試論偏微分方程數(shù)值解中塊迭代解法的應用

【摘要】本文從偏微分方程定解出發(fā)，通過對不同方法的比較，給出最佳解決方法，對偏微分方程的數(shù)值求解同時的依賴于離散方法、線性代數(shù)方程組的求解，以大型稀疏方程組的系數(shù)矩陣的塊結構性質為例，提出將ILU用于求解一類線性代數(shù)方程組，結果證明，將兩種方法結合到一起能夠有效解決此類問題，與其它方法相比，是能夠為偏微分方程提供最優(yōu)參數(shù)的最佳方法。

【關鍵詞】偏微分方程 塊迭代 應用

【中圖分類號】O241.82 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）19-0021-01

在現(xiàn)代科學技術工程中涉及到許多數(shù)學模型，在這其中有很多數(shù)學名都能夠用偏微分方程進行描述，不僅如此，在工程技術、物理方面也能夠推導出偏微分方程。總的來說，在現(xiàn)代數(shù)學中，偏微分方程是非常重要的一個內容。這不僅體現(xiàn)在理論方面，在現(xiàn)實中的應用也十分廣泛，比如在流行病學、控制過程、化工循環(huán)系統(tǒng)等方面均有著非常廣泛的應用。由于偏微分方程在解決這些問題的時候充分考慮到了時滯、時間以及空間方面等多種的因素的影響，所以才能將實際情況反映出來，對偏微分方程的應用進行研究的具有十分重要的理論意義和現(xiàn)實意義。

一、基本迭代法

在求解偏微分方程的時候，一般可以分為兩個階段：首先是將偏微分方程離散化，將其轉化成代數(shù)方程組；然后對轉化后的代數(shù)方程組進行求解。求解偏微分方程的這兩個步驟是相輔相成的。原因在于在求解偏微分方程數(shù)值時，最終的精度取決于離散方法的采用。因此，在求解的過程中，應當將這兩個步驟看成一個整體，或者說，這兩個步驟本身就是一個整體。求解代數(shù)方程組能夠大大推動差分格式的研究，與此同時，對差分格式的研究對代數(shù)方程組的迭代法也有一定的借鑒作用[1]。

線性方程組：Ax=b （1）

在對此線性方程組進行求解時有兩種方法可供選擇，一種是直接法，另一種就是本文所研究的迭代法。上世紀六、七十年代主要采用的是直接法。所謂直接法，簡單來說就是通過變換系數(shù)矩陣，將原方程轉化成比較容易求解的三角或者是三對角等形式，最后再通過順代法或者是回代法等得到方程組的解，比較常用的系數(shù)矩陣變換方法有QR分解法、LU分解法等等。在精確運算的前提下，直接法能夠將任何非奇異的問題求解出來，但是該方法只對中小規(guī)模的稠密系統(tǒng)如（1）是有效的，但是對于特殊情況下，比如A的很多元素都是零或者是A的階數(shù)非常大，那么在求解的過程中就需要耗費大量時間。

迭代法是在算子A對某些向量的重復作用上發(fā)展而來的。上世紀中期，人們對在計算機上利用迭代法求求線性方程組的近似解展開研究，由此，研究出了許多迭代法，在求解這類方程組時發(fā)揮了重要作用。無論是哪種迭代法，它們都有一個共同的特點就是以矩陣分裂和算子的重復利用為基礎，然后逐漸逼近近似解。在這里我們需要指出，如果系數(shù)矩陣A是對稱正定而且相容次序相同，那么最好選擇逐次超松弛迭代法。從實際角度來說，按照某一條件劃分，具有某一性質的系數(shù)矩陣A在合理的重排次序下，就能夠將其整理成一個紅黑排序矩陣。如果一個矩陣是紅黑排序的，那么它也一定會擁有相容性質和相容持續(xù)。（2）表示的是方程（1）逐次超松弛迭代覺著呢的特征值和Jacobi方法迭代矩陣的特征值的關系：

如果A是對稱正定的，那么B的特征值就一定是小于1 的實數(shù)，這就是逐次超松弛迭代方法的最優(yōu)松弛因子[2]，其中ω為參數(shù)，我們可以將其表示為：

二、塊ILU分解

計算線性代數(shù)方程組的不完全分解預條件，較為常用的方法就是采用高斯消元法對系數(shù)矩陣進行分解時，采取有效方法將分解過程中產生的填充去除，這樣一來，預條件矩陣M—Lu就很容易得到了，其中L和u表示的都是近似分解因子。填充的去除方法有許多標準，在這里不一一介紹。對于方程系數(shù)矩陣A，用P表示非對角位置F標集，得到A=LU—N。L和U分別是一個單位的下三角和上三角。還有一種的方法是通過填充的數(shù)值大小來確定。首先我們需要同定一個正數(shù)，如果產生填充的絕對值大于a，選擇保存。但是這種方法有一個很明顯的缺陷就是無法事先選擇一個好的a。在去除填充的時候也會遇到許多問題，比如我們根本無法預測不完全分解的因子需要多少空間存儲。為了解決這一問題，提出了雙重標準，這也是去除填充的第三個方法。固定一個a和p。在每完成一步消元時，小于a的填充就會被去除；對保存下來的填充，按照從大到小的順序，最多能夠保存p個。在這種方法下得到的預條件矩陣為ILUT。為了使ILU方法適合向量計算和并行處理，塊ILU分解也逐漸到了人們越來越多的關注。塊ILU分解簡單來說就是將塊作為分解的最小單元，包括對主對角塊求近似逆。

在現(xiàn)代數(shù)學中，偏微分方程是非常重要的一個內容。這不僅體現(xiàn)在理論方面，在現(xiàn)實中的應用也十分廣泛，比如在流行病學、控制過程、化工循環(huán)系統(tǒng)等方面均有著非常廣泛的應用。由于偏微分方程在解決這些問題的時候充分考慮到了時滯、時間以及空間方面等多種的因素的影響，所以才能將實際情況反映出來，對偏微分方程的應用進行研究的具有十分重要的理論意義和現(xiàn)實意義。

三、一類線性方程組考慮線性方程組：Ax=b

目前的偏微分方程的求解得到了越來越多學者的關注，在積極研究的過程中形成了許多求解方法。通常情況下，偏微分方程問題的數(shù)值的方法有兩類，一個是通過引進新的變量將其轉化為一階常微分方程組再進行求解，但是方程維數(shù)是原來的2倍；另一個是構造直接計算的數(shù)值格式，這就是我們所說的塊基本迭代法。

四、塊基本迭代法

我們可以通過構造一個收斂的方程組解的序列解求解線性方程組，迭代公式為：

如果p-1，可以將迭代公式表示為：

XK+1=GX（K）+f

其中，X、G、f均為矩陣。

定義1：設A為系數(shù)矩陣并且存在非奇異矩陣M，M為分裂矩陣，若x？鄢是（I—G）x—f的解而且也是Ax—b的唯一解，那么稱p階迭代法是相容的。

定義2：若p階迭代法得到的序列滿足條件X（n）=x？鄢，？坌x（0）∈Rn，則迭代法收斂，否則為發(fā)散。

在現(xiàn)代數(shù)學中，偏微分方程是非常重要的一個內容。這不僅體現(xiàn)在理論方面，在現(xiàn)實中的應用也十分廣泛，比如在流行病學、控制過程、化工循環(huán)系統(tǒng)等方面均有著非常廣泛的應用。由于偏微分方程在解決這些問題的時候充分考慮到了時滯、時間以及空間方面等多種的因素的影響，所以才能將實際情況反映出來，對偏微分方程的應用進行研究的具有十分重要的理論意義和現(xiàn)實意義。

參考文獻：

[1]劉榮花.塊迭代解法在偏微分方程數(shù)值解中的應用[J].長春師范學院學報（自然科學版），2010（3）.

[2]徐華.塊迭代解法在偏微分方程數(shù)值解中的應用[J].福建廣播電視大學學報，2009（5）.

作者簡介：

吐克孜·艾肯（1985-），女，維吾爾族，新疆喀什市人，新疆大學計算數(shù)學碩士，就職于巴音郭楞職業(yè)技術學院，研究方向：偏微分方程數(shù)值解。