同側異側互化巧解距離和差最值問題

周紅柏

在解析幾何中，經(jīng)常遇到一個動點到兩個定點的距離之和與差的最值問題，此類問題的條件是動點在某條定曲線上，定點往往有分布在曲線同側或者異側，曲線有封閉型或者非封閉型，距離又有和或差，最值也有最大或最小，所以看似解法各異，解法靈活，實則是同類問題，這類問題的根本解決之道是同側化異側，異側化同側，再應用三角形的基本性質(zhì)“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”加以解決，通用模式為：設A，B為兩定點，P為

評注例l涉及直線上一動點與兩定點距離之和（差）的最值問題，此類問題的求解通常分為兩步：（1）求其中一定點關于定直線的對稱點；（2）再求這個對稱點與另一定點的距離即為所求最值；如果涉及求最值時動點位置，則聯(lián)立對稱點與另一定點所在直線方程和題中所給定直線求交點即為所求，

變式l看似涉及到兩個根式函數(shù)和的最值問題，如果通過函數(shù)去求解，那會利用到導數(shù)，而且計算量較大；而通過轉化為一動點到兩定點的距離和的最值問題，再利用對稱求解即可，

變式2看似是兩個定圓上的動點與一個動點距離差的最大值問題，通過將與圓上的動點問題轉化為與圓心的距離加減半徑，可以將問題轉化成一定直線上的動點與兩個定點（即圓心）距離之差的最大值問題，再利用例l的方法求解即可得到所求最大值，

這類問題的通性通法是：利用對稱將直線上的一動點與分布在其同側（或異側）距離最值問題轉化為直線的一動點與分布在其異側（或同側）距離最值問題，在利用三角形的基本性質(zhì)及通用模式求解最值，

評注例2涉及橢圓上一動點與兩定點（其中一個為焦點）距離之和（差）的最值問題，此類問題的求解通常可分兩種類型：（1）先利用定義，將動點到一個焦點的距離與其到另一個焦點的距離進行轉化，然后利用幾何最值法最終解決（如例2（1）中差的最小值和例2（2）中和的最大值和最小值）；（2）在求和的最小值或差的最值時，有時可不經(jīng)定義轉化，直接使用幾何最值法（如例2（1）中差的最大值），具體屬于哪一類型，應視定點在橢圓內(nèi)、外的給定情況而定，

這類問題的通性通法是：利用定義將距離和（差）最值問題轉化為距離差（和）間題，在利用三角形的基本性質(zhì)及通用模式求解最值，

3.曲線為雙曲線拋物線時，通過定義進行同側異側互化

評注例3涉及雙曲線右支上一動點與兩定點（其中一個為焦點）距離之和（差）的最值問題。此類問題的求解通常可分兩步：（1）通過定義將分布在雙曲線右支同側的兩定點的距離之和問題轉化為分布在雙曲線右支異側的兩定點的距離之和問題（2）再利用三角形的性質(zhì)和通用模式求得最值，

這類問題的通性通法是：利用定義將雙曲線一支上的動點與分布在其同側（或異側）的兩點距離最值問題轉化為雙曲線一支上的動點與分布在其異側（或同側）的兩點距離最值問題，再利用三角形的基本性質(zhì)判斷最值，評注例4涉及拋物線上一動點與其外一定點及y軸距離之和的最值問題，此類問題的求解通常可分三步：（1）通過定義將拋物線上的動點與y軸距離轉化為拋物線上的動點與其焦點距離；（2）再將原題轉化為拋物線上的動點與其焦點及其外一定點距離之和問題；（3）利用三角形的性質(zhì)和通用模式求得最值，

變式3涉及拋物線上一動點與其內(nèi)一定點及其焦點的距離之和的最值問題，此類問題的求解通常可分三步：（1）通過定義將拋物線上的動點與焦點的距離轉化為拋物線上的動點與其準線的距離；（2）再將原題轉化為拋物線上的動點到其準線及其內(nèi)一定點的距離之和的問題；（3）利用三角形的性質(zhì)和通用模式求得最值，

這類問題的通性通法是：利用定義將拋物線上的動點與焦點的距離相互轉化為拋物線上的動點與其準線的距離；再轉化為拋物線上的動點與其焦點及其外一定點距離問題或者拋物線上的動點到其準線及其內(nèi)一定點的距離之問題，最后利用三角形的性質(zhì)和通用模式求得最值，