淺議安徽中考數學卷選擇題“9+1”現象中的“1”

劉引　喬倩倩

[摘 要] 安徽省中考數學試卷具有自己的“特色”，尤其是選擇題，更是形成了獨特的“9+1”現象，其主要考查數形結合思想和分類討論思想，綜合性較強，對學生的知識掌握情況與應用能力都有很高的要求. 此類題型的特點是信息量大，數學思想豐富，需要學生具有扎實的基本功，選拔性和區分度明顯.

[關鍵詞] 中考；數學卷；第10題；選擇題

安徽省近年來的中考數學試卷，卷面成熟、風格穩健、題量穩定、難易適中，注重利用數學思想方法和數學語言來考查四基（基礎知識、基本技能、基本方法、基本活動經驗），其題型、題量已自成風格，尤其是選擇題，更是形成了獨特的“9+1”現象. 現列舉安徽省近五年的中考數學卷第10題加以品味，在對比中一窺“9+1”現象中的“1”，以期能舉一反三.

試題回放

1. 以動點為背景，考查數形結合、分類討論思想

例1 （2011年）如圖1，點P是菱形ABCD的對角線AC上一個動點，過點P垂直于AC的直線交菱形ABCD的邊于M，N兩點. 設AC=2，BD=1，AP=x，△AMN的面積為y，則y關于x的函數圖像大致是（ ）

解析 本題中P為動點，P的位置不同，則MN的位置也跟著發生變化，所以此題應分兩種情況進行討論.

當0

當1

結合函數關系式，可知選項C的圖像大致符合.

賞析 本題作為選擇題的壓軸題，是安徽省中考數學卷的一道特色題，綜合考查了四邊形、相似三角形和二次函數的圖像等知識. 根據動點P的不同位置，帶動線段MN位置的變化，進而對其進行分類討論，把復雜的問題轉化為幾個小問題來逐一解決. 學生只有正確領會了題目意思，熟練掌握二次函數的相關知識，并能和幾何知識相聯系，才能較好地解決問題. 此題需要學生的深入探究和準確分類，對學生的思維要求較高.

2. 以圖形的剪拼為背景，考查數形結合、分類討論思想

例2 （2012年）在一張直角三角形紙片的兩直角邊上各取一點，分別沿斜邊中點與這兩點的連線剪去兩個三角形，剩下的部分是如圖3所示的直角梯形，其中三邊長分別為2，4，3，則原直角三角形紙片的斜邊長是（ ）

A. 10 B. 4

C. 10或4 D. 10或2

解析 由于直角梯形的兩個直角均可為直角三角形的直角，故本題有兩種可能，需分類討論.

如圖4，由勾股定理得CD==2，因點D是斜邊AB的中點，所以AB=2CD=4.

如圖5，同理可得CE==5，所以AB=2CE=10.

綜上可知，原直角三角形紙片的斜邊長是10或4，故選C.

賞析 此題展現了一個操作性數學活動，對學生的逆向思維能力提出了較高的要求，本題需要學生熟練掌握并運用直角三角形的相關定理，進而通過“剪、拼”的操作活動畫出相應的直角三角形. 又因為直角梯形有兩個直角，這兩個直角都可以作為直角三角形的直角，故需運用數形結合和分類討論的數學思想進行解答，避免出現漏解.

3. 以圓為背景，考查數形結合、分類討論思想

例3 （2013年）如圖6，點P是等邊三角形ABC外接圓⊙O上的點，在以下判斷中，不正確的是（ ）

A. 當弦PB最長時，△APC是等腰三角形

B. 當△APC是等腰三角形時，PO⊥AC

C. 當PO⊥AC時，∠ACP=30°

D. 當∠ACP=30°時，△BPC是直角三角形

解析 本題需要綜合運用圓的相關知識逐項判斷各選項的正誤.

當弦PB最長時，PB為⊙O的直徑，則∠BAP=90°，再根據等邊三角形的性質及圓周角定理可得出AP=CP，則△APC是等腰三角形，選項A正確.

當△APC是等腰三角形時，分三種情況：當PA=PC時，點P在AC的垂直平分線上，所以PO⊥AC；當AP=AC或CP=CA時，點P與點B重合，所以PO⊥AC，選項B正確.

當PO⊥AC時，由垂徑定理得PO是AC的垂直平分線，當點P在B點的位置時，∠ACP=60°，選項C錯誤.

當∠ACP=30°時，∠BCP=90°或∠CBP=90°，△BPC是直角三角形，選項D正確. 故選C.

賞析 本題難度較大，是近年來安徽省中考數學選擇題壓軸題中，唯一與圓有關的開放性問題，不僅考查了等邊三角形的性質、三角形的外接圓與外心、圓周角定理、垂徑定理等核心知識，還考查了學生的動手操作探究能力及在開放的條件下分析問題、解決問題的能力. 而如何利用數形結合、分類討論思想解決問題是本題的關鍵. 另外，從四個選項的呈現形式來看，也是層層推進，環環相扣，命題專家可謂獨具匠心、別具一格.

4. 以正方形為背景，考查數形結合、分類討論思想

例4 （2014年）如圖7，正方形ABCD的對角線BD的長為2，若直線l滿足：①點D到直線l的距離為，②A，C兩點到直線l的距離相等，則符合題意的直線l的條數為（ ）

A. 1 B. 2 C. 3D. 4

解析 連接AC與BD交于點O，因為正方形ABCD的對角線BD的長為2，所以OD=. 由條件知直線l∥AC且點D到直線l的距離為，圖8為其一種情況. 同理，在點D的另一側還有一條直線滿足條件，故共有兩條直線滿足條件，選B.

賞析 本題主要考查了正方形、平行線、點到直線的距離等相關知識，本題難在分析過程中既要涉及邏輯推理，也需要一些合情猜想，點D到直線AC的距離小于是解決本題的關鍵. 作為選擇題的壓軸題，本題在效度上有點遺憾，很多學生只通過思考直線l與直線AC平行，且在點D的左右兩側各有一條，便確定了本題的正確答案. 試題在命制過程中，線段的長短也需精雕細琢，才可能實現試題預想的考查學生思維品質的價值.

5. 以函數為背景，考查數形結合思想

例5 （2015年）如圖9，一次函數y=x與二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像交于P，Q兩點，則函數y=ax2+（b-1）x+c的圖像可能是（ ）

解析 由一次函數y=x與二次函數y=ax2+bx+c圖像相交于P，Q兩點，可得出函數y=ax2+（b-1）x+c可以看作是由y-y得到的函數，故y與y，y的關系密切.

觀察圖像可知，y與y交于P，Q兩點，且它們的橫坐標為正數，說明當y=y時，得出的x值有兩個，且均為正數，等價于y=y-y=0時，方程有兩個不相等的正數解，即方程ax2+（b-1）x+c=0有兩個不相等的實數根，根據方程根與系數的關系得出函數y=ax2+（b-1）x+c的對稱軸x=->0，即可排除B，C，D.

此題綜合考查了方程的解，以及圖像與x軸交點橫坐標的對應關系.

賞析 本題考查函數圖像知識，一改往年分析幾何圖形中的動點問題判斷函數圖像的考法（分析實際問題或幾何圖形判斷函數圖像，根據函數圖像和幾何圖形判斷結論正誤），考查了二次函數的圖像，直線和拋物線的交點，交點坐標和方程的關系，以及方程和二次函數的關系等，綜合性強. 體現了對數形結合思想的考查. 預計2017年會考查幾何圖形中動點問題的函數圖像判斷.

對2017年中考數學復習的啟發

近幾年安徽中考數學的第10題主要考查學生的數形結合思想和分類討論思想，綜合性較強，對學生的知識掌握與應用都有很高的要求. 此類題型的特點是信息量大，數學思想豐富，需要學生具有扎實的基本功，選拔性和區分度明顯. 可以預見，2017年的中考數學第10題，仍然以考查學生的數形結合能力和分類討論思想為主，在今后的中考數學復習中，我們還需要注意以下幾點.

1. 重視基礎，回歸課本

近年來，安徽省中考數學第10題的側重點各有不同，但考查學生的數形結合能力、分類討論思想是主旋律. 這些試題雖然“高于教材”，但所用基礎知識原型都來源于課本，它們或是進行了適當的改編，或是幾個知識點的融合等，這些題的出現也警示我們，務必高度重視基礎教學，要適時地以課本為源泉，進行一題多解、一題多變的訓練，牢牢地把握住數學基本方法，做到舉一反三.

2. 狠抓重點，關注熱點

縱觀近幾年安徽中考第10題會發現，規律探究、動手操作、開放探索等題型是中考命題的熱點題型，這些題型有利于綜合考查學生的發散思維能力和探索創新能力. 所以，我們務必要在此類題型上多下功夫，建立數學模型，為解答做好充分準備，尤其是以幾何圖形中的動點為背景的函數圖像判斷.

安徽中考數學第10題的命制，開放性、靈活性、綜合性是一種趨勢，在2017年考試中，數形結合思想仍會是考查的重點. 結合近幾年中考數學命題趨勢和特征，筆者現提供兩題以餐讀者，希望能對2017年中考復習有所幫助.

題1 如圖10，在菱形ABCD中，∠BAD ∶ ∠ADC=1 ∶ 2，對角線AC=20 cm，點O沿A點以1 cm/s的速度運動到C點（不與點C重合），以點O為圓心的圓始終保持與菱形的兩邊相切，設⊙O的面積為S，則S與點O運動的時間t的函數圖像大致為（ ）

題2 如圖11，△ABC內接于⊙O，P是圓周上的一個動點，已知AC=BC，∠BAC=30°，則下列結論不正確的是（ ）

A. 當∠PAC=90° 時，四邊形PACB的面積最大

B. 當四邊形PACB的面積最大時，∠PAC=90°

C. 當∠PAC=60°時，四邊形PACB是等腰梯形

D. 當四邊形PACB為等腰梯形時，∠PAC=60°