深度剖析數學教材，助力學生構建模型思想

孫雙雙

[摘 要]模型思想是課程標準新增的核心概念。問題情境——建立模型——求解驗證的數學活動過程體現了課程標準中模型思想的基本要求，讓學生經歷“數學化”和“再創造”的自我實踐過程，感悟模型思想的本質。“例題建模”的重點在于“建?！?，教師應從多個角度對例題進行教學設計，從而為“建?！苯虒W找到事實原點、生成適宜環境和破解數學結構。

[關鍵詞]小學數學 例題教學 數學建模 思維

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）29-061

課堂教學是一種師生的互動過程，是學生走向自主探索、合作交流和實踐創新的發展過程。在這個過程中，教師由單純的知識傳遞者轉變為學生數學學習的組織者、引導者和合作者，學生從單純的知識接受者轉變為數學學習的主人。模型思想的重點在于模型構建，課本例題只是教材提供的問題材料，猶如瓦匠蓋房子一樣，是由一塊磚、一抹泥、一標尺、一踱步摸索出來的，傾注實踐者一思維、一行動的全部經歷，是自身智慧勞動的成果，從初始的構思到活動的過程再到成功的創作都是自己的親身經歷，日后運用起來才能得心應手。

一、例題盤活，還原數學起點

蘇教版數學課本教學材料雖趨于靈活，但與“鮮活”還有一定距離，究其原因，主客觀的因素都有。主觀因素在于，從編者編寫到教者教學已有一段時間跨度，這期間，時、空、物都發生了變化，編者無法左右?？陀^因素在于，教材施用的范圍較廣，做不到因地制宜、因人而異。其實，教材上的東西只是平面的、靜態的材料，真的要活躍紙上，由“死”變“活”，還需要教師的藝術加工。

1.多媒體課件還原真實

現代教育技術為教學活動提供了很大的便利，甚至以往無法實現、僅憑想象的空間變化圖形，通過多媒體課件制作，能逼真清晰地演示變化過程，給學生“運動”的數學思維。

例如，在教學“平面圖形的鏈接、轉化以及長方形、平行四邊形、三角形、梯形面積之間的關系演變”“圖形密鋪的奧秘揭示”“立體圖形、球體、渠道的剖面圖”“平行四邊形有無數條高”“角度的大小變化”“行程類應用題的相遇與追擊的路線變化”“展示數學文化史”時，這些知識點在現實生活中很難再現，畫平面圖相對繁瑣且立體感不強，想象的東西學生又不好捉摸，最關鍵的是難以給學生運動變化的視覺。而通過多媒體課件能給學生“鮮活”的演繹、歸納，得出抽象的定義、定理、定律。

2.簡單教具直觀現象

視覺給人的是運動的路線，觸覺給人的是差異的感受。教學方法沒有好壞之分，教具學具也沒有優劣之分，主要看學生是否能深入其中，把知識和實驗聯系起來理解。

例如，在教學“角的頂點”時，可以讓學生摸摸桌角、書角，感受角是尖尖的；在教學“正方體的6個面、8個頂點、12條棱”時，不妨給每個學生發一個小正方體，讓他們自己去找、去摸、去數，特別是分析透視圖形、平面展開圖形時，更需要利用小方木的疊加觀察和拼接圖形的模型圖展開演示；在教學“數位以及進位加、退位減”時，計算器是最直觀的教具；在教學“建立圓周率公式的模型”時，圓形360度平均拆、拼成近似長方形或平行四邊形是最好的方法；在教學“1～10數字”時，數小棒是簡易而不簡單的教學方法，不僅得出數字，還得出這個數字在序列中的位置，是動手、動嘴、動眼、動腦的最好教具。

例題被盤活了，其實就是還原數學原點，是合情推理，是在運動中建立數學模型，是最自然的定理、定律。

二、例題改造，生成適宜場景

數學本身具有抽象性，它是對事物、現象的高度概括、提煉，抽象出可供實踐的步驟、方法?？捎^的、可摸的、有形的事實是不多的，數學教材中的資料，更多的是粗線條的、提示性的數字信息和問題，一般獨立存在，很難深層展現相互間的聯系，學生要透徹理解還是比較困難的，數學模型建構又談何容易？因此，教師要對比較抽象的問題適當進行改造，給原本的例題輔以情境，使其具有現實性、趣味性或挑戰性。

1.數學生活化，增強現實性

生活是數學的原型，知識模型的獲得離不開生活。倘若將例題轉變成生活情景，不僅可以激發學生參與的熱情，還能發揮學生的創新意識和創造能力。

【課堂實錄】比較數的大小

師：課間老師看到很多同學在跳繩，這節課，老師想找兩個同學比一比，看半分鐘內誰跳得最多。（請一個同學上來）老師計時，大家一起數（42個），板書：42。再請一個同學（36個），板書：36。一個同學跳了42個，另一個同學跳了36個，他倆誰跳得多？（42個多）。為什么呢？

生：因為42比36大。

師：對，比較他們兩人誰跳得多，其實就是比較42和36的大小。

從學生的課間活動——跳繩來引出兩個需要比較的數字，既自然又貼近學生的生活，能讓學生積極參與到課堂教學中來。而教材中設計的讓小松鼠和小兔拾貝殼的例題，脫離學生的生活，不現實。

2.激發好奇心，增強趣味性

在教學蘇教版小學數學二年級“統計”時，教材中設計了動物運動會的情境，根據動物和參賽項目的不同來進行分類統計。但是這種有關動物的主題圖在一年級時已經用過，圖片上的動物種類也顯得單調，學生很難提起興趣，又何談去探索“模型”呢？

【課堂實錄】兩位數加兩位數（進位加）

教師先給學生復習百以內的加法，如：27+41=？接著出示教材中的例題：56+18=？并結合生活實際設計了學生喜歡的玩具圖片展示在黑板上：小汽車18元，飛機56元，手槍5元，狗熊34元，洋娃娃25元。教師讓學生提出加法問題，并嘗試計算，再請學生對列出的算式進行分類，抽取其中一例進位加法算式展開討論，思考用哪種算法最簡便。將學習內容趣味化，不但激發了學生的學習興趣，還調動了學生的積極性和主動性，兩位數加兩位數（進位加）模型很快得到建構。

3.預設層次感，增強挑戰性

挑戰可以激發人的思維發展，促進人對問題的深入思考，從中獲得成功的快感。在教學中，教師在課堂上也會提出許多問題，這些問題之間環環相扣，學生一步一步跟著走下來，答案就在眼前。因為知識模型是由教師建立或是由教師牽著學生建立的，所以學生普遍缺乏思考能力。

學生的發展在一定程度上取決于他是否具有思考的能力。數學學科的特殊價值就在于培養學生數學的思考能力和運用數學解決問題的能力。如“這節課我們要來研究成反比例的量。你認為成反比例的量會有怎樣的變化特點？”“你能把這兩個例子中反比例的例子找出來嗎？”這些問題的提出就具有一定的挑戰性，需要學生去深入思考、實際操作。

挑戰性問題的實質在于激起學生強烈的思維活動，通過思維活動促進外部知識與內部認知結構之間產生實質性的互動，從而促進認知結構、認知能力不斷發展。教師只有巧妙地設計挑戰，才能更有效地組織學生進行探究。在探究過程中，外顯的是學生的積極參與、主動探究、動態生成，內隱的是學生思維的不斷深刻發展和知識模型的建立。

例題改造了，也就是給問題找到適合的生存環境，使學生易于接受、樂于接受，并把問題引向深入，提高思考能力，形成屬于自己的數學模型。

三、例題遷移，破解數學結構

課程標準要求“不同的學生學有不同的數學”。數學教科書中提供的是普適材料，也是原材料，雖然經過外環境的優化能讓大部分學生易于接受，但要讓潛能生吃飽、優等生吃好，還需要對例題的本質做適當改變，細化、整合內部結構。即通過“分解”“解剖”“拷貝”，給予不同學生不同的口味，享有不同的營養，殊途同歸，最終形成屬于自己的數學模型。

【例證分析】建立“兩步計算解決實際問題”的數學模型

1.“分解”，平面劃分模型

老猴說：“我采了3筐桃子，每筐12個?！毙『镎f：“我采了6個。”問：兩只猴子一共采了多少個桃子？

這是“兩步列式，兩步計算”的模型。它是一步列式計算到三步列式計算的過渡，是以一步為基礎、以三步為目標，同時也是分步列式計算的起始。因此，這個模型既是基礎的關鍵，也是過渡的關鍵。

教學時，平面“分解”既可以解決關鍵，又可以照顧到潛能生。首先，分解問題：①老猴采了多少個桃子？小猴呢？②老猴和小猴一共采了多少個桃子？其次，分步解答：①老猴：12×3=36（個）。②小猴：6（個）。再次，解決問題：老猴+小猴=36+6=42（個）。最后，寫出答案：兩只猴子一共采了42個桃子。

因為這些問題的分解、分步的解答都是學生獨立完成的，所以在學生的頭腦中清晰地留下模型的階級結構。為了加深對“線性模型”的把握，也為以后“三步計算解決實際問題”的學習做好鋪墊，還可以向后延伸：如果小猴采了2筐呢？逐步提高學生的思維深度。

2.“解剖”，立體切割模型

對于一種模型，線性的屬直線思維，因為前、后有內在聯系，一般教師稍加引導，學生就能順著方向思考。但其本身就帶有啟發性，容易形成慣性思維。要想克服慣性，培養變異思維，就要將問題向左、右打開，形成本質相同，形式多樣的并列模型，經過反復比較，加深理解，鞏固模型結構，實現靈活應用。

●第一題例題。老猴說：“我采了3筐桃子，每筐12個。”小猴說：“我采了6個。”問：兩只猴子一共采了多少個桃子？

解：12×3=36（個），36+6=42（個）。

●第二題練習。小明、小華一共要澆4行樹苗，每行14棵。小華已經澆了38棵。還有多少棵沒有澆？

解：14×4=56（棵），56-38=18（棵）。

●第三題拓展。大白兔已經拔了2籃蘿卜，每籃16個。小白兔先拔了10個，休息一會兒后又拔了9個。問：①兩只兔子一共拔了多少個？②小白兔比大白兔少拔了多少個？

解：2×16=32（個），10+9=19（個），32+19=51（個）；

2×16=32（個），10+9=19（個），32-19=13（個）。

教師將題目并列展開，比較歸納，學生逐步形成“兩步”概念，拓展了思維寬度。

建立數學模型，是一個把錯綜復雜的實際問題簡化、抽象為合理的數學結構的過程。建模思想的有效應用，能夠使學生的創新思維能力、合作交流能力和實踐探究能力得到有效的培養，學會以數學的理論和方法去分析和解決問題。

（責編 李琪琦）