斯特潘—玻爾茲曼定理的簡單熱力學推導

艾志偉 吳昊

（武漢大學 物理與技術學院，湖北武漢430072）

斯特潘—玻爾茲曼定理的簡單熱力學推導

艾志偉 吳昊

（武漢大學 物理與技術學院，湖北武漢430072）

斯特潘-玻爾茲曼定理是膚色系統中最為重要的定理之一，描述了輻射系統的能量密度和熱力學溫度之間的關系。同時，在大學物理之中斯特潘-玻爾茲曼定理也有著相當重要的地位。在文中主要就斯特潘-玻爾茲曼定理的簡單熱力學推導進行分析，希望以此來對斯特潘-玻爾茲曼定理有著更加深刻的認識。

斯特潘-玻爾茲曼定理；簡單熱力學；推導

大學物理包括力、熱、電、磁、光以及近代物理幾個部分組成，是理工農醫學生必修重要基礎課程。目的培養學生的創新能力和實踐能力、提高學生的科學素質打下基礎的極其重要的教學環節。作為上課的老師應該把教材上的內容講解清楚透徹，教材上的內容由于篇幅限制不可能把所有內容都一一俱到。比如近代物理黑體輻射斯特潘-玻爾茲曼定理一般教材上只是給出公式，沒有具體的推導過程。少數教材說明了根據熱力學理論或統計物理知識可以推導該公式。非物理專業學生很難推導斯特潘-玻爾茲曼定理。文章用三種簡單的熱力學方法，推導了黑體輻射斯特潘-玻爾茲曼定理，以幫助學生理解。

引言

斯特潘-玻爾茲曼定理（Stefan-Boltzmann's law）描述了一個輻射系統的能量密度與其熱力學溫度之間的關系，是輻射理論中最初也是最重要的定理之一。這個定理最初是由斯洛文尼亞物理學家約瑟夫·斯特潘（Josef Stefan）在整理法國科學家杜龍（Pierre Louis Dulong）和珀替（Alexis Thérèse Petit）的實驗結果后給出的。他的學生玻爾茲曼（Ludwig Boltzmann）將他的結論拓展到灰體輻射，利用輻射場作為熱機的工作物質，得到了我們現在稱為斯特潘-玻爾茲曼定理的結論。斯特潘利用這條定理，第一次較精確地給出了太陽表面溫度為5700K。

現今，這條定理是利用普朗克黑體輻射定理推導出的，但是它的一種表達形式，即輻射場的體能量密度與其熱力學溫度的四次方成正比這種關系，也可以采用多種比較初等的熱力學方法得到。

推導過程中，需要應用：

這個前提條件，其中ρ是輻射場壓強，u（T）是輻射場的內能密度。這個關系可以從經典熱力學［1］，統計力學［2］或者電動力學［3］得到。

一、推導過程

下面我們采用三種簡單的熱力學方法來推導斯特潘-玻爾茲曼定理，其核心思想都是采用了熱力學第二定律。

證明一：

我們以輻射場作為工作物質，構造一個卡諾熱機。熱機的兩個熱源，選擇兩個平衡態輻射源，溫度分別是T1，T2，其中T1的溫度比較高。卡諾循環是由兩個等溫過程和兩個絕熱過程組合起來的循環。在循環的第一步，進行等溫膨脹過程，熱機從溫度T1的輻射場吸熱，在輻射壓強ρ1下等溫膨脹，與輻射場熱平衡。

由式（1）可以看出，對熱輻射來說，溫度T不變，則其內能密度u（T）就不變，所以輻射壓強ρ也不變。換句話說，對輻射場而言，相圖上的等溫線就是等壓線。于是當輻射場體積從V1增加到V2時，其對外做功為：

在這個等溫過程中，輻射場內能密度不變，但是體積從V1增加到V2，則其總內能增加了：

由熱力學第一定律，在這個過程中，熱機從熱源T1吸收的熱量是：

假定這個循環中，熱源溫度T1和T2只相差一個非常微小的量dT，其體積改變量也是一個小量dV=V2-V1，于是，在這個循環過程中，熱機對外做的功，就是這個循環過程所包圍的面積，可以近似看作一個平行四邊形的面積，即是：

代入式（2）的結果，這個熱機的效率是：

由卡諾定理，我們知道，一個卡諾熱機的效率是［1］：

對比式（4）和式（5），可以看到：

積分后，考慮當熱力學溫度T=0 K時，輻射場能量密度為零，就有：

即是，輻射場的體能量密度與其熱力學溫度的四次方成正比。其中a是積分常數，也稱為斯特潘-玻爾茲曼常數。

這個推導過程，應用了卡諾定理。卡諾定理是熱力學第二定律的一個重要推論。利用卡諾定理，可以證明許多有用的理論，比如相變理論中重要的克拉伯龍方程。

證明二：

由卡諾定理，我們可以得到一個關系式［4］：

利用這個式子，可以簡單的證明斯特潘-玻爾茲曼定理。

一個輻射場的內能，可以表達為單位體積內能，即內能密度乘以其體積，即是：

證明三：

上述兩種證明方式都應用了卡諾定理，我們知道，卡諾定理是可以從熱力學第二定律導出的，所以，應用熱力學第二定律，也可以直接給出斯特潘-玻爾茲曼定理。

由熱力學第二定律的微分形式：

將S看作是T和V的函數，進行全微分，有：

對比式（10）和式（11），有：

將式（12）對T求偏微分，有：

同樣的，將式（13）對V求偏微分，有：

對于熱力學函數S來說，其二階偏微分滿足：

二、結束語

在文章中，我們用三種不同方式證明了輻射場的能量密度和其熱力學溫度的四次方成正比。其中斯特潘-玻爾茲曼常數（a=5.67×10-8W·m-2·K-4）在我們的推導中是以一個積分常數形式出現的，不能給出具體數值，而根據普朗克黑體輻射定理，可以給出這個常數具體的數值。需要說明的是，斯特潘-玻爾茲曼定理有很多種證明方式，我們在這兒給出的，是其中最為簡單、最容易被學生理解的幾種熱力學方式。掌握這幾種方式推導的過程，可以有助于學生更好的理解如何應用熱力學第二定律和卡諾定理去解決一些問題，也能夠加深他們對黑體輻射中斯特潘-玻爾茲曼定理的理解和掌握。

［1］楊素琴.平衡輻射場壓強的探討［J］.雁北師范學院學報，2004，20（2）：11-13.

［2］佟華.空腔輻射中輻射壓強與輻射能量密度之間關系［J］.吉林師范大學學報（自然科學版），2005（3）：123-124.

［3］袁德榮.介質表面輻射壓強的研究［J］.湖北大學學報（自然科學版），1998，20（1）：36-39.

［4］李椿，章立源，錢尚武.熱學（第二版）［M］.2008.

Stefan-Boltzmann law system is one of the most important theorems in the color system，describes the relationship between the energy density and the thermodynamic temperature radiation system.At the same time，in the university physics Stefan-Boltzmann law also has a very important position.In this paper mainly the simple thermodynamic derivation Stefan-Boltzmann law is analyzed，hoping to more profoundly understand the Stefan-Boltzmann law.

Stefan-Boltzmann law；Simple Thermodynamics；deduction

G642

A

2096-000X（2016）22-0088-02

艾志偉（1966，10-），男，漢族，職稱：講師，學歷：博士，研究方向：半導體器件方面研究工作。