圓錐曲線探索型問題求解策略

劉智恂 徐立新

【摘 要】存在類探索問題是圓錐曲線章節，命題活動開展過程中的重要組成類型，本文針對圓錐曲線探索型問題求解策略，擇取兩個具體方面展開了簡要分析。

【關鍵詞】圓錐曲線；探索型問題；求解；策略

圓錐曲線知識章節是高中數學學科現行知識構成體系中的重要組成內容，其本身憑借中數學運算量大，命題內容門類廣泛且變化特征反復等特點，逐步成為高考數學主觀題部分的重要命題內容，探索類命題圓錐曲線章節現有命題類型構成體系中的重要組成部分，憑借其本身具備的已知條件簡化性，以及運算求解結果的多樣性特征而得到了高中數學教師和學生的密切關注，有鑒于此，本文將針對圓錐曲線探索型問題求解策略展開簡要論述。

一、橢圓中的存在型問題計算探索方法

例1：已知某橢圓的連個焦點為F1（-，0），F2（，0），其離心率為e=。求解如下問題：

（1） 求解該橢圓的解析幾何方程。

（2） 以該橢圓圖形的上頂點B為直角頂點，作橢圓的內接等腰直角三角形ABC，問這樣的三角形能否成功做出（或者說這樣的等腰三角形是否存在）？如果存在，清確定總共能夠做出幾個，如果不存在，清說明你的判斷理由。

解：

（1）設該橢圓的方程為+=1（由于已知該橢圓的焦點在x軸上，不妨設a>b>0），且c=，由于e=c/a=/2，直接可得a=2，由此可知b=1，因此待求橢圓圖形的解析幾何方程為+y2=1。

（2） 假設存在滿足條件的直角三角形ABC，則根據已知條件和計算結論，可知等腰直角三角形直角頂點B的坐標是B（0，1），由給定的題設情境易知，等腰直角三角形ABC直角邊BA和BC不能與平面直角坐標系的x軸或是y軸平行或者是垂直，因可設直角邊BA所在直線方程為y=kx+1（k<0），且可設直角邊BC所在直線的方程為y=（-1/k）x+1。

將直線方程y=kx+1與橢圓方程+=1聯立，可知點A的平面坐標為A（，+1）。由此：

同理，可知|BC|=。由于|AB|=|BC|，可知-k（4+k2）=1+4k2。運用求解代數方程的方法可以得到k=-1，或者是k=，因此可知滿足題干條件等腰直角三角形是存在的，并且總共存在三個。

二、雙曲線中的存在型問題計算探索方法

例1：請求解是否存在同時滿足如下條件的雙曲線，如存在，請求解雙曲線方程，如不存在，請說明理由。

（1）漸進線方程為x±2y=0。

（2）平面上點A（5，0）與雙曲線方程上一動點P的最小距離為。

解：假設存在同時滿足上述條件的雙曲線。

如果該雙曲線的焦點在x軸上，同時源于該雙曲線的漸進線所在直線方程為x±2y=0，因此可以將該雙曲線圖形的解析幾何方程設定為-=1，假設雙曲線上動點P的坐標為P（x，y），則有|AP|==（已知≥2b）。

假若2b≤4，則直接可有b≤2，則在x=4的條件下，|AP|將會取得最小值。也就是要求=，在這一數學運算情境下，上述數學方程顯然無解，因而在b≤2代數條件下，滿足題設約束條件的雙曲線方程是不存在的。

而假若2b>4，也就是b>2的數學情境下，在x=2b的數學運算條件下，|AP|將會直取得最小值，且這時會會有|2b-5|=，這時可以解得b=或者是b=<2（應當舍去），而在這一求解情境之下，直接可以求解到能夠同時滿足題干約制兩個基本限制性數學條件的雙曲線方程解析式，并且其在標準型表達-條件下的數學方程是：-=1。

同理，當雙曲線的焦點在y軸上時，能夠求解到同時滿足題干中；兩個約束條件的雙曲線方程為y2-=1。

由此可知，總共存在兩條滿足題干中約制條件的雙曲線方程，并且兩條雙線方程的標準化數學方程表達式分別為-=1，以及y2-=1。

結語

針對圓錐曲線探索型問題求解策略問退，本文圍繞橢圓和雙曲線中的存在型問題計算方法，旨意為相關領域的研究人員提供借鑒。

作者簡介：

劉智恂（1994.4-），男，郴州資興，邵陽學院理學與信息科學系，學士學位，研究方向：純粹數學。

徐立新（1946.1-），男，湖南邵陽，邵陽學院理學與信息科學系，學士學位，職稱：教授 研究方向：組合優化。

參考文獻：

[1]謝偉.新課標高考中圓錐曲線最值問題的求解策略[J].中學數學研究，2012（05）.

[2]鄭昭眾.例談圓錐曲線問題求解的轉化策略[J].高中數理化，2011（21）.

[3]王中華，黃海英.圓錐曲線探索型問題的求解策略[J].中學生數理化（高三版），2007（03）.