靈活應用數學思想 輕松解決函數問題

馬小蕓

【關鍵詞】 數學教學；數學思想；函數問題

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A

【文章編號】 1004—0463（2016）06—0116—01

函數是初中數學的重要內容，是初中數學知識體系的精髓之一，是刻畫和研究客觀世界變化規律的重要模型.許多數學問題、實際問題都與函數知識息息相關，都需要通過函數知識來解答.對初中生而言，雖然函數知識的學習是由簡到難、循序漸進的，但是很多學生從學習一次函數開始，就對解決函數問題不知所措，更不能靈活掌握其解題方法.究其原因，主要是學生沒有掌握其中的數學思想方法.那么，如何能使學生輕松掌握函數知識，靈活應用數學思想方法解決與函數有關的數學問題呢？下面，筆者結合教學實踐，談談初中涉及到的幾種數學思想方法.

一、分類討論思想

當數學問題中包含多種可能的情況或多種不同的位置關系，就需要依據不同情況分類討論得出結論，從而通過問題的局部解決來實現整體的突破.在引入有理數概念的同時就蘊含著分類討論的思想，這種思想在以后的學習中不斷加強，在解決函數問題時，分類討論的思想顯得非常突出.如下題：

例（2013年銅仁中考）：已知直線y=3x-3分別交x軸、y軸于A、B兩點，拋物線y=x2+bx+c經過A、B兩點，點C是拋物線與x軸的另一個交點（與A點不重合）.

（1）求拋物線的解析式；（2）求△ABC的面積；（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點M，使△ABM為等腰三角形？若不存在，請說明理由；若存在，求出點M的坐標.

分析：本題是二次函數的綜合題，涉及了待定系數法求二次函數解析式、等腰三角形的性質及三角形面積，難點在第三問，當所給條件中沒有說明哪條邊是等腰三角形的腰時，要對其進行分類討論.可以按每一個頂點都有可能是頂角的頂點分三種情況討論①AM=AB，②BM=BA，③MB=MA求出m的值后即可.在分類中做到細心縝密、考慮周全，才能夠不遺漏每一種情況.

二、數形結合思想

數軸的引入為數形結合思想奠定了基礎，借助數軸，點與數形象而又直觀地呈現出來.直角坐標系的建立為函數提供了展示的舞臺，在直角坐標系中有序數對與平面內的點一一對應，使函數與其圖象的數與形的結合成為必然.初中階段學習的一次函數、反比例函數、二次函數的圖象都是在直角坐標系中得以展示，這種思想方法在函數知識的學習與應用中則顯得更加重要，在相關是函數題型中利用數形結合思想解決問題能起到事半功倍的效果.

例，直線y=x1x+b（k1≠0）與雙曲線y=（k2≠0）相交于A（1，2）、B（m，-1）兩點.（1）求直線和雙曲線的解析式；（2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）為雙曲線上的三點，且x1<0

分析：本題第二問和第三問都可用數形結合的方法解答，要比較y1，y2，y3的大小，只需要在x軸上取x1、x2、x3，使x1<0

三、方程與函數思想方法

方程思想簡單地說就是運用方程或不等式的解答方式來求解，而函數思想一般就是指構造函數繼而利用函數的性質去處理問題.函數的研究不能離開方程，同時方程問題借助函數知識去處理才能更簡單.

例 若方程a（x+m）2+b=0的兩個根分別為x1=0，x2=3，那么方程a（x+m+6）2+b=0的根是 .

分析：本題是一道填空題，花費較多的時間通過計算去解答費時費力，如果利用函數思想則可達到事半功倍的效果.可設y1=a（x+m）2+b、y2=a（x+m+6）2+b，觀察解析式可知拋物線y1=a（x+m）2+b向左平移6個單位長度可得拋物線y2=a（x+m+6）2+b，而方程a（x+m+6）2+b=0的根是拋物線y2=a（x+m+6）2+b與X軸交點的橫坐標，由此可得方程a（x+m+6）2+b=0的根是x1=-6， x2=-3.

總之，在課堂教學重視數學思想方法的滲透是培養學生數學素質的需要，通過長期數學思想方法的培養，使學生的認知結構不斷地完善和發展，才能使學生學會學習和學會創新.編輯：謝穎麗