概念教學:積跬步以至千里*

江蘇省如皋市教師發展中心　王興富江蘇省如皋市石莊鎮初級中學　印冬建

概念教學:積跬步以至千里*

概念是反映對象的特有屬性的思維形式.它源自人們的實踐,是人們從對象的許多屬性中,抽象出來的特有屬性.由此可見,概念的獲得應是一項系統工程.在數學教學中,任何一個概念的教學都應該遵循概念生成的基本規律進行,我們應在實例剖析的過程中抽象概念,在辨析應用中關聯概念,使之網絡化.而當一些高位概念出現時,要迅速將一些簡單的低位概念融入進去,使之被兼容合并成為新概念(或知識)的一部分.現結合初中數學幾個常見代數概念的教學談談筆者對此的思考,希望能給您帶來一些啟示.

一、概念首認知:剖析實例,抽象本質

概念來自于實踐,概念教學自然也就離不開實踐了.所以,概念教學應通過緊貼學生生活的具體事例來引入概念,適時歸納、抽象、概括,最終以規范的數學語言呈現出來.在人教版初中數學教材中,代數概念的教學一直與生活實例緊密聯系在一起.幾乎每一次概念教學,都會出現一個或多個實際問題構成的數學情境,這些數學概念巧妙地"隱藏"其中.在對實例分析的過程中,這些概念自覺或不自覺地會顯露出來,成為課堂教學的主角.

案例1"1.2.4絕對值"教學片斷.

問題:兩輛汽車從同一處O出發,分別向東、西方向行駛了10km,到達A、B兩處.它們的行駛路線相同嗎?它們行駛的路程相等嗎?

教師呈現問題后短暫停頓,學生讀題并思考.

教師:請大家借助數軸來描述這一問題情境.

學生作數軸,2分鐘后,教師投影學生作出的圖1(不含圖中的箭頭).

教師:兩輛汽車行駛的路線相同嗎?

學生(齊):不同!

教師:為什么?

學生1:它們行駛的方向不同.

圖1

教師:那遠近相同嗎?

學生2:相同.

教師:行駛了多遠?

學生3:10km.

教師:從哪兒到哪兒是10km?

學生4:點A到O.

教師:還有嗎?

學生5:點B到O.

教師:很好!這兩個點到原點O的距離都是10嗎?

學生(齊):是的!

教師:這個10和運動的方向有關嗎?

學生(齊):沒有!

教師:那與什么有關呢?

學生6:終點與原點的距離.

教師:是的!生活中好些問題落到數軸模型上時,只需要看表示某個數的點與原點的距離.這個"距離"就是我們今天要學習的"絕對值".

投影絕對值的概念及其表示方法.

教師:根據這里給出的概念,你能結合圖1說說|10|和|-10|的含義嗎?

學生7:|10|是數軸上表示10的點到原點的距離.

學生8:|-10|是數軸上表示-10的點到原點的距離.

教師:非常棒!根據剛才的分析,|10|和|-10|是多少呢?

學生9:10.

……

案例分析:在人教版七年級上冊《教師教學用書》中,對數軸、相反數、絕對值等概念提出了"注意從實際問題引入"的教學要求.案例中的"汽車行駛問題",就是教材根據這一教學需求而設計的:要刻畫汽車的運動狀態,不僅需要考慮汽車的運動距離,還應考慮汽車的運動方向,這與學生的生活經驗是一致的.教師通過遞進追問,引導學生充分剖析教材所給實例,抓住汽車運動的方向和運動的路程逐一解讀,最終拋開問題情境,以"生活中好些問題落到數軸模型上時,只需看點與原點的距離"切入主題,"這個'距離'就是我們今天要學習的'絕對值'"一語揭題.接下來,概念的抽象和應用顯得非常自然.在人教版教材中,絕對值是學生初中階段遇到的第一個較難的概念,需要從數、形兩個角度加以解讀才能真正理清其內涵.所以,教學中,如果從一個實例還不足以清晰地抽象出概念,那么我們還可以增加一至兩個實例,給學生以更為充分的感知,從而掃清概念生成的障礙.

二、概念再解讀:辨析應用,關聯入網

為了讓概念很好地融入到學生的知識結構中,辨析與應用就顯得非常重要了.數學概念是數學基礎知識的重要組成部分,它是學生學習新的數學知識和解決數學問題的重要工具.因此,學習數學概念的過程也是概念發揮自身價值的過程.當學生獲得數學概念后,我們應編排適量的"隱藏"概念模型的數學問題,讓學生通過對這些"源于概念而又高于概念"的數學問題的解決,實現概念間的相互關聯,促進其早日融入到學生的概念網絡中去.

案例2"反比例函數"教學片斷

在經歷了"實例分析,本質抽象,歸納成型"的歷程后,教師引導學生歸納出反比例函數的概念并投影.

例1下列哪些關系式中的y是x的反比例函數?

教師:為什么?

學生2:與概念一致!

教師:哪里一致了?

學生3:形式一致.

教師:具體點!

教師:很好,只要所給關系式變形后與概念中的基本形式一致,y就是x的反比例函數.那么,有哪些關系式可以轉化為基本形式呢?

學生5:xy=k.

教師:對這里的k有要求嗎?

學生6:k為常數,且k≠0.

教師:看來這是個不能丟的前置條件.對此,你們有經驗嗎?

學生(齊):有!

教師:什么地方出現過?

學生7:和k一樣,一次函數y=kx+b中的k,二次函數y=ax2+bx+c中的a,都應是不為0的常數.

教師:記得真清楚!函數看似形式不同,其內在還是有很多相同的地方的.接下來,我們再來看這道例題,看看與前面的函數有沒有關聯?

例2已知y是x的反比例函數,并且當x=2時,y=6.求y關于x的函數解析式.

學生自主解答,3分鐘后,全班交流.

教師:"y是x的反比例函數"說明y與x應該滿足怎樣的關系式?學生8:y=(k為常數,且k≠0).教師:好的!得到基本關系式后,該如何求解呢?學生9:將"x=2,y=6"直接代入,就可以求出k的值.教師:說得真好!這是什么方法?

學生10:待定系數法,求一次函數和二次函數解析式時就用過.

教師:看來待定系數法在反比例函數中也是適用的哦!接下來我們來一起欣賞一位同學給出的"范例".(投影,如圖2)

圖2

案例分析:與案例1一樣,反比例函數的概念同樣來自于實例的抽象歸納.與前面學習的兩個函數概念一樣,基本形式是其概念的"內核",是學生解決數學問題的工具.例1中,教師首先給出了幾個y與x的關系式,讓學生對其辨析,從中找出"y是x的反比例函數"的關系式.通過教師的問題引導,學生不僅明晰了概念本質,還及時喚醒了一次函數、二次函數概念辨析的經驗,為下一步"待定系數法"的解題應用埋下伏筆.接下來,例2的解答與交流,將待定系數法的適用范圍由兩種函數拓展到三種函數,使新學概念在原有知識體系中找到了"生長點".顯然,學生獲得反比例函數的概念,僅是學習的起點,當這一概念與前兩種函數知識鏈接在一起時,學生獲得的知識就不再"單一"了.

三、概念終定位:去繁歸簡,融入淡出

概念不是永恒不變的,隨著知識的集聚與能力的提升,概念在人的認知結構中的地位和作用也會發生相應的變化.在學生獲得的眾多數學概念中,有些是非常簡單的,《義務教育數學課程標準(2011年版)》(下稱《課標(2011年版)》)提出了較低的能級要求,甚至沒有提出具體的要求.這些概念往往屬于學生知識獲得過程中的"中間概念",是高一級概念生成與應用的"跳板",當學生獲得高一級概念時,這些概念將會被逐步兼容合并,其地位和作用將會被新的概念替代.

案例3一元一次方程的認知歷程.

1.初識別

人教版七年級上學期"3.1從算式到方程"中,以一個實際問題引入,讓學生初步感知了"從算式到方程是數學的進步".接下來,給出三個實際問題要求學生設未知數并列方程,這里列出的就是三個一元一次方程.據此,在充分剖析所列方程特點后,將一元一次方程帶進學生視野.接下來,將重點探究其解法和應用.

2.再認知

人教版七年級下學期"8.2消元"中,明確了"消去'二元'中的'一元',方程組就轉化為了一元一次方程".解法探究過程中,教材安排學生進行了消元嘗試,向學生明確消元的一般步驟,同時也將消元的成果定格,使一元一次方程再度回到學生的眼前.

3.三明晰

人教版八年級上學期"15.3分式方程"中,再次出現"一元一次方程".通過去分母,可以將分式方程轉化為學生已經熟悉的一元一次方程.所以,解分式方程的過程中,一元一次方程是一個繞不開的"坎",學生仍然要讓七年級上學期獲得的概念及解法再度"回歸".

4.終定格

人教版八年級下學期"19.2.3一次函數與方程、不等式"中,將以x為未知數的一元一次方程定格為"ax+b=0 (a≠0)",這是符號化的一元一次方程.在學生經歷多次概念及解法的應用后,這里通過"符號"將概念進一步抽象,實現了認知的再提升,為以符號的形式給出一元二次方程的概念提前鋪墊.

5.漸淡出

人教版九年級上學期"21.2一元二次方程的解法"中,配方和因式分解的目標都是將一元二次方程轉化為兩個一元一次方程.與分式方程一樣,一元一次方程是一元二次方程解法分析的起點和歸屬,任何一個有解的一元二次方程都可以轉化為兩個一元一次方程.至此,一元一次方程的概念和解法已經徹底融入學生已有的知識網絡之中,被其他復雜的方程(組)所合并兼容.

案例分析:任何一個數學概念的獲得,都會經歷"陌生-熟悉-淡'忘'"的過程.作為最基礎的方程,一元一次方程的概念學習也不例外.《課標(2011年版)》中并未對其概念教學提出明確要求.因此,我們一般認為它是一個"中間概念",主要服務于其他概念的學習.從上面的分析看,教材正是按照這樣的思路設計的.初中階段的六個學期教學,每一個學期都會有它的"身影",概念教學要求不高,"了解"即可,但又不可缺失,每一次出現都在學生獲得新知的節點上,過了這一節點,它又默默"潛入"到學生解決問題的過程之中,不顯山不露水.最終,隨著學生對方程認知的不斷深入,高位的方程概念將會把一元一次方程的概念兼容,使之逐漸淡出學生的視野.

概念的形成是一個復雜的過程,影響學生獲得概念的因素有很多,知識能力的基礎、引入情境的創設、辨析應用的安排等都會對概念的"網絡化"產生"正反雙向"的干擾.所以,身在一線的我們應關注概念自身的特點,找準概念引入的"起點"、抽象的"難點"和應用的"拐點",將概念教學置于學生數學學習的全程之中,進行"長程教學",讓學生經歷完整的概念學習及應用過程,在抽象歸納中感知概念的本質---獲得概念,在辨析固化中體驗概念的價值---用好概念,在兼容合并中實現概念的"升華"---淡化概念.這就是我們追求的概念教學,學生以"厚積"實現"薄發",其知識不斷聚集,能力同步形成,個人的數學素養同樣在不斷提升.

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準(2011年版)[M].北京:北京師范大學出版社,2012.

2.劉衍鋒.淺析一元二次方程的解法及應用[J].中學數學(下),2012(12).

3.朱映紅.情境創設再認識:值得重視的"超經驗" ---李庾南老師"二元一次方程組"起始課賞析[J].中學數學(下),2015(8).

4.孫道斌.在體驗、對比、交流中建構反比例函數概念---"§5.1反比例函數"課堂實錄與點評[J].中國數學教育(初中版),2014(7).

5.林群.義務教育教科書.數學(七年級上冊)[M].北京:人民教育出版社,2012.

6.林群.義務教育教科書教師教學用書.數學(七年級上冊)[M].北京:人民教育出版社,2012.

*本文為江蘇省教育科學"十二五"規劃立項課題《農村初中復式分組教學的實踐與研究》(E-c/2015/24)的研究成果.