尋求有效策略 提升概括能力

孫保華

摘要：小學(xué)數(shù)學(xué)的許多知識(shí)是抽象概括的產(chǎn)物。學(xué)生認(rèn)識(shí)這些知識(shí)，必須經(jīng)歷一個(gè)“形象——表象——抽象”的復(fù)雜認(rèn)識(shí)心理活動(dòng)過程，即把外部形象的感知材料經(jīng)過頭腦的思維加工，轉(zhuǎn)化為內(nèi)部心理的認(rèn)識(shí)過程。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生思維發(fā)展水平和概念的發(fā)展過程，逐步發(fā)展學(xué)生的概括能力。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；有效策略；概括能力

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號：1009-010X（2016）17-0041-03

教育心理學(xué)者林崇德教授說過：“不管是智力還是能力，其核心成分是思維，最基本特征是概括。”概括能力是數(shù)學(xué)能力的核心，沒有數(shù)學(xué)上的概括就無法獲取數(shù)學(xué)知識(shí)，也就不能促進(jìn)其它數(shù)學(xué)能力的發(fā)展。教師在教學(xué)過程中必須遵循小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，耐心尋求最科學(xué)、最準(zhǔn)確、最有效的策略，來引導(dǎo)學(xué)生參與抽象概括的全過程。

一、典型材料，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)

小學(xué)生概括能力的形成與發(fā)展是以對感性材料的觀察、操作為基礎(chǔ)，通過不斷地抽象概括而逐步形成與發(fā)展的，為學(xué)生提供有利于抽象概括的典型材料是概括能力形成與發(fā)展的重要條件。因此，在教學(xué)中，要為學(xué)生提供充分反映事物本質(zhì)特征和內(nèi)在聯(lián)系的典型材料，獲得對這些典型材料的感知和理解，引導(dǎo)學(xué)生探究，從而發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)屬性和聯(lián)系。如，學(xué)完了“分?jǐn)?shù)乘法”后，出示如下一道題：

先計(jì)算，再觀察每組算式的得數(shù)，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

通過提供上面三組算式（左右對應(yīng)的兩個(gè)算式為一組）作為感性材料，讓學(xué)生在計(jì)算中發(fā)現(xiàn)：分母是相鄰的非零自然數(shù)，而分子都是1的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，它們的差等于它們的積。

教學(xué)中還要注意兩點(diǎn)：一是力戒一例一結(jié)，不要僅舉一個(gè)例子就總結(jié)出一個(gè)結(jié)論，而應(yīng)盡量多舉幾個(gè)有代表性的例子，讓學(xué)生充分發(fā)現(xiàn)其共同屬性再下結(jié)論。二是力避一展就收，不要一展示出事物的本質(zhì)屬性，馬上就下結(jié)論，而應(yīng)讓其本質(zhì)屬性充分展示出來，甚至要故意夸張，讓學(xué)生充分感知，再下結(jié)論，這樣才能水到渠成。

二、掌握方法，準(zhǔn)確概括

（一）提問法——概括的邏輯性

數(shù)學(xué)概念具有一定的邏輯結(jié)構(gòu)和順序。給概念下定義，通常用“類屬+種差”的方法。一般是先找到它鄰近的類屬，再找到其特有的種差。例如，教學(xué)“梯形”，可設(shè)計(jì)這樣的問題引導(dǎo)學(xué)生思考：（1）這些圖形是幾邊形？（2）對邊是怎樣的四邊形？（3）有幾組對邊分別平行？在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生把這些結(jié)論合起來，用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言概括歸納出梯形的定義：只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形。通過這樣的提問，引導(dǎo)學(xué)生邏輯思考，準(zhǔn)確地概括出了梯形的定義。

（二）歸并法——概括的簡潔性

有些概念、原理是由兩個(gè)或兩個(gè)以上的方面概括而成的。教學(xué)時(shí)，可先逐一敘述，然后再引導(dǎo)學(xué)生將其合并起來，成為一個(gè)全面概括、語言簡潔的定義。例如，教學(xué)“比的基本性質(zhì)”，可引導(dǎo)學(xué)生分別概括出“比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘相同的數(shù)（0除外），比值不變”，“比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)除以相同的數(shù)（0除外），比值不變”，然后將兩句合并為一句：“比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），比值不變”。這樣，不僅使學(xué)生深刻理解了比的基本性質(zhì)，而且使概括出來的語言非常簡潔。

（三）選詞法——概括的準(zhǔn)確性

數(shù)學(xué)概念要準(zhǔn)確，敘述的語言就必須準(zhǔn)確。在引導(dǎo)學(xué)生概括時(shí)，要通過相近詞的選擇，幫助學(xué)生形成準(zhǔn)確用詞的能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的準(zhǔn)確性。例如，教學(xué)“方程的概念”，引導(dǎo)學(xué)生概括、揭示概念時(shí)，可這樣板書：含有未知數(shù)的（ ）叫做方程。讓學(xué)生從“式子”、“算式”、“等式”三個(gè)詞中選填一個(gè)。又如，教學(xué)“小數(shù)的性質(zhì)”，可這樣板書：小數(shù)的（ ）添上或去掉“0”，小數(shù)的大小不變。讓學(xué)生從“末尾”、“最后”、“后面”三個(gè)詞中選填一個(gè)。這樣做，既能準(zhǔn)確概括，使學(xué)生正確地理解概念的意義，體會(huì)用詞的準(zhǔn)確性，又能幫助學(xué)生學(xué)會(huì)推敲，養(yǎng)成用詞謹(jǐn)慎的態(tài)度。

（四）填充法——概括的完整性

有些概念用語言表達(dá)，句子較長，對小學(xué)生來說，有一定的難度。教學(xué)時(shí)，教師可以只要求學(xué)生能夠理解。要用語言完整表達(dá)，可以讓學(xué)生填寫部分關(guān)鍵詞語。例如，教學(xué)“乘法結(jié)合律”，可讓學(xué)生填空：三個(gè)數(shù)相乘，可以先把前兩個(gè)數(shù)（ ），再（ ）；或者先把后兩個(gè)數(shù)（ ），再（ ），它們的積（ ），叫做乘法結(jié)合律。這樣做，既減少了冗長的敘述，降低了學(xué)生概括的難度，又突出運(yùn)算方法的變化，加深了學(xué)生對公式的理解。

（五）反例法——概括的嚴(yán)密性

許多數(shù)學(xué)概念都是有條件限制的，而小學(xué)生概括概念時(shí)往往疏忽有關(guān)條件，說出諸如“直徑是半徑的兩倍”、“兩條不相交的直線叫做平行線”、“三角形的面積是平行四邊形面積的一半”等錯(cuò)誤判斷來。因此，教學(xué)時(shí)必須適時(shí)舉出反例，提醒學(xué)生在概括時(shí)加上必要的限制條件。如，教學(xué)“圓的直徑與半徑的關(guān)系”，可以用兩個(gè)大小不同圓的直徑和半徑作比較，說明“在同一個(gè)圓里”的條件必不可少。教學(xué)平行線時(shí)，可以舉出不在同一平面內(nèi)兩條直線不相交的例子，說明“在同一平面內(nèi)”的條件不可缺少。教學(xué)“三角形的面積”，可以用非等底等高的三角形和平行四邊形來比較，讓學(xué)生關(guān)注“等底等高”這個(gè)必要條件，提高概括的嚴(yán)密性。

三、類比遷移，以舊識(shí)新

概括與遷移具有密切的聯(lián)系，遷移的實(shí)質(zhì)就是概括。因此，在教學(xué)中，要溝通知識(shí)問的內(nèi)在聯(lián)系，突出知識(shí)間的本質(zhì)屬性，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移，以此促進(jìn)學(xué)生概括能力的發(fā)展。

（一）新舊知識(shí)的概括與整合

學(xué)習(xí)已有數(shù)學(xué)知識(shí)的下位知識(shí)時(shí)，讓學(xué)生用已有的知識(shí)去同化下位知識(shí)，將新知識(shí)納入認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去，實(shí)現(xiàn)新舊知識(shí)的概括與整合。例如，認(rèn)識(shí)了三角形后再學(xué)習(xí)三角形的分類，將三角形按角分為直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形，按邊分為等腰三角形和不等邊三角形，從而建立一個(gè)相對完整的三角形概念系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)對各種三角形的全面概括。

（二）建立新舊知識(shí)的上位知識(shí)結(jié)構(gòu)

學(xué)習(xí)已有知識(shí)的上位知識(shí)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)已有知識(shí)不同內(nèi)容之間的共同要素，從而建立一個(gè)能包容新舊知識(shí)的上位知識(shí)結(jié)構(gòu)。將筆算整數(shù)加減法、小數(shù)加減法、分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法通過進(jìn)一步概括形成更加概括的上位規(guī)則，即凡是加減法都必須是相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)才能直接相加減。

（三）實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)重組性遷移

在綜合應(yīng)用中，讓學(xué)生對認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的已有知識(shí)進(jìn)行重組，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)重組性遷移。例如，有這樣一道練習(xí)題：有一個(gè)長方體，長和寬都是5分米，高是10分米，這個(gè)長方體的表面積是多少平方分米？解答這道題時(shí)，學(xué)生存在多種解題方法，展現(xiàn)學(xué)生的思考過程如下：（1）因?yàn)殚L方體相對面的面積相等，因此，只要算出其中三個(gè)面的面積，再乘以2。用（5×5+5×10+5×10）×2=250平方分米。（2）因?yàn)樯稀⑾聝蓚€(gè)面的面積和相當(dāng)于一個(gè)前面面積，求6個(gè)面積只要求出5個(gè)前面面積。用5×10×5=250平方分米。（3）因?yàn)榍啊⒑蟆⒆蟆⒂宜膫€(gè)面的面積分別都等于2個(gè)上面的面積，底面面積等于上面面積，因此，求6個(gè)面積只要求出10個(gè)上面面積。用5×5×10=250平方分米。可以看出，如果應(yīng)用后兩種方法解決問題，學(xué)生需要對認(rèn)知結(jié)構(gòu)的知識(shí)進(jìn)行重組。同時(shí)學(xué)生通過相互交流，開闊了思路，受到啟發(fā)，活躍了課堂氣氛，培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維，促進(jìn)了學(xué)生概括能力的發(fā)展。

四、引導(dǎo)梳理，溝通聯(lián)系

對數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)整理，就是在某一階段的學(xué)習(xí)活動(dòng)結(jié)束后，引導(dǎo)學(xué)生對已經(jīng)學(xué)習(xí)的有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行回憶與梳理，溝通知識(shí)之間的聯(lián)系，讓學(xué)生從更加概括的層面掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，在這樣的活動(dòng)中促進(jìn)學(xué)生概括能力的發(fā)展。

（一）突出整理的層次性

在一個(gè)階段某個(gè)知識(shí)系統(tǒng)學(xué)習(xí)結(jié)束后，都要及時(shí)對所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整理，溝通知識(shí)間的聯(lián)系，形成相應(yīng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。如，學(xué)習(xí)了“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”后，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想與已有知識(shí)之間的聯(lián)系，喚起學(xué)生對分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系、分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)與商不變規(guī)律的聯(lián)系，從而有效地幫助學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（二）抓住相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系

突出不同內(nèi)容之間的本質(zhì)聯(lián)系，讓學(xué)生形成系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。如，對平面圖形面積的復(fù)習(xí)，不但要鞏固各種平面圖形面積的計(jì)算方法，同時(shí)要讓學(xué)生理解各種平面圖形面積計(jì)算方法間的聯(lián)系，感悟面積計(jì)算公式推導(dǎo)過程中的數(shù)學(xué)思想方法，對其內(nèi)容獲得更加概括的認(rèn)識(shí)。

總之，只有具備良好的概括能力，才能獲得對數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)和規(guī)律的認(rèn)識(shí)，才能使數(shù)學(xué)對象的感性認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化為理性認(rèn)識(shí)，使認(rèn)識(shí)發(fā)生質(zhì)的飛躍，從而為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的遷移、知識(shí)的運(yùn)用提供堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

[責(zé)任編輯 高潔]