波利亞《怎樣解題》讀后感

馬小然

摘 要：通過對波利亞《怎樣解題》這本書的深入研讀，以讀后感的形式，對波利亞的“怎樣解題表”進行了介紹與分析，最后也介紹了波利亞的“怎樣解題表”在當今的發展情況。

關鍵詞：怎樣解題表；波利亞；研究成果；發展

喬治·波利亞（George Polya），是本世紀杰出的數學家和偉大的數學教育家，他復興了“探索法”，即數學啟發法，開創了數學問題求解（Problem Solving）與合情推理的一個全新時代，他的著作已影響了全世界數以百萬計的數學教育工作者。文章對波利亞最具影響力的著作之一《怎樣解題》作重點介紹，并依據他的“怎樣解題表”提出自己的見解和看法。

一、波利亞的生平和主要數學研究成果

1.波利亞的生平

喬治·波利亞（George Polya），1987年12月13日誕生于布達佩斯，先后在布達佩斯、維也納、哥根廷、巴黎等地求學。1921年在布達佩斯的約特沃斯·洛輪德大學獲哲學博士學位，學位論文的題目是“概率演算中的一些問題及其有關的定積分”。1914年，波利亞接受德國數學家A·胡爾維茨（Hurwitz）的邀請，到蘇黎世的瑞士聯邦工學院任教；1920年升為副教授；1928年任教授；1938年任數理學院院長。1940年，由于第二次世界大戰，移居美國，歷任布朗大學、斯坦福大學教授、美國國家科學院院士。1953年，在斯坦福大學退休。1953年至1956年，他受美國數學會之邀到過許多地區和學校講課、視察；1963年作為大克利夫蘭（Greater Cleveland）教育研究學會的顧問，參與課程內容的建議，深入調查，掌握了豐富的現實材料；1972年，波利亞參加了第2屆國際數學教育會議；1980年被選為第4屆國際數學教育大會榮譽主席。1985年9月7日，波利亞在加福尼亞的帕洛阿爾托（Palo Alto）病逝，享年97歲。

2.波利亞的主要數學研究成果

（1）概率論

波利亞早期的工作主要涉及幾何概率方面，有人認為波利亞是第一個在論著中使用“中心極限定理”這一術語的人。波利亞還研究了概率論中的特征函數，提出所謂的“波利亞準則”。他的一個典型例子是——罐子模型（the Polya urn sche-me），而他對概率論最重要的貢獻是他在1921年發表的有關隨機游動的論文。他首創了術語“隨機游動”（random walk）。

（2）函數論

雖然波利亞在概率方面有引人注目的成就，但他最深奧、最艱難的工作卻是復變函數論，特別是全平面內沒有奇點的單位函數的研究。在這領域有許多術語都是以他的名字命名的，如“波利亞峰”“波利亞表示”和“波利亞間隙定理”等。

在1957年，波利亞和舍恩伯格提出了一個有關冪級數的猜想：“能夠將單位圓映入凸區域的兩個冪級數的阿達馬積，仍是一個具有相同性質的冪級數。”這被稱為波利亞-舍恩伯格猜想，后來被德國維爾茨堡的S.路什科威（Ruscheweyh）和英國約克的T.小希爾（Sheil-small）合作證明。在1919年的論文中，他還提出了一個猜想，被稱為波利亞猜想，后來被證明不成立，可他卻導致了統計方法的重大進展。

（3）組合數學

波利亞給出了同分異構體的普遍適用的一般計數方法。他在這方面發現的主要定理現已被稱為“波利亞計數定理”（Polyas enumeration theorem），被寫入了組合數學教材中。

（4）等周問題

在1945年統一解決了各種特征值的等周不等式以及特征值的估計問題。

（5）幾何與數論

早在1913年，波利亞就證明了一個重要結論：“一條皮亞諾（Peano）曲線，它通過一個區域的每一個點至多三次。”眾所周知，這樣的曲線必須有至少三個重點，但波利亞證明了，這樣的曲線不必須有更高重數的點。

二、解讀“怎樣解題表”

1.簡介“怎樣解題表”

《怎樣解題》這本書是圍繞“怎樣解題表”來寫的，而“怎樣解題表”是由多個帶有啟發性的問題與五點建議構成的，對于以上問題與建議的描述類似于解決問題思維過程的“慢鏡頭”，能夠讓別人對解題的具體思維過程進一步明確。波利亞的“怎樣解題表”具體步驟如下：

第一步：首先將具體問題搞清楚，即明確問題。首先了解未知數指的什么？明確已知數據與相關條件，弄清楚是否能夠滿足條件？如果將未知數確定了，能否得到充分的條件？或者確定條件是否是多余的、矛盾的或者是不夠充分的。根據以上思維過程，用圖表示出來，并將相應的符合引入進來。將各相關條件分開后，是否能夠將其用語言表述出來？

第二步：將已知數與未知數的關系確定。若難以將兩者的直接關系確定，那么就需要對輔助問題列入考慮范圍。此時便可獲得求解計劃，即擬定計劃。你是否曾經碰到過類似問題？你是否曾經碰到過內容類似但形式不同的問題？你是否碰到過與該問題相關的問題？你能否想起能夠解答此問題的定理？再次明確未知數，并嘗試回想以往碰到過的類似問題中的未知數或類似未知數。你面前有一個與此問題相關的且已經得到解題答案的問題，你能否對其充分利用起來，包括利用該問題的解題方法、解答結果？要想充分利用它，需要將哪些輔助元素引入進來？你能否將此問題進行重新復述？你能否采用其他方法將其重新復述？

將思路轉回到定義上：如果無法找到方法來解決當前問題，則可以預先對類似問題進行解答。你能否想到一個相對容易解決的類似問題？比如普遍性較強的問題、相對特殊的問題、類比問題等。你能將此類問題的其中某部分進行解決嗎？將問題中條件的某部分固定，將其余部分刪除，能否進一步確定問題的未知數？刪除后對此問題能夠起到怎樣的影響？你能否在問題的已知數據中得到關鍵的信息？你還能列出有利于進一步確定未知數的哪些數據信息？如果解題需要，你能否將問題中的未知數或數據等信息進行相應調整？或者將兩者均進行相應調整，是否能夠使未知數與調整后的新數據相關性更大？你是否對問題中的所有數據均充分利用起來？你是否對整個條件均利用了？你是否對此問題所涉及的所有概念均全面考慮到了？

第三步：將你的計劃付諸實踐，即實現計劃。將你以上所有的求解計劃付諸實踐，并對每一步進行詳細檢驗。你是否能夠確定該步驟的正確性？你是否能夠對該步驟的正確性給予相關證明？

第四步：對問題的答案進行再次驗算，即回顧。你能否對自己做出的論證進行檢驗？你是否能夠采用其他方法將問題結果導出？你能夠一眼就能將其認出？你能否將此問題的結果或者解題方法轉移到對其他問題的解答上？

2.對“怎樣解題表”的認識

從“怎樣解題表”中我們可以看出，波利亞把數學題的求解過程分為四個階段。第一階段，對問題產生明確的認識，明確未知數；第二階段，了解各個項之間的聯系，已知數與未知數之間的聯系，并把我們的解題思路擬定成一個計劃；第三階段，將我們的計劃付諸實踐；第四階段，對以上解答過程進行回顧，進行再次驗算與討論。細細想來，通常我們在實際解答問題過程中，為了獲得問題的解答方法，思維中也涉及了以上某些問題，只是對解題思維沒有進一步關注。而在波利亞的總結下，對我們在解答問題過程中所用的思維方式與思維過程產生強烈的應用意識。如此一來，一方面，能夠進一步提升我們解答問題的能力；另一方面，還可以使我們的思維受到良好的訓練，養成良好的思維習慣。

（1）明確問題

波利亞強調：“回答一個你尚未弄清楚的問題是愚蠢的，去做一件你不愿干的事情是可悲的。”因此，我們去解答一個問題之前，首先應該熟悉這個問題。如何來熟悉這個問題呢？從問題的敘述開始，觀察揣摩整個問題，使其清楚而鮮明，并把問題牢記在大腦里，直到我們不再看著問題，也可以把問題重新敘述出來。而在這張表的一開始，波利亞就提出了許多問題。如：“未知數是什么？已知數據是什么？條件是什么？……”他教我們如何來弄清問題。

（2）擬定計劃

這是“怎樣解題表”的主要部分，在這一部分，波利亞主要從聯想和轉換兩個方面教我們擬定出計劃。

①聯想。聯想是波利亞“怎樣解題表”的核心所在，它能夠對人的聯想行為產生啟發。那么什么是聯想？我們又應該怎樣去聯想？那就讓我們再次回顧一下波利亞“怎樣解題表”中的啟發性問題與建議吧：“你是否曾經碰到過類似問題？你是否曾經碰到過內容類似但形式不同的問題？你是否碰到過與該問題相關的問題？你能否想起能夠解答此問題的定理？再次明確未知數，并嘗試回想以往碰到過的類似問題中的未知數或類似未知數。你面前有一個與此問題相關的且已經得到解題答案的問題，你能否對其充分利用起來，包括利用該問題的解題方法、解答結果？要想充分利用它，需要將哪些輔助元素引入進來？你能否將此問題進行重新復述？你能否采用其他方法將其重新復述？……”聯想不僅是思維的開始，而且貫穿于整個思維過程中，只有通過由此及彼、由表及里的廣泛的多層次的聯想，思維才能一步步深入，最終使問題得到解決。這種有意識地引導學生去聯想的方法是我們每位教師都應該學習的，只有啟發和引導學生積極思維，廣泛聯想，由表及里、由淺入深地思考，并不斷總結和改進，才能使學生在學習中獲得最大的收獲。

②轉換。這里說的轉換，就是書中所說的“變化問題”“題目變更”，這個步驟可以充分地表現出解題的過程，解題的策略和形式都盡可能地表達清晰，并合理地運用到了教學實踐中。波利亞強調：“解題中的成功有賴于選擇正確的方面，有賴于從好接近的一側攻擊堡壘。為了找出哪個方面是正確的方面，哪一側是好接近的一側，我們從各個方面、各個側面去試驗，我們變化問題。”在波利亞的“怎樣解題表”中，提出促使我們進行問題轉換的多個啟發式問句或建議，將當前問題轉化為類似問題或已經獲得解題答案的問題，對相類似的問題充分考慮，首先解決普遍性較強的問題、相對特殊的問題或類比問題。以上啟發性問題均涉及當前問題的轉換。“如果不‘變化問題我們幾乎不能有什么進展”——這就是波利亞的結論。

（3）實現計劃

這是一個比較簡單的環節，它對解題者的耐心具有極高的要求。在計劃的擬定階段，首先需要列出一個相關的問題大綱，而在計劃的實現階段，則應對每一個解題細節進一步充實，并對每一個解題細節進行耐心對比、檢查，直到沒有其他隱藏的含糊問題為止。

（4）回顧

很多時候，我們解答完某一問題，得到論證結果后，通常不進行進一步的驗證就著急寫下答案。此時，我們很容易將解答問題的最后一個重要步驟忽略，也就是回顧環節。通過此環節，我們對當前問題的思維過程進行有效重復，并對問題結果進行重新考慮與驗證，不但可以鞏固這方面的知識，還可以提高我們的解題能力，特別是當我們的論證冗長而復雜的時候更是如此。

在“怎樣解題表”中，波利亞給出了許多指引我們回顧問題的問句和建議：“你能否檢驗這個論證？你能否用別的方法導出這個結果？你能不能一下子看出它來？你能不能把這個結果或方法用于其他的問題？……”這些都是幫助我們回顧問題的非常好的向導。

三、“怎樣解題表”的發展

近十幾年來，通過不斷的反思和對解題活動的深入研究，“問題解決”和“數學思維”已經取得了全新的進展，中國式的“問題解決”也逐漸形成，這些都已成為波利亞的超越。

中國的數學教學一直以來對解題訓練和解題研究均非常重視。在20世紀80年代的教育教學觀點中，美國的“問題解決”影響力越來越大，很多教育學者分析并利用到教學實踐中。波利亞的解題方式成為教育世界中的重要指導思路，很多學者為此專門成立了教育小組和開展各種學術研討。20世紀90年代，張奠宙教授組織了“數學教育高級研討班”，并提出“提倡問題解決”作為促進中國教學教育改革“突破口”的設計。“怎樣解題表”在我國的廣泛傳播，有力地推動了中國特色解題研究，并逐漸形成“中國的數學問題解決”特色。其具體表現如下：重視數學解題思路的過程性；注重數學的解題方式與研究方法；利用解題的策略性研究；應用問題、數學建模教學研究；將情景解題、開放性試題進行合理運用；提倡探究性學習，進行“問題教學”“情景教學”和“開放性教學”。

參考文獻：

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