"一題一課":簡約并不簡單
---以2015年浙江臺州中考卷第24題教學為例

浙江省余姚市梨洲中學　趙旭軍

"一題一課":簡約并不簡單
---以2015年浙江臺州中考卷第24題教學為例

中考把關試題往往都是經過充分的打磨、苦心經營而推出的,既承擔了必要的選拔區分功能,又傳遞著教學導向,值得老師們認真思考,在貫通思路、洞察問題結構之后,還可將考題設計成習題課,開發成"一題一課" (相關觀點,受益于文1),引導學生深入思考.本文選取2015年浙江臺州一道把關題,簡述求解思路之后,給出該題的習題解題教學設計,拋磚引玉,供研討.

一、考題與思路簡述

考題:(2015年浙江臺州)定義:如圖1,點M、N把線段AB分割成AM、MN和BN,若以AM、MN、BN為邊的三角形是一個直角三角形,則稱點M、N是線段AB的勾股分割點.

(1)已知點M、N是線段AB的勾股分割點,若AM=2, MN=3,求BN的長.

(2)如圖2,在△ABC中,FG是中位線,點D、E是線段BC的勾股分割點,且EC>DE≥BD,連接AD、AE分別交FG于點M、N,求證:點M、N是線段FG的勾股分割點.

圖1

圖2

(3)已知點C是線段AB上的一定點,其位置如圖3所示,請在BC上畫一點D,使C、D是線段AB的勾股分割點. (要求尺規作圖,保留作圖痕跡,畫出一種情形即可)

(4)如圖4,已知點M、N是線段AB的勾股分割點, MN>AM≥BN,△AMC、△MND和△NBM均是等邊三角形,AE分別交CM、DM、DN于點F、G、H.若H是DN的中點,試探究S△AMF、S△BEN和S四邊形MNHG的數量關系,并說明理由.

圖3

圖4

圖5

(2)先由三角形中位線性質得出BD=2FM,DE= 2MN,EC=2NG,再由已知可得(2NG)2=(2MN)2+(2FM)2,即4NG2=4MN2+4FM2.于是NG2=MN2+FM2.問題獲證.

(3)可以先構造草圖分析,只有把三條線段置于一個直角三角形中才能實現目標,于是構造圖5實現:①過點C作AB的垂線MN;②在MN上截取CE= CA;③連接BE,作BE的垂直平分線PQ交AB于點D.則點C、D是線段AB的勾股分割點.

(4)解讀條件"△AMC、△MND和△NBM均是等邊三角形"可以有很多發現,比如AC∥MD∥NE,CM∥DN∥BE.再結合條件"H是DN的中點"可以發現△DGH≌△NEH.設AM=a,BN=b,MN=c,經過轉化可以把GM用含b、c的式子表示,從而利用△AGM∽△ANE,得比例式,轉化為c2=2ab-ac+bc.再結合已知條件勾股分割點得出c2=a2+b2,可推出(a-b)2=(ba)c.又b-a≠c,所以a=b.也就是圖4中兩側的兩個小等邊三角形是全等的,它們的面積也就相等.再由c2=a2+b2,便得到,即S△DMN=S△ACM+S△ENB.又 S△DMN=S△DGH+S四邊形MNHG,S△ACM=S△CAF+S△AMF,S△ACF=S△DGH= S△NEB,所以S四邊形MNHG=S△AMF+S△BEN.

二、解題教學設計

(一)開課階段,給出定義

給出上文"考題"的定義,略.

反射光分布測量裝置如圖2所示[9]。激光輻照在樣品表面，通過改變激光入射方向入射角度，利用半圓陣列分布的光電探測器收集散射光，實現各路信號的光電轉換，利用數據采集記錄探測陣列的輸出信號。利用所設計的實驗裝置，對不同材料粗糙表面、不同入射角度粗糙表面及同一材料不同表面粗糙度的BRDF特性開展了實驗測試，測試的散射光強分布用歸一化值進行表征[10]。

設計意圖:在給出定義之后,安排一組含30°、45°的特殊直角三角形的三邊比值,讓學生理解勾股分割點,同時又復習一下特殊直角三角形.這里我們改編了考題第一問相關數據,主要考慮是削枝強干,把學生思維聚焦在新定義上.

(二)尺規作圖,作"勾股分割點"

問題3:如圖6,閱讀以下作圖語句:①在AB取一點C,作CE⊥AB,取CE=CA;

②連接BE,作BE的垂直平分線,交AB于點D.

圖6

圖7

圖8

設計意圖:通過閱讀作圖語句,理解作法之后,連接DE,可以將三條線段AC、CD、BD集中在直角三角形CDE中,利用勾股定理得出它們之間的平方關系,從而確認C、D是線段AB的勾股分割點.根據學生的理解水平,還可以設計相關追問,比如還有其他的作法嗎?以下提供一種不同的作法:如圖7,作CE垂直AB,取CE=CB,連接AE,作AE的垂直平分線交CE于M,在CB上截取CD=CM,則點C、D是線段AB的勾股分割點.

(三)變式思考,成果擴大

問題4:(改編自考題的第三問)如圖2,在△ABC中, FG是中位線,點D、E是線段BC的勾股分割點,且EC> DE≥BD,連接AD、AE,分別交FG于點M、N,點M、N會是線段FG的勾股分割點嗎?為什么?

成果擴大:如圖8,在△ABC中,點D、E是線段BC的勾股分割點,且EC>DE≥BD,若點F是AB上的一個動點,過F作FG//BC,交AD、AE于點M、N,則M、N是否還是線段FG的勾股分割點?

設計意圖:在原考題第二問的基顧上,將問題的思考從特殊到一般,學生根據相似三角形所帶來的比例式,用類似的推理方式"成果擴大",獲得解答.

(四)引入等邊三角形,鼓勵優秀學生挑戰難題

問題5:(改編自考題第四問)條件呈現同"考題第四問",限于篇幅,略去.

①求證:S△ACM+S△BEN=S△DMN;

③試探究S△AMF、S△BEN和S四邊形MNHG的數量關系,并說明理由.

設計意圖:通過增設3個小問,把原考題的第四問中幾個難點、關鍵點分散開來,引導學生逐個突破,實現最終問題的求解.事實上,洞察問題結構或本質看清之后,還可提出很多類似的問題,比如MN=AM;或者提問題的一些逆向思考題,比如已知AM=BN,求證:H為DN的中點等.

三、教后反思

1.深刻理解中考試題是開發"一題一課"的前提

開發"一題一課"需要考慮教學容量的問題,不少同行在復習課時為了追求所謂的教學容量,所以預設、選擇了多道中考綜合題,以便體現大容量的習題教學.然而這種多道綜合題出現在同一節課中的教學努力常常得不償失,突出表現在很多基礎一般的學生往往跟不上教學進程,出現教師灌輸、學生簡單記錄的低效學習,如果學生課后沒有跟進消化理解,則該課幾乎無效.所以開設一題一課就是要將容量降下來,但又不是單純地減少題量這么簡單,而是在教師深入理解考題的基礎上讓課堂內容從形式上走向簡約,簡約并不簡單,如從上面的課例來看,增加了很多鋪墊問題、變式思考、成果擴大,使得所謂例題變為一道,然而系列變式、追問卻使例題生長、擴張,追求"由一題、會一類、通一片"的效果.

2."一題一課"的變式需要圍繞考題主干有序展開

"一題一課"的努力就是圍繞考題進行系列變式、恰當追問.然而我們也見到有些習題課堂上的變式與追問常常脫離考題的主干方向,走向旁枝末節,這是需要避免的.比如,上文中的考題的幾個教學環節都針對著原考題的4個小問展開教學,而沒有離開考題做其他角度的設問,這也保證了課堂主題的聚焦.這里還可提及命題領域的一個概念,即所謂"內容效度",也就是指教學目標中針對的是一道考題展開教學,而不能離開考題而開展大量的旁枝內容.比如,在一次聽課中,某教師執教二次函數章末復習課,結果有大半節課在一道二次函數綜合題上花時間,而這道二次函數綜合題主要難點不在二次函數的圖像與性質上,而是綜合了平面幾何的一些難點在題中,使得學生的主要困難和解題教學時間都花在幾何難點上,這里就是教學內容的效度出現了問題.

1.趙萍萍."一題一課":復習課走向簡約的嘗試---以2014年廣東省中考第23題教學為例[J].中學數學(下),2015(2).

2.羅增儒.數學解題學引論[M].西安:陜西師范大學出版社,2008.

3.鮑建生,顧泠沅,等.變式教學研究[J].數學教學, 2003(1,2,3).

4.章建躍.發揮數學的內在力量,為學生謀取長期利益[J].數學通報,2013(2).

②求證:AM=BN;