"二次根式的運算(第1課時)"課例分析

浙江省象山縣象山港書院　周林祥

"二次根式的運算(第1課時)"課例分析

一、背景介紹

《義務教育數學課程標準(2011年版)》(以下簡稱"課標(2011年版)")倡導過程教育以全面發揮數學的育人功能.但在以浙教版義務教育教科書數學八年級下冊第一章第3節"二次根式的運算(第1課時)"為載體的"多人同課異構"式的教研活動中發現,課堂教學普遍存在認知過程短暫(特別是內化過程缺失)的問題,導致學生失去了發展能力與個性及感悟其蘊含的數學思想方法的機會.網上查閱同類課例發現也有類似的現象.基于過程教育的"二次根式的運算(第1課時)"怎樣教學?筆者在重復式觀課與反思的基礎上,將形成的教學經驗進行再實踐,得到了同仁的認可.現將其整理出來,以饗讀者.

二、教學實錄

環節1:經歷回顧并提出問題的過程---明確研究的問題

師:我們知道,二次根式與分式一樣,都是特殊的代數式,因此,二次根式的研究內容和研究方法可以與分式類比.分式研究了哪些內容?

生1:研究了分式的概念、分式的性質、分式的運算、分式的應用.

師:好的.我們已知道二次根式的概念和二次根式的性質,大家認為還應該研究什么?

生2:還應該研究二次根式的運算和應用.

師:好的.二次根式怎樣運算?這節課先研究二次根式的乘除運算.(揭示課題)

環節2:探索二次根式的乘除運算---生成二次根式乘除運算法則

師:現在請大家計算下列各題.

(約2分鐘后)

師:誰來展示(1)的計算過程?

師:好的.生3是將小數化為分數后用二次根式的性質進行計算;生4是二次根式性質的逆用.誰來展示(2)的計算過程?

師:好的.生5是將小數化為分數后用二次根式的性質進行計算;生6是二次根式性質的逆用.計算上述各題,用二次根式的性質簡單還是逆用二次根式的性質簡單?

生7:逆用二次根式的性質簡單.

環節3:參與嘗試二次根式運算的活動---合作計算有代表性的算式

師:現在請大家計算下列各題.

(待學生嘗試計算后)

師:誰來展示(1)的計算過程?

師:好的.誰來展示(2)的計算過程?

師:好的.誰來展示(3)的計算過程?

師:好的.這兩種計算過程,盡管采用的方法不同,但策略相同---將其分母有理化.誰來展示(4)的計算過程?

師:好的.一般地,二次根式乘除運算要經歷哪幾個步驟?

生14:先用二次根式的乘除法則,再化簡二次根式.

師:不錯.一般地,二次根式乘除運算要經歷以下幾個步驟:

(1)運用法則,將問題轉化為根號內的實數運算;

(2)完成根號內相乘、相除(約分)等運算;

(3)化簡二次根式.

師:這是一般方法,有時也可靈活處理(例如(3)).二次根式運算的結果,如果能夠化簡,那么應把它化簡為最簡二次根式.下面我們一起來解決下列問題.

圖1

師:要求這個路標的面積,只要知道什么?

生15:只要知道三角形的高.

師:好的.如圖1,作AD⊥BC于點D.要求AD,只要知道什么?

生16:只要知道BD.若知道BD,就能用勾股定理求AD了.

師:好的.BD能求嗎?

師:好的.誰來陳述解題過程?

師:好的.如果題目沒有預定精確度要求,那么結果可以用最簡二次根式表示.解決這個問題經歷了哪幾個步驟?

生19:先結合圖形分析求解思路,再書寫求解過程.

師:不錯.一般地,用代數式解決實際問題的基本步驟是"根據題意畫出圖形→在圖形上標注已知條件→結合圖形分析求解思路→用代數式表示未知量→通過有關運算求出未知量".表示與運算是用代數式解決實際問題的思想方法,在表示的過程中經常會用到勾股定理、面積關系等.

(接下來,教師要求學生完成課本中的練習題,并請幾個同學在黑板上演示.待學生完成任務后,教師組織學生進行交互反饋與評價)

環節4:參與回顧與思考的活動---合作進行反思與總結

首先,教師出示下列"問題清單",并要求學生圍繞"問題清單"進行回顧與思考.

(1)本節課研究了哪些內容?我們是怎樣研究的?

(2)一般地,二次根式乘除運算要經歷哪幾個步驟?

(3)用二次根式及其運算解決實際問題要經歷哪幾個步驟?

(4)用二次根式或含二次根式的代數式表示未知量有哪些經驗?

其次,教師組織學生合作交流,同時教師邊傾聽、邊評價.

最后,在此基礎上,教師總結本節課的研究內容與研究方法.

三、教學分析

二次根式的乘除運算法則是二次根式性質的逆用,二次根式乘除運算的方法是需要學生掌握的技術性知識,其具體到抽象的研究方法具有普適性.生成二次根式的乘除運算法則的過程和用二次根式的乘除運算法則進行二次根式乘除運算的過程,有能力發展點、個性和創新精神培養點,其蘊含的歸納思想、化歸思想等及用二次根式及其運算解決實際問題的過程和蘊含的數形結合思想、方程思想等,對發展學生的智力有積極的影響."課標(2011年版)"(課程內容)對二次根式運算的教學要求是"了解二次根式(根號下僅限于數)加、減、乘、除運算法則,會用它們進行有關的簡單四則運算".教材安排例2的意圖是進一步讓學生體會代數中的表示與運算的思想方法.目前在這節課的教學中普遍存在生成算法的認知過程短暫和用算法進行運算之后的算理說明過程缺失的問題.本節課根據"課標(2011年版)" (課程內容)對涉及內容的教學要求和教材的教學意圖,以有代表性的"題材"為載體,從學生已有的知識與經驗出發,運用從具體到抽象的思維策略和教師價值引導與學生自主建構相結合的適度開放的方式,引導學生經歷了完整的認知過程.在"回顧并提出問題"的教學中,既有回顧分式研究內容的過程,以通過類比明確二次根式的研究內容,又有類比基礎上提出問題的過程,以揭示課題和感悟研究二次根式運算的必要性.在"生成法則"的教學中,既有"計算、比較、歸納"的過程,以生成二次根式乘除運算的法則,又有生成法則之后的教師總結性講解,以明確二次根式乘除運算的法則是二次根式性質的逆用.在"法則應用"的教學中,既有用生成的法則計算有代表性算式的過程,以鞏固法則和發展計算技能,又有計算之后反思的過程,以明確二次根式乘除運算的步驟.在"解決實際問題"的教學中,既有解題之前的分析,以明確求解思路,又有解題之后的反思,以感悟其蘊含的表示與運算的思想方法,積淀用二次根式或含二次根式的代數式表示未知量的數學活動經驗.在"回顧與思考"的教學中,既有教師價值引導下學生的思考與交流,又有教師的總結性講解.這體現了過程教育和以學為中心的思想,也遵循了技能教學的基本規范,能實現"能通過具體算式的計算,感悟逆用二次根式的性質能化簡運算過程,并知道二次根式的運算法則是由二次根式的性質得到的;會用二次根式的運算法則進行簡單的二次根式的乘除運算,會用二次根式或含二次根式的代數式表示簡單問題中的未知量"的教學目標.因此,在算法教學中要實現知識、技能、能力、態度的完美統一,需要教師增強揭示算法所蘊含的思維活動過程的自覺性,而引導學生經歷實質性思維過程需要教師貫徹啟發式教學思想.以符合"最近發展區"理論的題材為載體,從學生已有的知識與經驗出發,運用從具體到抽象的思維策略和教師價值引導與學生自主建構相結合的適度開放的方式,能使學生經歷教學過程中的思維站點,從而能促進學生全面、和諧發展.

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準(2011年版)[M].北京:北京師范大學出版社,2012.

2.范良火.義務教育教科書數學(八年級下冊)[M].杭州:浙江教育出版社,2014.

3.王偉,鄔云德.寓"過程教育"于"二元一次方程"教學探索與點評[J].中學數學(下),2014(2).