芻議初中數學教學中應用意識的培養

丁錦榮

[摘 要] 數學應用是初中數學教學的重要內容，但在教學實踐中容易忽視. 建立數學應用的視角，并將其貫穿到數學知識建構與整個數學學習的過程中去，可以有效地引導學生形成應用意識，生成應用能力. 開發微型實踐活動，也可以促進應用意識的形成.

[關鍵詞] 初中數學；應用意識；應用意識培養

《義務教育數學課程標準》（2011版）明確提出了數學應用的概念，在當前的數學教學中也確實有著明顯的數學應用的痕跡存在，但是對于一個更為根本的問題，卻有意無意地給予了忽視，那就是學生應用意識的培養問題. 這個問題被忽視也是情有可原的：一方面，由于存在較大的應試壓力，數學學科又是應試壓力較為明顯的學科，在實際教學中更多的精力花在提高學生的解題能力上，因此對于真正的數學應用難以顧及，這種教師自身數學應用教學意識的薄弱，導致學生數學應用意識難以得到真正的培養；另一方面，數學意識本身就屬于“意識范疇”，而意識原本就是隱性的，這種隱性的因素對于學生顯性的解題能力的培養往往沒有明確的作用，因而也確實不容易引起教師和學生的注意. 這種對數學應用意識的淡化，使得數學應用其實難以真正成為學生數學學習中的直覺性行為，因此在初中數學教學中，確實存在著強化數學應用意識培養的必要. 本文試對數學應用意識的培養提幾點個人看法.

數學應用意識存在于數學知識

的形成過程當中

初中數學教學是一個什么樣的過程？不同的教學者可能有不同的認識，但如果從數學學科的本質來看（也就是不要太多地考慮應試，而事實上如果數學應用真正到位，應試的問題是可以迎刃而解的），數學學習的過程應當是這樣一個過程：首先，用數學知識去組織經驗材料；其次，用數學邏輯去理解經驗材料；最后，利用數學理論去理解經驗材料. 這三個過程其實都指向數學知識形成的過程，也指向學生構建數學知識的過程，當然也指向數學應用意識的培養. 具體來說包括這樣幾個層面的理解：

其一，在數學概念構建的過程中，如果能夠更多地提供知識的形成背景，那就可以培養學生的數學應用意識. 這個工作可以從初一時就做起，如初中數學首先要學的就是有理數，那么我們為什么要建立有理數這個概念呢？教師可以向學生介紹有理數的歷史，讓學生認識到其實是社會的發展與推動，使得數必須得到擴展，因而就必須在原來的正數基礎上引入負數，并建立范圍更廣的有理數概念. 其實，在初中數學學習中，對于數的認識必須強調數學應用，因為類似于向學生介紹數的發展史的過程，可以讓學生知道數及數學的發展往往都來自某種應用的需要，反過來，所學的數學知識也總能解決某些應用需要. 這種建立在直接的數學與應用兩者聯系基礎上的教學，顯然可以促進學生數學應用意識的形成.

其二，數學知識的形成過程原本就是一個系統化的過程，基于系統論的認識，數學應用在其中也有著重要的體現. 初中數學內容中，有一部分知識是無法在真正的現實情境中形成的，需要對實際情形作一些理想化的處理，使得學生的數學思維過程更加清晰，但這并不意味著數學應用的淡化，相反，在此過程中強化數學應用意識可以使學生更好地形成數學學習的動機，而這可以視作是數學應用意識的隱性培養方式. 比如在“多項式與多項式相乘”的教學中，教師可以給學生提供這樣一個情境：某校需要擴建操場，已知操場原來的長和寬分別是a和b，現在要使其長和寬分別增加m和n，那后來的面積是多少？這個問題來源于實際，但又不完全受實際中一些無關條件的約束，因此成為一個源于實際的清晰的數學問題. 學生很直覺地通過畫圖表示問題中的數據，也很容易就列出了（a+m）（b+n）的表達式，在此基礎上教師可以追問，還有其他的表達形式嗎？于是學生繼續鉆研，結果想到了ab+an+bm+mn的表達形式. 于是下面的教學就水到渠成了.

教學中筆者常常注意到這樣一個細節，那就是在這兩個結果得出之后，大部分學生還沒有意識到這兩個表達式之間的關系，而在筆者的進一步提醒之后，他們才有一種恍然大悟的感覺：咦？原來兩者之間竟然是相等的關系??！這樣的感覺在此前常常被筆者理解為學生的反應速度不夠快. 但在數學應用的視角之下，筆者發現其實這是一個很好的解釋機會，解釋什么？解釋學生的數學應用意識培養問題. 筆者跟學生強調：離開了這個具體的例子，這個多項式相乘的關系還成立嗎？這個關系是怎樣被我們發現的？這告訴了我們什么？

對于這三個問題的回答，筆者尤其強調后兩個問題之間的聯系，必須引導學生認識到一些數學規律的發現，可以通過具體情境中對問題的分析獲得，這就是一種數學應用的直接體現.

數學應用意識的培養應當貫穿

數學學習過程

數學應用不應當成為教學的點綴，數學應用應當貫穿整個初中數學學習的過程，這也是筆者在教學中形成的一個認識. 筆者注意到，真正在數學應用中生成數學認識的過程，學生非常喜歡. 而一段時間后的考試評價也常?？梢园l現一種對應關系，那就是通過數學應用得到的數學知識，學生的印象總是相對更為深刻，應用起來也更得心應手. 當然，這里也有部分學生的記憶效果與應用能力表現一般，繼續調查之后發現他們對當時形成這一知識時的應用過程已經沒有印象了. 這或許可以從反面證實數學應用之于學生建構知識的價值.

那么，數學應用意識的培養如何有效地貫穿學生的整個數學學習過程呢？筆者以為可以從如下幾個方面作出努力.

其一，數學應用意識應當成為教學目標的組成部分. 在通常的教學設計中，數學應用容易缺席，或者即使有也只是紙面點綴，難以成為具體的教學行為. 但如果真正建立這個意識，會發現其可以成為數學教學的一個脈絡. 分析初中數學教材可以發現，從有理數到整式，從方程到幾何圖形，從相交線、平行線到平面直角坐標系，從二次函數到圓再到概率初步，都有豐富的數學應用的知識，因此從數學知識構建的本身來看，數學應用意識的培養應當成為目標組成部分.

其二，數學應用意識的培養應當出現在數學知識構建的情境當中. 進入課程改革以來，特別強調教學情境的作用，這說明現在的教學更多的重視學生的主動建構活動，而學生的主動建構活動離不開情境中具體問題的驅動，這種具體問題往往就來自于數學應用，如學習圓的性質時，通?？梢韵驅W生提供生活中的一些圓，如摩天輪、自行車的輪圈、呼啦圈、天上的明月等，基于這些直接的認識，可以提出一個數學應用性問題：如何畫出一個圓？這個問題的解決顯然不是讓學生思考到一種方法即可，而是讓學生想出多種方法來畫圓. 這個要求的提出，可以讓學生在思維中構建多種畫圓的辦法，而在對這些方法進行分析與綜合的過程中，學生就可以初步意識到不同方法所畫出的圓有著共同的特征，如圓上各點到圓心的距離相等，反之亦成立；又如等長的弦對應的弧長亦相等等. 此時這些等量關系的成立，往往不是嚴密的數學證明結果，而是學生的直覺. 要知道，這種直覺一旦被證實之后，學生會無比喜悅，這種學習熱情可以驅動學生在很長一段時間里對數學學習感興趣. 而回過頭來看，這不正是數學應用的效果嗎？

其三，數學應用應當出現在數學評價的過程中. 數學評價對學生的影響極大，在數學評價中滲透數學應用，對于學生應用意識的培養也有明顯的作用. 經過實踐，筆者總結出了數學評價促進應用意識培養的兩個基本途徑：一種是日常教學中的評價，這有點類似于上面提到的數學關系出來之后，引導學生進行反思的相關問題，即讓學生明確意識到一些數學知識的形成是來源于數學應用的；另一種就是考試評價中的應用意識培養，也就是在試卷上要多出現應用型的試題，且其答題不能局限于列式求解，而應當讓學生更多地通過對應用的分析去尋找解題的方法，然后選擇恰當的數學工具解題. 尤其在階段性的考試中，讓學生從更廣泛的知識中去尋找相應的工具分析實際問題，更有利于培養學生的數學應用意識，而有了這種意識之后再去解題，對提高解題能力也極有幫助.

通過數學實踐活動來培養學生

的數學應用意識

數學實踐活動是一種重要的學習方式，數學實踐本身就有濃郁的應用意識. 初中數學學習過程中，實踐活動往往并不占主流，但如果結合某一個具體的知識，利用幾個課時的時間去完成一個實踐活動，那對于激發學生的學習興趣、提高學生的數學素養來說，意義不言而喻.

而尋找數學實踐活動中應用意識的培養則幾乎是一件觸手可及的事情. 簡單如圓的學習之前的旋轉實踐活動，就可以給出一課的一半左右的時間，讓學生自己去摸索圖形在旋轉過程中表現出來的性質，這可為圓的知識建構奠定基礎. 筆者稱此為“微型實踐活動”，占時不多，效果不錯，對于培養學生的應用意識來說，也很有作用.