不等式恒成立問題的解題策略

胡鵬（安徽省固鎮縣石湖中學）

不等式恒成立問題的解題策略

胡鵬
（安徽省固鎮縣石湖中學）

不等式恒成立問題是數學中常見的問題，在高考中頻頻出現，是高考中的一個難點問題.此類題型綜合性較強，常涉及一次函數、二次函數的性質和圖像，滲透著換元、化歸、數形結合、函數與方程等思想方法，有利于考查學生的綜合解題能力，在培養思維的靈活性、創造性等方面起到了積極的作用，因此成為歷年高考的一個熱點.題中所涉及的未知數、參數數目有多個，處理時常常陷入困境之中，本文通過幾個具體例題，探討該類問題的基本的解題策略.

典例分析：

1.變“輔元”為“主元”

例1.不等式x2-2ax+1＞0在區間a∈［1，2］上恒成立，求實數x的取值范圍.

解析：我們可以用改變主元的辦法，將a視為主變元，將x視為參數，即將原不等式化為-2ax+x2+1＞0，則令f（a）=-2ax+x2+1，則1≤a≤2時f（a）＞0恒成立即解得x＞2+

點評：在不等式中出現了兩個字母：x及a，而我們都習慣把x看成是一個變量a作為常數.本題可以轉換視角，可將a視作自變量，則上述問題即可轉化為在［1，2］內關于a的一次函數大于0恒成立的問題.此類題本質上是利用了一次數在閉區間上的圖像是一條線段，故只需保證該線段兩端點均在x軸上方（或下方）即可.此類題型借用一次函數的性質變“輔元”為“主元”.

對于一次函數有：f（x）=kx+b，x∈［m，n］有：f（x）＞0恒成立恒成立

2.利用一元二次函數的判別式

例2.關于x的不等式ax2-2ax+3＞0在區間R上恒成立，求實數a的取值范圍.

解：（1）a=0時，滿足題意。

綜上所述0≤a＜3

點評：對于一元二次函數有：f（x）=ax2+bx+c＞0（a≠0，x∈R）有

3.利用函數的最值（或值域）

例3.關于x的不等式x2-2ax+1＜0在區間［1，2］上恒成立，求實數a的取值范圍.

解法一：令f（x）=x2-2ax+1，開口向上，對稱軸x=a，

點評：此題屬于含參數二次函數的問題，在求最值時，對于軸變區間定的情形，需要根據對稱軸與區間的位置進行分類討論.對于二次函數在R上恒成立問題常采用判別式法，而對于二次函數在某一區間上恒成立問題往往轉化為求函數在此區間上的最值問題.

4.參變量分離

例3.關于x的不等式x2-2ax+1＜0在區間［1，2］上恒成立，求實數a的取值范圍.

解法二：原不等式可化為2ax＞x2+1進一步可化為即在區間［1，2］上單調遞增，要使不等式恒成立只需即

點評：將所求變量與其他變量分離開，通過研究式中另外一個變量的已知范圍來確定所求變量的范圍.若所求變量為a，則根據a＞f（x）恒成立恒成立此題一般性解法是利用對稱軸的位置進行討論，其解題過程復雜性顯而易見.而將參數從恒成立不等式中分離出來，可以避免較為復雜的討論.

5.數形結合

解析：設y1=x（4-x），則（x-2）2+y21=4（y1≥0），它表示的是圓心為（2，0），半徑為2的半圓（如圖所示）.

另設y2=ax，它的幾何意義是一條經過原點，斜率為a的直線，將兩者圖像畫在同一坐標系下，根據不等式的幾何意義，要使得半圓恒在直線l的上方（包括相交），當且僅當a≤0時才成立，所以a的取值范圍就是a≤0.

點評：本題是數形結合思想中的“形”中覓“數”，“數”上構“形”的充分體現.由表達式結構特征，能讓我們聯系到用其幾何意義去處理.

總結：恒成立問題的解題的基本思路是：根據已知條件將恒成立問題向基本類型轉化。正確選用函數法、主輔元轉化法、最值法、變量分離法、數形結合等解題方法求解。

·編輯謝尾合