率的數據，見表1.

這個案例說明，保險人承保保額為1000元的保險，只需收取投保人387.737元的保費，同時將保險公司年初的資產和年初收取的保費進行投資，其中將226.27元投資于有風險資產，316.21元投資于無風險資產，一年后，保險公司就能夠承擔最高不超過1000元的賠付.

6結語

基于個體公平原則的無套利壽險定價為壽險產品的開發提供了一種新的思維方式，這不僅提高了壽險產品的成功率，也大大縮短了新產品的檢驗周期，通過合理的操作，幫助保險人獲取更大的利潤.在理論研究中，一般情況下我們只知道保險公司的期初資產份額，對保單期末的資產份額只能通過預測得到，利用基于個體公平原則的無套利壽險定價模型，可以根據決策目標，得出保單成功定價的期末資產份額所滿足的條件，也即得出保險公司的利潤空間，保險人在可獲得的利潤范圍內對壽險產品進行定價，基于該原則下得出的保費更合理，開發出的新險種更容易適應日益激烈的保險市場.

參考文獻

[1]Brennan M. J.， Schwartz E. S. The pricing of equity-linked life insurance policies with an asset value guarantee[J].Journal of Financial Economies，1976，3（1）：195-213.

[2]C. L. TROWBRIDGE. Adjustable life：a new solution to an old problem[J].CLU Journal，1977（40）：202-206.

[3]Spellmam L. J.， Witt R C， Rentz W. F. Investment income and nonlife insurance pricing[J].Journal of Risk and Insurance.1975（52）：567-577.

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