初中數學課堂反例的應用

方小龍

摘要：在初中階段，邏緝推理能力是學生學習數學時非常重要的一種能力。所以，我們在要求學生寫證明題時必須做到每一步都要有理由，但是有時候在證明一些命題時，我們沒有辦法找到證明的理由，特別是在說明一個命題是否正確時，就需要我們在課堂上找到反例來幫助說明。反例就是解決這個特殊問題的，其實反例就是我們課堂所舉的那些只能滿足題目的條件，但不能滿足題目結論的例子。（即命題條件與其命題的結論相互矛盾的例子）。當我們要證明某個命題正確時，就要說明當滿足它的條件時，它的結論都是正確的。而我們要說某個結論不對，只要找一個結論不正確，可是卻滿足命題條件的例子。像這樣的例子就叫做反例。

關鍵詞：反例；推理；滿足；作用

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2015）12-0088

數學中的反例就是一個例子，它的作用就是拿來說明某個結論是錯誤的。它只能滿足命題的條件，卻不能滿足命題的結論。這樣的例子叫做反例。比如說，有這樣的一個命題：我們班所有的同學都喜歡上數學課。那么我們應該怎樣說明這句話是錯誤的呢？怎樣去尋找說明這句話是錯誤的反例呢？我們只需要找一個班上的同學，但他又不喜歡上數學課的同學。也就是“一個不愛上數學課的班上同學”成為這個命題的反例，在學生進行數學幾何證明過程中，舉反例的方法和證明的方法都是我們平時常用的兩種方法，舉反例是我們正面無法證明時很好的一種補充方法。證明就是用一句正確的話，去推出另一句話也是正確的。但是，反例是用一句正確的話，去說明另一句話是錯誤的。事物和事物之間的聯系都能用這兩種方法來推理。美國數學家蓋爾鮑姆說過，不斷提出證明和舉出反例的過程就是學習數學的過程，它決定了數學發展的兩個主要方向。

在數學課堂上要想讓學生學得好，除了正面的證明，也要使用舉反例的方法幫助學生從另一個方面進行正確理解。它也是我們平時教學過程中經常用到的方法，它可以讓學生很輕松地理解書本所學知識。可以更好地解讀性質、定理，掌握好數學，提高學生的解題能力。

接下來，我們將從反例的組成、反例在數學課堂的應用、反例對學生推理能力培養、舉反例要關注的問題來進行說明。

一、反例的組成

我們只有經過嚴密的推理論證，才能說明一個結論是正確可靠的；但是要說一個結論是錯誤的，只要找到舉一個反例就可以了。平時在課堂上，我們可直接舉一個符合該命題的反例，就可以說明這一句話是錯誤的，不要通過繁雜的證明過程，從而更容易理解該結論。

那反例怎么找呢？是不是隨便找一個例子都是反例呢？這就要求所找到的例子必須一個符合命題的反例，也就要求學生必需經過很多的思考，還有以往經驗的積累，反例不是很容易就能出現的。要想得到反例，分析命題的條件是必須的。例如：相等的角是對頂角，這個命題的條件是什么呢？兩個相等的角，從而引導學生發現，所有相等的角當中未必都是對頂角。

在初中數學學習中，我們要學習很多概念。若給出一個概念的定義，然后判斷它對不對，我們常常需要從命題的條件入手分析來尋找反例。反例是一種簡單又好用的判斷命題錯誤的方法，同時它也可以提高學生逆向思維，又能幫助學生正確理解定義、性質。反例是我們在證明過程中完美的補充，它也是一種數學證明方法。

二、反例在數學課堂中的應用

在我們初中數學課堂上，利用反例對我們數學課堂教學有什么幫助呢？

1. 幫助我們正確全面地理解數學概念

當我們解讀某個數學的概念給學生聽時，除了進行正面的理解外，有的時候還要從反過來，找到一個合適該數學概念的反例來幫助說明概念的含義，讓學生更容易地理解此概念。

例1. 在學習函數的概念時，有一小部分學生是這樣想的：只要有變化而變化，這種關系就是函數關系，如何讓學生正確理解函數的概念呢？我們可以提出以下兩個問題：

（1）人的身高與體重成函數關系嗎？

（2）若y=x2，則y是x的函數嗎？

筆者認為很多學生會認為人的身高與體重構成函數關系。因為人長大了，體重也就增加了。所以，人的身高與體重有關系，只要有關系那就是函數關系。此時，我們可以問學生，當你13歲這一年中，你的體重是不是都不變呢？你能確定嗎？通過這樣的反例，讓學生發現，雖然人的身高和體重有關系，但是當人體重確定時，人的身高有可能不唯一，即當自變量（人的體重）發生變化時，因變量（身高）沒有完全唯一的值和它對應，因此不符合函數的定義。從而加深了對函數的認識。而（2）中學生會說：y不是x的函數，因為當x=±1時，y=（±1）2=1，因變量y不隨x的變化而變化（當時，y值都是1），此時我們可以問學生當確定時，唯一嗎？其實對每一個給定x的值，當x變化時，雖然y的值有時不變。但還是有唯一確定的值和它對應，由此認識到y是x的函數，并非一定要求y隨x的變化而變化，而是對每一個給定x的值，y都有唯一值和它對應。什么是函數關系？通過所舉兩個反例的學習，他們就掌握了函數關系的本質。

課堂上，當我們在教學生學習概念、定理、公式一時，經常發現學生對一些關鍵句不夠理解，而是強行記憶概念、定理、公式，并沒有真正地理解。結果遇到與概念、定理、公式有點相似的，就容易造成混淆。

例2. 對于矩形、菱形、正方形的判定它們內容很相近，這就容易讓他們搞不清楚。因此，在數學課堂教學中，我們可以讓他們相互多舉一些這樣反例，以便更好地強化對判定的理解。

例3. 當我們在學習矩形、菱形、正方形時，它們之間有很多性質，而且它們之間既有區別，同時又有聯系。 這時學生就很容易發生錯誤 例如把矩形的性質說成對角線互相垂直這樣的錯誤等等。當我們碰到這種情況時，我們可以先讓學生上黑板畫一個長方形（非正方形），然后叫他們用尺子比一比，看看它們的對角線是否互相垂直。通過這樣的反例，學生很容易就能發現這是不對的。從而使他們全面、深刻地理解所學知識。因此，當所學相關知識較多時，我們可以通過讓學生舉一些反例幫助理解。

3. 培養思維的發散性

在數學課堂上，可以利用反例大大豐富課堂教學。因為反例的組成不是唯一的，所以我們可以充分調動學生多多地舉出反例。從而調動了數學課堂氛圍，充分展開想象，同時也讓學生的發散性思維得到充分發揮和訓練。

反例經常用于否定錯誤的命題。在平面幾何學習中，我們往往通過對比來發現一些錯誤的命題，這就需要用到反例來否定這些錯誤的命題。

例14. 我們可能會把“所有的正方形都會相似”的結論移植到矩形中，誤認為“所有的矩形都會相似”。此時就可以構造反例：一個矩形長為3，寬為2；另矩形長為4，寬為5，顯然兩個矩形長和寬不會成比例。可見，所有的矩形都會相似這句話是錯誤的。

四、舉反例要關注的問題

反例雖然在我們數學課堂上廣泛運用，但在課堂教學中，運用反例時還要注意一些小問題：

1. 注意主次。在正常的上課過程中，我們學習概念、定理和法則，一般是以書本上的證明為主。而舉反例的方法只是一種輔助方法，只要能運用它否定錯誤的命題就可以了，不必要學太深。2. 注意適當。反例的選擇不是隨隨便便的，它既要合適又能說明問題。不要花很多時間找來一大堆無效的反例。這樣不僅沒用，又容易讓學生產失敗感。不一樣的知識點，所用到的反例也不一樣，要求也不一樣。總之，合適的反例才是最好的反例。

總之，對于中學生來說，解題是他們必須掌握的數學能力。通過解題，可以考查他們對知識的掌握情況。而反例能很好地幫助學生解題。它很好地輔助了我們的課堂教學。因此，我們在引導學生做數學題時，除了讓他們學會從正面尋找解題的出路，也要讓他們學會用反例的方法來證明，從而更好地提高學生的綜合解題能力。

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（作者單位：福建省福鼎十七中 355209）