生活中的圓周運(yùn)動問題歸類解析

劉錦洋

摘要：圓周運(yùn)動知識是高中物理學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是高考命題的熱點(diǎn)。生活中的圓周運(yùn)動問題是其中的難點(diǎn)，且常和其他知識點(diǎn)相結(jié)合進(jìn)行考查，從而形成綜合性較強(qiáng)的問題。這類問題來源于實(shí)際，解決問題的關(guān)鍵要重在理解其運(yùn)動規(guī)律。本文就幾類生活中的圓周運(yùn)動模型作了較為詳盡的歸納和解析，對這些問題進(jìn)行歸類研究能更容易理解其運(yùn)動規(guī)律，找到解決問題的基本方法。

關(guān)鍵詞：圓周運(yùn)動；問題歸類；學(xué)生

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2015）11-0074

圓周運(yùn)動知識是高中物理學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是高考命題的熱點(diǎn)。生活中的圓周運(yùn)動問題是其中的難點(diǎn)，且常和其他知識點(diǎn)相結(jié)合進(jìn)行考查，從而形成綜合性較強(qiáng)的問題。這類問題來源于實(shí)際，解決問題的關(guān)鍵要重在理解其運(yùn)動規(guī)律。本文就幾類生活中的圓周運(yùn)動模型作了較為詳盡的歸納和解析，對這些問題進(jìn)行歸類研究能更容易理解其運(yùn)動規(guī)律，找到解決問題的基本方法。

一、火車轉(zhuǎn)彎問題

解決此類問題，首先應(yīng)分析向心力的來源。火車在平直軌道上轉(zhuǎn)彎時擠壓外軌，僅由外軌對火車的彈力提供轉(zhuǎn)彎所需向心力。實(shí)際中轉(zhuǎn)彎處外軌略高于內(nèi)軌，火車駛過轉(zhuǎn)彎處時鐵軌對火車的支持力不再沿豎直方向，而是斜向彎道的內(nèi)側(cè)，它與重力的合力提供火車轉(zhuǎn)彎所需向心力。其次要明確圓周平面，雖然外軌高于內(nèi)軌，但整個外軌和整個內(nèi)軌分別是等高的，因而火車行駛過程中重心的高度不變，火車重心的軌跡在同一水平面內(nèi)，火車的圓周平面是水平面，而不是斜面。

例1. 鐵路轉(zhuǎn)彎處的彎道半徑r是根據(jù)地形決定的。若一段鐵路轉(zhuǎn)彎處內(nèi)外軌高度差為h=75mm，彎道半徑r=440m，內(nèi)外軌的間距L=1.435m。

①求這段彎道的設(shè)計速度v0是多大？

②討論當(dāng)火車（質(zhì)量為m）的速度大于或小于v0時內(nèi)外軌對火車的側(cè)壓力。

解答：

①轉(zhuǎn)彎過程中，當(dāng)內(nèi)外軌對車輪均沒有側(cè)向壓力時，火車的受力如圖1所示。其中G與FN合力F=mgtanα提供火車轉(zhuǎn)彎的向心力，故由牛頓定律得：mgtanα=

因?yàn)棣梁苄。剩簍anα≈sinα=

由（1）、（2）可得： v0=

代入數(shù)據(jù)解得： v0=15m/s

②討論：當(dāng)v>v0時，外軌對外輪邊緣產(chǎn)生沿路面向內(nèi)的彈力，此時火車受力如圖2所示，則根據(jù)牛頓第二定律：

FN·sinα+F外·cosα=

FN·cosα=F外·sinα+mg

聯(lián)立兩式解得：F外=m cosα-mgsinα

速度v越大，F(xiàn)外越大。

同理，當(dāng)v

F內(nèi)=mgsinα -m cosα

速度v越小，F(xiàn)內(nèi)越大。

[拓展]鐵路彎道的曲率半徑r是根據(jù)地形條件決定的，彎道處內(nèi)外軌道的高度h選取不僅與r有關(guān)，還與火車在彎道上的行駛速率有關(guān)，利用數(shù)學(xué)近似處理得出上述三個量的關(guān)系為h=L·

二、汽車過拱橋問題

分析此類問題，要會確定汽車在何位置時對橋面的壓力最大。汽車經(jīng)過凹形橋面時，有向上的加速度或分量，汽車處于超重狀態(tài)，經(jīng)過凸形橋面時，有向下的加速度或分量，汽車處于失重狀態(tài)，當(dāng)汽車經(jīng)過凹形橋面的最低點(diǎn)時，汽車對橋面的壓力最大。

例2. 一質(zhì)量m=2.0t的小車，駛過半徑R=90m的一段圓弧形橋面，重力加速度g=10m/s2。求：

①若橋面為凹形，汽車以20m/s的速度通過橋面最低點(diǎn)時，對橋面壓力是多大？

②若橋面為凸形，汽車以10m/s的速度通過橋面最高點(diǎn)時，對橋面壓力是多大？

③汽車以多大速度通過凸形橋面頂點(diǎn)時，對橋面剛好沒有壓力？

解答：

①汽車通過凹形橋面最低點(diǎn)時，受力情況如圖3所示。水平方向受牽引力F和阻力f，豎直方向受橋面向上的支持力N1和向下重力G=mg，支持力與重力的合力為N1-mg，這個合力就是汽車通過橋面最低點(diǎn)時的向心力。

由向心力公式有：N1-mg=m

則支持力N1=mg+m （1）

將已知條件代入，并根據(jù)牛頓第三定律，得F壓=N1=2.88×104N，即汽車對橋面最低點(diǎn)的壓力大小是2.88×104N。

②汽車通過凸形橋面最高點(diǎn)時，受力情況如圖3所示。水平方向受牽引力F和阻力f，豎直方向受重力G=和橋面向上的支持力N2，重力與支持力的合力為mg-N2，這個合力就是汽車通過橋面頂點(diǎn)時的向心力，由向心力公式有

mg-N2=m

則支持力F壓=N2=mg-m =1.78×104N （2）

根據(jù)牛頓第三定律，汽車在橋的頂點(diǎn)時對橋面壓力的大小為1.78×104N。

③設(shè)汽車速度為vm時，通過凸形橋面頂點(diǎn)時對橋面壓力為零。根據(jù)牛頓第三定律，這時橋面對汽車的支持力也為零，汽車在豎直方向只受到重力G作用，重力就是汽車駛過橋頂點(diǎn)時的向心力。

由向心力公式有：mg=m

解得：vm=30m/s即汽車以30m/s的速度通過橋面頂點(diǎn)時，對橋面剛好沒有壓力。

[拓展]由（1）式可知，v增大，F(xiàn)1減小；當(dāng)v增大到 時，F(xiàn)1=0。由（2）式可知，v增大，F(xiàn)1增大。公式是牛頓第二定律在圓周運(yùn)動中的應(yīng)用，向心力就是做圓周運(yùn)動的物體所受的指向圓心方向的合外力。因此，牛頓定律及由牛頓定律導(dǎo)出的一些規(guī)律（如超重、失重等）在該問題中仍適用。

三、翻轉(zhuǎn)過山車問題

此類問題側(cè)重考查圓周運(yùn)動中臨界條件的應(yīng)用，分析時應(yīng)先考慮達(dá)到臨界條件時物體所處的狀態(tài)，再分析該狀態(tài)下物體受力的特點(diǎn)，結(jié)合圓周運(yùn)動知識解決問題。

例3. 如圖5所示，游樂場翻轉(zhuǎn)過山車上的乘客常常會在高速旋轉(zhuǎn)或高空倒懸時感到驚險刺激。這種車的設(shè)計有足夠的安全系數(shù)，過山車在做圓周運(yùn)動時，可以使乘客穩(wěn)定在座椅上，還有安全棒緊緊壓在乘客胸前，在過山車未到達(dá)終點(diǎn)以前，不能將其打開。若一過山車的圓環(huán)直徑是15m，試?yán)门ｎD第二定律和圓周運(yùn)動的知識，探究過山車通過圓軌道最高點(diǎn)的速度至少為多少時才能夠保證乘客的安全？過山車在圓軌道最低點(diǎn)和最高點(diǎn)時分別處于什么狀態(tài)？（g取10m/s2）

解答：

過山車運(yùn)動到環(huán)底和環(huán)頂時，車中人受力情況是：重力mg、過山車在底部對人的支持力FN下（方向向上）和過山車在頂部對人的支持力FN上（方向向下）。過山車沿圓環(huán)滑動，人也做圓周運(yùn)動，人所需的向心力由mg和FN提供。用v下表示人在圓環(huán)底部的速度，v上表示人在圓環(huán)頂部的速度，R表示圓環(huán)的半徑，則：

在底部：FN下-mg=m ，此時，F(xiàn)N下=mg+m

可見在底部時，過山車對人的支持力比人的體重大了m ，由牛頓第三定律可知，這時人對滑車座位的壓力也比其體重大m 。過山車經(jīng)過底部時速度會相對較大，所以人的體重增加好多倍，使人緊壓在座位上。

在頂部：FN上+mg=m

在最高點(diǎn)時不掉下來且能安全通過的條件是只有重力提供向心力，故有mg=m

得v上= =8.7mv2上

通過上述分析知，過山車在圓軌道最低點(diǎn)和最高點(diǎn)時分別處于超重和失重狀態(tài)。

[拓展]過山車經(jīng)過圓軌道最高點(diǎn)的速度與整個軌道最高處A離地面的高度H有關(guān)，為了保證游客安全，速度必須達(dá)到8.7m/s，那么H必須大于某一個定值。

由機(jī)械能守恒定律有：mgH=mgZR+ mv2上

解得，H=18.75m.。即整個軌道的最高處必須大于18.75m才能保證安全。

四、離心運(yùn)動問題

物體做離心運(yùn)動（圖6）的條件：合外力突然消失或不足以提供物體做圓周運(yùn)動所需的向心力。處理此類問題之前，我們要注意分析理解下面幾點(diǎn)：

1. 離心運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)特征是逐漸遠(yuǎn)離圓心運(yùn)動，動力學(xué)特征是合外力突然消失或不足以提供所需的向心力。

2. 做離心運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)是做半徑越來越大的運(yùn)動或沿切線方向的運(yùn)動，不是沿半徑方向運(yùn)動；當(dāng)合外力突然消失時，物體就以此時的線速度沿切線方向運(yùn)動，軌跡為一條直線。

3. 做離心運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)不存在所謂的“離心力”作用，因?yàn)闆]有任何物體提供這種力。

例4. 如圖7所示，細(xì)繩一端系著質(zhì)量M=0.6kg的物體，靜止于水平面，另一端通過光滑小孔吊著質(zhì)量m=0.3kg的物體，M的中點(diǎn)與圓孔距離為0.2m，M和水平面的最大靜摩擦力為2N。現(xiàn)使此平面繞中心軸線轉(zhuǎn)動，問角速度ω在什么范圍m會處于靜止?fàn)顟B(tài)？（g取10m/s2）

解答：

要使m靜止，M應(yīng)與平面相對靜止，考慮M能與水平面相對靜止的兩個極端狀態(tài)：當(dāng)ω為所求范圍內(nèi)的最小值時，M有向圓心運(yùn)動的趨勢，水平面對M的靜摩擦力方向背離圓心；當(dāng)ω為所求范圍的最大值時，M有遠(yuǎn)離圓心運(yùn)動的趨勢，水平面對M的摩擦力方向指向圓心。

①當(dāng)ω為所求范圍的最小值時，水平面對M的靜摩擦力大小等于最大靜摩擦力2N，方向背離圓心，此時對M有：

T-fm=Mrω21且T=mg

解得： ω1=2.9rad/s

②當(dāng)ω為所求范圍的最大值時，水平面對M的摩擦力大小也為2N，方向指向圓心，此時：T+fm=Mrω22且T=mg

解得：ω2=6.5rad/s

故所求ω的范圍為2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s

[拓展]分析兩個極端（臨界）狀態(tài)來確定變化范圍，是求解“范圍類”問題的一種常用方法。

跟蹤訓(xùn)練

1. 繩系著裝有水的水桶，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，水的質(zhì)量m=0.5kg，繩長l=60cm。求：

（1）最高點(diǎn)水不流出的最小速率

（2）水在最高點(diǎn)速率v=3m/s時，水對桶底的壓力

2. 如圖8所示，一質(zhì)量為m的小球p與穿過光滑水平板中央小孔O的輕繩相連，用手拉著繩子的另一端使小球在水平板上繞O作半徑為a，角速度為ω1的勻速圓周運(yùn)動。

（1）若將繩子從這個狀態(tài)迅速放松，后又拉緊，使小球繞O作半徑為b的勻速圓周運(yùn)動，則從繩子被放松到拉緊經(jīng)過多少時間？

（2）當(dāng)小球沿半徑為b的圓周勻速運(yùn)動時角速度ω2多大？

參考答案：1. 2.42 m/s 2.6N 2. ω1