方案設(shè)計(jì)與決策型問(wèn)題有效解決策略探微

馬志強(qiáng)

[摘 要] 方案設(shè)計(jì)與決策型問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的重要題型，也是教學(xué)的重難點(diǎn)，更是中考的重要考點(diǎn). 此類(lèi)題主要與方程、不等式、函數(shù)等教學(xué)內(nèi)容有一定的聯(lián)系，在解決過(guò)程中往往需要用到分類(lèi)討論、建模等數(shù)學(xué)思想，難度大，綜合性強(qiáng)，題型靈活多樣，因此，認(rèn)真探究方案設(shè)計(jì)與決策型問(wèn)題的有效解決策略，有著重要的意義.

[關(guān)鍵詞] 方案設(shè)計(jì)；思想方法；方程；函數(shù)；模型

方案設(shè)計(jì)與決策型問(wèn)題是探究最佳解決方案的一種題型，這種題型主要應(yīng)用于工程問(wèn)題中的調(diào)配、運(yùn)輸成本最大（小）問(wèn)題、商品銷(xiāo)售中的利潤(rùn)問(wèn)題等，其最大的特點(diǎn)是數(shù)量較為復(fù)雜，題型較為靈活，綜合性較強(qiáng)，難度較大，是中考的熱點(diǎn)問(wèn)題. 本文結(jié)合近幾年中考出現(xiàn)的具體題目，通過(guò)詳細(xì)分類(lèi)對(duì)之進(jìn)行深入探究，力求找到解決此類(lèi)問(wèn)題的具體策略，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率.

利用不等式（組）進(jìn)行方案設(shè)

計(jì)決策

不等式（組）是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，利用不等式（組）進(jìn)行方案設(shè)計(jì)決策是一種重要的解決方法，能夠?yàn)閷W(xué)生提供解決此類(lèi)問(wèn)題的思路與方法.

例1 江蘇阜寧地震發(fā)生后，全國(guó)人民發(fā)揚(yáng)“一方有難，八方支援”的精神，掀起了抗震救災(zāi)的熱潮. 某地民政部門(mén)經(jīng)過(guò)一天的努力，募集到了30噸瓶裝飲用水和13噸方便面等食物. 現(xiàn)打算將其運(yùn)輸?shù)綖?zāi)區(qū)，需要租用A，B兩種型號(hào)的貨車(chē)進(jìn)行運(yùn)載. A型貨車(chē)每輛可運(yùn)載5噸水和1噸食物，B型貨車(chē)每輛可運(yùn)載3噸水和2噸食物，如果租用的貨車(chē)共有9輛，并且要求一次性將捐助物資運(yùn)完，應(yīng)如何選擇運(yùn)輸方案？

分析 通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，運(yùn)輸方案的選擇與車(chē)的數(shù)量有關(guān)，這就需要設(shè)一種貨車(chē)的數(shù)量，然后利用所設(shè)的未知數(shù)表示出所有的未知量，并根據(jù)題目要求建立適當(dāng)?shù)牟坏仁浇M進(jìn)行解決. 設(shè)租A型貨車(chē)x輛，則租B型貨車(chē)（9-x）輛. 根據(jù)這些捐助物資需要一次性運(yùn)完可得一元一次不等式組5x+3（9-x）≥30，x+2（9-x）≥13， 解得x≥，x≤5， 所以不等式組的解集為≤x≤5. 因?yàn)閤取整數(shù)，所以x可取2，3，4，5. 從而可得到運(yùn)輸方案共有四種：①租用A型貨車(chē)2輛、B型貨車(chē)7輛；②租用A型貨車(chē)3輛、B型貨車(chē)6輛；③租用A型貨車(chē)4輛、B型貨車(chē)5輛；④租用A型貨車(chē)5輛、B型貨車(chē)4輛.

通過(guò)一元一次不等式組可以進(jìn)行方案的設(shè)計(jì)和優(yōu)化并進(jìn)行科學(xué)合理的決策，這是解決此種題型最常用的方法之一. 只要學(xué)生能夠熟練把握其中的各個(gè)數(shù)量，運(yùn)用不等式建立不等關(guān)系，就能迅速解決問(wèn)題. 因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師要重視這種題型的教學(xué)，并進(jìn)行科學(xué)的方法指導(dǎo).

利用方程進(jìn)行方案設(shè)計(jì)決策

方程是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，應(yīng)用也較為廣泛，在應(yīng)用方程解決實(shí)際問(wèn)題中，大多是利用等量關(guān)系求出具體的數(shù)值從而解決問(wèn)題，而利用方程進(jìn)行方案設(shè)計(jì)與決策的題型則相對(duì)較少，這種類(lèi)型的題目往往需要先進(jìn)行簡(jiǎn)單分類(lèi)，采用分類(lèi)討論與建模思想解決問(wèn)題，運(yùn)算量不大，運(yùn)算也相對(duì)簡(jiǎn)單，大都需要與實(shí)際相聯(lián)系，才能順利解決問(wèn)題.

例2 里約奧運(yùn)會(huì)期間，一球迷俱樂(lè)部150人打算租A，B，C三種型號(hào)的車(chē)去看籃球決賽，這三種型號(hào)的車(chē)的載客量不同，A，B，C三種型號(hào)的車(chē)的載客量分別是50人、30人、10人，并且要求每輛車(chē)必須滿(mǎn)員，A種型號(hào)的車(chē)最多租2輛，試求一次性載完這150名球迷的租車(chē)方案.

分析 通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，要想解決這一問(wèn)題，需要先確定A型車(chē)的數(shù)量，然后設(shè)租用B或C型車(chē)的數(shù)量，接著用所設(shè)未知數(shù)表示其他未知量，建立方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后通過(guò)討論解決問(wèn)題. 由于A型車(chē)最多租2輛，所以可設(shè)租B型車(chē)x輛，租C型車(chē)y輛，然后分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)租A型車(chē)1輛時(shí)，根據(jù)題意，可列出方程30x+10y+50×1=150，化簡(jiǎn)得3x+y=10，因?yàn)閤，y都為整數(shù)，所以滿(mǎn)足關(guān)系式的x，y有x=1，y=7或x=2，y=4或x=3，y=1. ②當(dāng)租A型車(chē)2輛時(shí)，根據(jù)題意，可列出方程30x+10y+50×2=150，化簡(jiǎn)得3x+y=5，因?yàn)閤，y都為整數(shù)，所以滿(mǎn)足關(guān)系式的x，y只有x=1，y=2. 綜上可知，租車(chē)方案共有以下四種：方案一，租A型車(chē)1輛、B型車(chē)1輛、C型車(chē)7輛；方案二，租A型車(chē)1輛、B型車(chē)2輛、C型車(chē)4輛；方案三，租A型車(chē)1輛、B型車(chē)3輛、C型車(chē)1輛；方案四，租A型車(chē)2輛、B型車(chē)1輛、C型車(chē)2輛.

由此可見(jiàn)，利用方程結(jié)合實(shí)際情況也可以有效解決方案設(shè)計(jì)與決策型問(wèn)題，但這種解決方案與分類(lèi)討論數(shù)學(xué)思想有著密切的聯(lián)系，需要建立在學(xué)生對(duì)分類(lèi)討論思想方法熟練掌握和運(yùn)用的基礎(chǔ)之上.

利用函數(shù)進(jìn)行方案設(shè)計(jì)決策

1. 利用一次函數(shù)進(jìn)行方案設(shè)計(jì)決策

函數(shù)關(guān)系是一種重要的數(shù)量關(guān)系，利用函數(shù)關(guān)系通過(guò)計(jì)算得出的結(jié)果作為決策的依據(jù)是中考試題中經(jīng)常出現(xiàn)的題型，這種題型往往不會(huì)只是單一的函數(shù)問(wèn)題，往往與不等式結(jié)合在一起，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和不等式的范圍，通過(guò)計(jì)算得出最省的方案，并以之作為決策的重要依據(jù).

例3 為了改善西部地區(qū)的教育面貌，東部城市A市打算支援西部400臺(tái)電腦，東部城市B市打算支援西部1000臺(tái)電腦. 為了資源均衡、節(jié)約費(fèi)用，現(xiàn)打算從東部運(yùn)800臺(tái)給C市，運(yùn)600臺(tái)給D市. 已知從A市運(yùn)往C市、D市的運(yùn)費(fèi)分別是3元/臺(tái)和5元/臺(tái)，從B市運(yùn)往C市、D市的運(yùn)費(fèi)分別是4元/臺(tái)和8元/臺(tái). 如何調(diào)運(yùn)才能使費(fèi)用最省？最省的方案是什么？

分析 通過(guò)審題可以發(fā)現(xiàn)，運(yùn)費(fèi)與所運(yùn)的臺(tái)數(shù)有著密不可分的聯(lián)系，因此可以設(shè)從A市運(yùn)往C市x臺(tái)，總費(fèi)用為y元，則從A市運(yùn)往D市（400-x）臺(tái)，從B市運(yùn)往C市（800-x）臺(tái)，從B市運(yùn)往D市（200+x）臺(tái). 根據(jù)題意得y=3x+5（400-x）+4（800-x）+8（200+x），化簡(jiǎn)得y=2x+6800. 因?yàn)?>0，所以y隨x的增大而增大，當(dāng)x=0時(shí)，調(diào)運(yùn)費(fèi)用最低，為6800元，此時(shí)的調(diào)運(yùn)方案為從A市運(yùn)往C市0臺(tái)，從A市運(yùn)往D市400臺(tái)，從B市運(yùn)往C市800臺(tái)，從B市運(yùn)往D市200臺(tái).

從以上分析可以看出，利用一次函數(shù)進(jìn)行方案設(shè)計(jì)與決策比利用不等式或不等式組解決問(wèn)題更為簡(jiǎn)單，但需要對(duì)一次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)尤其是函數(shù)的性質(zhì)掌握較好.

2. 利用二次函數(shù)進(jìn)行方案設(shè)計(jì)決策

利用二次函數(shù)進(jìn)行方案設(shè)計(jì)決策也是中考常見(jiàn)的題型，其大多與商品交易中的銷(xiāo)售利潤(rùn)有關(guān)，數(shù)量復(fù)雜、綜合性強(qiáng)，是學(xué)生容易失分的題目，這種題型有時(shí)與方程、不等式結(jié)合在一起，有時(shí)獨(dú)立出現(xiàn)，通過(guò)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，將所列的函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，從而解決問(wèn)題.

例4 泰州市國(guó)美商城將進(jìn)價(jià)為2000元的某品牌洗衣機(jī)以2400元售出時(shí)，每天可以賣(mài)出8臺(tái)，為了增加利潤(rùn)，商城決定在“五一”期間搞一次降價(jià)促銷(xiāo)活動(dòng). 通過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，洗衣機(jī)的售價(jià)每降低50元，平均每天就會(huì)多售出4臺(tái). 試問(wèn)這種洗衣機(jī)每臺(tái)降價(jià)多少元時(shí)，商城才能獲得最大的銷(xiāo)售利潤(rùn)，最大銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少.

分析 要解決這一問(wèn)題，必須搞清降價(jià)與銷(xiāo)售利潤(rùn)之間的關(guān)系. 但降價(jià)和利潤(rùn)都是未知量，這就需要學(xué)生先設(shè)元，然后根據(jù)題意得出兩者之間的關(guān)系. 設(shè)每臺(tái)洗衣機(jī)降價(jià)x元，商場(chǎng)每天銷(xiāo)售這種洗衣機(jī)的利潤(rùn)是y元，由題意可得y=（2400-2000-x）8+x，化簡(jiǎn)得y=-x2+24x+3200. 要想求出商場(chǎng)每天銷(xiāo)售這種洗衣機(jī)的最高利潤(rùn)，還需將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，并利用頂點(diǎn)式坐標(biāo)公式求出最值. 因?yàn)閥=-x2+24x+3200=-（x-150）2+5000，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)x=150時(shí)，商場(chǎng)每天銷(xiāo)售這種洗衣機(jī)的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是5000元.

通過(guò)以上分析可以看出，利用二次函數(shù)解決方案設(shè)計(jì)與決策問(wèn)題可以實(shí)現(xiàn)化繁為簡(jiǎn)、化難為易，但需要注意的是，在利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值時(shí)，一定要注意自變量的取值范圍，只有頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)在自變量的取值范圍之內(nèi)才能準(zhǔn)確求解.

當(dāng)然，方案設(shè)計(jì)與決策型問(wèn)題在實(shí)際教學(xué)中并不是單一運(yùn)用不等式、方程、函數(shù)就可以解決，大多是綜合以上兩種甚至三種方法，這就需要學(xué)生熟練掌握各種題型并靈活運(yùn)用，不斷提高自身分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

總之，方案設(shè)計(jì)與決策型問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的重要問(wèn)題，也是學(xué)生感覺(jué)較難的題型，因此，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，教師要對(duì)學(xué)生進(jìn)行解題方法的指導(dǎo)，積極探求有效解決此類(lèi)題型的有效策略，不斷提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的高效化.