幾何概型教案

孫麗君

（一）導入新課

復習古典概型的兩個基本特點：

（1）所有的基本事件只有有限個；

（2）每個基本事件發生都是等可能的.那么對于有無限多個試驗結果的情況相應的概率應如何求呢？為此我們學習幾何概型，教師板書本節課題幾何概型.

問題1：

它是古典概型嗎？

1、試驗中的基本事件是什么？

2、試驗中所有可能出現的基本事件有多少個？

3、每個基本事件出現的可能性相等嗎？

4、得一等獎的概率與什么有關？

問題2：

如果讓一等獎所在的區域變大或變小，那么指針

落在此區域的概率會發生怎樣的變化？

幾何概型

下圖中有兩個轉盤，甲、乙兩人玩轉盤游戲，規定當指針指向B區域時，甲獲勝，否則乙獲勝.在兩種情況下分別求甲獲勝的概率是多少？

為解決這個問題，我們學習幾何概型.

在概率論發展的早期，人們就已經注意到只考慮那種僅有有限個等可能結果的隨機試驗是不夠的，還必須考慮有無限多個試驗結果的情況.例如一個人到單位的時間可能是8：00至9：00之間的任何一個時刻；往一個方格中投一個石子，石子可能落在方格中的任何一點……這些試驗可能出現的結果都是無限多個.這就是我們要學習的幾何概型.

（二）推進新課、新知探究、提出問題

（1）隨意拋擲一枚均勻硬幣兩次，求兩次出現相同面的概率？

（2）試驗1.取一根長度為3 m的繩子，拉直后在任意位置剪斷.問剪得兩段的長都不小于1 m的概率有多大？

試驗2.射箭比賽的箭靶涂有五個彩色得分環.從外向內為白色，黑色，藍色，紅色，靶心是金色.金色靶心叫“黃心”.奧運會的比賽靶面直徑為122 cm，靶心直徑為12.2 cm.運動員在70 m外射箭.假設射箭都能射中靶面內任何一點都是等可能的.問射中黃心的概率為多少？

（3）問題（1）（2）中的基本事件有什么特點？兩事件的本質區別是什么？

（4）什么是幾何概型？它有什么特點？

（5）如何計算幾何概型的概率？有什么樣的公式？

（6）古典概型和幾何概型有什么區別和聯系？

活動：學生根據問題思考討論，回顧古典概型的特點，把問題轉化為學過的知識解決，教師引導學生比較概括.

討論結果：（1）硬幣落地后會出現四種結果：分別記作（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）.每種結果出現的概率相等，P（正，正）=P（正，反）=P（反，正）=P（反，反）=1/4.兩次出現相同面的概率為 .

（2）經分析，第一個試驗，從每一個位置剪斷都是一個基本事件，剪斷位置可以是長度為3 m的繩子上的任意一點.

第二個試驗中，射中靶面上每一點都是一個基本事件，這一點可以是靶面直徑為122 cm的大圓內的任意一點.

在這兩個問題中，基本事件有無限多個，雖然類似于古典概型的“等可能性”，但是顯然不能用古典概型的方法求解.

考慮第一個問題，如右圖，記“剪得兩段的長都不小于1 m”為事件A.把繩子三等分，于是當剪斷位置處在中間一段上時，事件A發生.由于中間一段的長度等于繩長的 ，

于是事件A發生的概率P（A）= .

第二個問題，如右圖，記“射中黃心”為事件B，由于中靶心隨機地落在面積為 ×π×1222 cm2的大圓內，而當中靶點落在面積為 ×π×12.22 cm2的黃心內時，事件B發生，于是事件B發生的概率P（B）= =0.01.

（3）硬幣落地后會出現四種結果（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）是等可能的，繩子從每一個位置剪斷都是一個基本事件，剪斷位置可以是長度為3 m的繩子上的任意一點，也是等可能的，射中靶面內任何一點都是等可能的，但是硬幣落地后只出現四種結果，是有限的；而剪斷繩子的點和射中靶面的點是無限的；即一個基本事件是有限的，而另一個基本事件是無限的.

（4）幾何概型.

對于一個隨機試驗，我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區域內隨機地取一點，該區域中的每一個點被取到的機會都一樣，而一個隨機事件的發生則理解為恰好取到上述區域內的某個指定區域中的點.這里的區域可以是線段、平面圖形、立體圖形等.用這種方法處理隨機試驗，稱為幾何概型.

如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型（geometric models of probability），簡稱幾何概型.

幾何概型的基本特點：

a.試驗中所有可能出現的結果（基本事件）有無限多個；

b.每個基本事件出現的可能性相等.

（5）幾何概型的概率公式：

P（A）= .

（6）古典概型和幾何概型的聯系是每個基本事件的發生都是等可能的；區別是古典概型的基本事件是有限的，而幾何概型的基本事件是無限的，另外兩種概型的概率計算公式的含義也不同.

（三）應用示例

思路1

例1 判斷下列試驗中事件A發生的概率是古典概型，還是幾何概型.

（1）拋擲兩顆骰子，求出現兩個“4點”的概率；

（2）如下圖所示，圖中有一個轉盤，甲、乙兩人玩轉盤游戲，規定當指針指向B區域時，甲獲勝，否則乙獲勝，求甲獲勝的概率.

活動：學生緊緊抓住古典概型和幾何概型的區別和聯系，然后判斷.

解：（1）拋擲兩顆骰子，出現的可能結果有6×6=36種，且它們都是等可能的，因此屬于古典概型；

（2）游戲中指針指向B區域時有無限多個結果，而且不難發現“指針落在陰影部分”，概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來衡量，即與區域長度有關，因此屬于幾何概型.

點評：本題考查的是幾何概型與古典概型的特點，古典概型具有有限性和等可能性.而幾何概型則是在試驗中出現無限多個結果，且與事件的區域長度有關.

思路2

例1 某人欲從某車站乘車出差，已知該站發往各站的客車均每小時一班，求此人等車時間不多于20分鐘的概率.

活動：假設他在0—60分鐘之間任何一個時刻到車站等車是等可能的，但在0到60分鐘之間有無窮多個時刻，不能用古典概型公式計算隨機事件發生的概率.可以通過幾何概型的求概率公式得到事件發生的概率.因為客車每小時一班，他在0到60分鐘之間任何一個時刻到站等車是等可能的，所以他在哪個時間段到站等車的概率只與該時間段的長度有關，而與該時間段的位置無關，這符合幾何概型的條件.

解：設A={等待的時間不多于10分鐘}，我們所關心的事件A恰好是到站等車的時刻位于[40，60]這一時間段內，因此由幾何概型的概率公式，得P（A）=（60-40）/60=1/3.

即此人等車時間不多于10分鐘的概率為1/3.

點評：在本例中，到站等車的時刻X是隨機的，可以是0到60之間的任何一刻，并且是等可能的，我們稱X服從[0，60]上的均勻分布，X為[0，60]上的均勻隨機數.

（六）課堂小結

幾何概型是區別于古典概型的又一概率模型，使用幾何概型的概率計算公式時，一定要注意其適用條件：每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度成比例.

（七）作業

課本習題3.3A組1、2、3.