中國數學教育優勢：隱性的代數教學設計模型

孫旭花

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中國數學教育優勢：隱性的代數教學設計模型

孫旭花

（澳門大學教育學院，澳門）

中國哲學的起源之文化獨特性起源于《易經》，其根本哲學思想是以不變應萬變，彰顯了中國漢語字詞和數系的構造模式之文化獨特性，在表達形式上強調“以類合類”，滲透在中國數學文化之文化獨特性，構造了強調類別的數學課程《九章算術》的原型，體現了中國數學教育的文化獨特性，即突出強調不變元素（雙基）和變異元素（變式）的數學教學思想框架，具體表現在“課程的問題設計”上，強調“一題多解”、“一題多變”和“多題一解”的問題變式的結構，形成了最新代數發展理論模型——螺旋變式課程設計模型．這一模型將有助于從國際視野理解中國數學教育，也為代數的教育發展提供了獨特的潛在的設計框架．

系統變式；中國數學教育；變式；合類；代數

現代數學是世界各地都統一的學科，內容和形式也是統一的，然而不同文化獨特性卻造就不同的數學教與學的風格、重點、傳統．一般來說，在世界上有兩種主要的數學傳統．一個是希臘人的演繹傳統，焦點于幾何．另一個是從埃及、巴比倫、以色列、中國和印度的歸納傳統，焦點于算術和代數．這兩個傳統反映兩種不同類型的數學教育文化的傳承．為什么會出現兩個不同的數學文化？不同的數學文化是如何持續發展，互相借鑒的？前提是了解自己的優劣，然后進行優勢互補．西方的幾何演繹文化一直是數學教育的主流文化，東方的代數歸納一直處于非主流地位，那么它的優勢是什么？研究將集中論述代數歸納文化的典型范例——中國的數學教育的傳統及其文化的獨特性所形成數學教育之文化優勢．這里主要圍繞：中國哲學的起源之文化獨特性，是如何影響中國漢語字詞和數系的構造模式之文化獨特性，進而影響中國數學文化之文化獨特性（最早數學教科書《九章算術》的構造原型），進而又影響了中國的數學教育的文化獨特性的行程，最后基于以上中國數學教育之文化獨特性，論述了背后所遵循中國式的理性和邏輯——螺旋變式課程設計模型．為了從國際視野理解中國數學教育之文化獨特性，先從哲學，這個自然知識和社會知識的概括的總綱開始分析．

1 中國哲學的起源之文化獨特性

哲學，就是研究客觀世界上的一切普遍規律的科學，為人類認識、人類種族和人類社會的發展提供一切普遍適用的科學的認識方法和實踐方法的科學[1]．一般可以簡單分為兩個主流：東方哲學和西方哲學．東亞和南亞的哲學被稱為東方哲學，北非和中東及歐洲的哲學被稱為西方哲學．東西方哲學有不同的傳統，東方哲學強調整體的系統認知（Holistic Perception and Cognition），西方哲學側重于局部的分析演繹（Analytic Perception and Cognition），即概念的抽象、推演，古希臘歷來被認為是歐洲文明的搖籃，是歐洲乃至西方哲學的故鄉．不同的側重發展了兩個數學分支：幾何和代數（包括算術）[2]．中國哲學作為東方哲學的典型范例，起源于易經，一般認為是中國古代文化的源頭，被稱為五經之首[1]．其基本觀念強調“陰陽”屬性系統變化，形成動態平衡．從周朝開始，認為世界萬物相互彼此作用相互聯系變化統一性，慢慢形成華人社會本土廣為接受的主流世界觀，即“萬變不離其宗，變中發現不變，以不變應萬變”等本土信念體系，成為影響中國科學文化整體觀的基本思想，也成為中國古代科學哲學指導思想之一[1]．這些信念存在于中國古典科學和數學起源的許多分支，也是當今中醫的主要原理．與西醫強調的解剖、分解是完全不同的哲學體系．

2 中國漢語語素的構造模式

中國文化哲學直接或者間接影響中國漢字構造模式，強調以不變的部首表征變化的文字．以類合類，以類通類為理念，把中國20?902個漢字，按照201個部首，即201個類別，表征所有漢字．雖然其他印歐語系也強調字根表征語言，中國漢字系統強調程度遠超過其他文明圈，變成其漢語文化之獨特性[3]．事實上，四大文明古國主要出現了以字母為基本元和以字和圖為基本元的兩類文字．其中古埃及、古巴比倫、古印度主要發展了“表聲”語言，即強調語音的語言（如西方印歐語系The Abjad語系、Greek語系、Hebrew語系和拉丁語系）和“表意”語言，即強調結構的語言．中國漢字文化的最主要特征是“表意”（包括古代日本和韓國等東亞語系）．印歐語言一般僅是語音的編碼；而中國語言是音、形、意的編碼．這決定了漢語與英語及許多印歐語言最大不同點是構字思想——“以類合類”，即由“形旁和聲旁”的不同類別形成“表意”模式，其中字詞特別強調結構和聯系，也強調“類別”．比如，女在左邊的左右結構，如媽，婦，妞，娃；女在右邊的左右結構，如汝，妝；女在下邊的上下結構，如妻，妾，妿，委，孌，這類字屬于“和女有關”的類別．中文造詞，表現形式是“以類拓類”，比如說一個“女”字，可以造出：女性、婦女、父女、女子等復合詞．這類詞屬于“和女有關”的同義拓展類，但是英文women，gender，lady，father and daughter，完全沒有那個類別．再比如中文的花類：茶花、桂花、玫瑰花燈，而英文：camellia，osmanthe，rose；中文的星期：周一，周二，周三，而英文：Monday，Tuesday，Wednesday；中文的月份：一月，二月，三月，而英文：January；February；March；April等．和英文對照，直接反映出中國漢語語言的習慣，即詞與詞連接和類比，其基本思想是“以類合類”，實現簡單易學的“以類別的基本意義不變，回應形式之萬變”，即以類合類的“系統變式”模式．

3 中國數系的最早構造模式

“以類合類”這種中國漢語的語言習慣，其最為典型的表現在“數概念”的發展上，如十進制的位值數系．漢語以“零，一，二，……，十”為不變的基本類別，把十一，十二，……，十九迅速轉變為以十為基本的關聯類別，而“一十，二十，三十，……，一百”是以基本個位數的十倍為基礎的“十類”變異類別，所有的數都可以表征分解和合成為基本個位數的類別，這充分顯示了以類合類的語言習慣．與以西方字母表達為載體的語言體系有著本質的不同，例如，古代希臘數系（圖1）中，每個數字用完全不同的字母表達，完全沒有以類合類的思想．特別說明的是：古印度數系（圖2、圖3）也和希臘系統類似使用字母語言，也沒有以類合類．

圖1 古希臘的數系

圖2 古印度的數系1

圖3 古印度的數系2

至今廣為流行的阿拉伯“十進制的位值數系”概念完全符合中國漢字表達習慣，是數學史上非常有趣的故事．1992年，蘭麗蓉（Lay Yong Lam）和洪天賜（Ang Tian Se）證實十進制的數系和加減乘除運算法則．這個世界通用數字系統，起源于中國算籌的數字系統[4]．而羅馬數系、巴比倫數系、埃及數系、印度數學的數系，在中世紀逐步被廢除，目前全世界統一使用的十進制數系概念，事實來源于中國的十進制的算籌數系概念[4]，這一研究榮獲了2000年世界歷史研究的最高獎The Kenneth O. May Medal．目前雖然叫做印度阿拉伯數系的名字，但背后的概念則來自古老文明的中國籌算．中國古代籌算位值制在傳入印度以前已經有上千年的使用歷史，古時的中國官員、商人、僧侶和旅行家，腰掛算籌袋是很平常的，通往印度的絲綢之路使得中國和印度來往密切，因此，十進制數系概念傳入了印度，通過印度傳入歐洲、非洲、美洲．數系及運算解決人類復雜數運算問題，可被列為中國四大發明外的第五大發明，充分顯示了“系統變式”的“以類合類”思想對人類文明發展的巨大貢獻．

4 中國最早數學教科書《九章算術》的構造原型

劉徽的《九章算術》一直扮演著和歐幾里得《幾何原本》類似的角色，在中國和世界數學史上占有重要的地位．雖然《九章算術》作為中國古代數學的系統總結，對中國傳統數學的發展有了深遠的影響，但該書的數學教育思想的文化獨特性卻鮮有學者研究．《九章算術》中的問題組織不像《幾何原本》中題目間相互獨立，而是把246道題分為方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、句股九章，即九類，題目也強調“以類合類”思想，形成發展了東方最早教科書組織模式的原型．這里“以類合類”是《九章算術》的文化獨特性，也是古代數學教育的“原型”問題設計的基本思想．劉徽在關于《九章算術的評注》序言中解釋道：“……事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本干者，知發其一端而已”則更清晰地解釋了“以類合類”背后的事類相推之含義，因為同發其“一端”，而且也解釋了“以類合類”在數學教育中，強調其思想本源“以法通類，以類相從”．幾千年來這個“思想”對數學教育影響深遠．又如《五曹算經》和《夏侯陽算經》里的問題也是分為幾個類別進行論述的．解放前，中國課程引進西方系統之前，數學教科書組織強調分類模型是一個“不言而喻”的設計框架．例如，數學問題分為速度問題、植樹問題、年齡問題、工程問題、利潤問題，這和西方按照知識的框架進行設計有很大的不同，這也是具有世界意義的中國數學教育成就．對比以希臘為代表強調演繹邏輯的傳統視角來看，《幾何原本》形成了嚴格的以定義、定理建立的演繹證明系統，成為了西方數學和數學教育的基石．相比之下，東方數學強調數學問題、設計組織“以類合類”，強調類比思想、問題連接．直到1878年中國數學課程全面引進西方課程后，傳統的“以類合類”分類教材設計模式才被慢慢終止[5]．

5 中國的數學教育典型特征

雖然引進西方課程之后，傳統的“以類合類”分類教材設計模式逐步被西方的數學知識結構取代[5]，“雙基”和“變式”兩個術語頻繁出現在中國的數學教育文化圈里，而其他文化圈并無這個明顯的強調．雙基作為當地的課程指導[6]，指導當地的課程設計和教學，甚至將其作為國家的課程大綱和課程標準．在這里，“雙基”表示不變的特性而這個不變的特性不能直接傳授、死記硬背，必要靠“變化問題”來突出不變的特性，因此從這個意義上，變式是附屬于雙基目標的實現手段．相對而言，中國大陸教學一個突出的特征就是討論什么是不變的“雙基”，如何通過例題引出“雙基”，討論問題與問題之間的“不變的聯系”，以及問題背后的不變的基本數學思想來實現“雙基”，教學圍繞“什么變，什么不變”而展開的．中國哲學“萬變不離其宗”指導下圍繞“什么變，什么不變”這個習慣是內地特有的認知習慣[2]，有些地區，例如中國香港、中國澳門就比較缺乏，或者“不慣”！“不慣”反映了東方傳統的斷裂和缺失，很多數學困難生描述數學是那么難，每個題目都“不一樣”，無從下手，對于數學內行而言，每個題目都“一樣”，中國大陸教師在長期發展一種變式實踐，其目的就是區分“一樣”和“不一樣”，為什么是一樣的，如何變為“一樣”？如何抽象出一般的不變的本質，就是如何發展抽象數學的能力，也就是代數能力．顯然不變元素（雙基）和變異元素（變式教學）明顯地是中國式教學隱藏的設計框架，目的是發展歸納思維．“雙基”和“變式”是當今中國數學教育區別其他文化的根本數學教育特征．為什么在中國強調的是這個框架，不再別的？難道巧合？“雙基”和“變式”包含中國人潛意識的易經哲學之一脈相承，盡管這個一脈相承似乎是不自覺的，也是“以不變類統籌其他類”這種中國漢語的語言習慣的繼承，符合漢字和數系構造傳統之傳承．從國際數學教育透視，中國的數學教育一直強調數學問題、設計組織“以類合類”系統變式，發展類比思想，進而發展“以不變應萬變”的代數思維，因為這些基本代數教育思想超前于其他代數文化下的代數系統，具有世界意義的代數教育成就，雖然在幾何方面，有空間需要彌補．這個區分對于課程改革，了解哪些需要保持，哪些需要放棄，是有所助益的．

6 “中國式”的問題設計目標

如前所述，中國本土的教學雙基和變式，包含中國人潛意識的數學教學思想反映出中國本土的課程和西方課程有著明顯的不同：中國式的問題設計更注重問題連接，更注重從單一問題拓展到一類問題，而且本土為實現“以類合類”目標，自然地所發展“本土”的策略，強調“一題多解”、“一題多變”和“多題一解”的問題變式的結構．這種描述屬于中國大陸語言習慣，很少出現在中國大陸以外，但通常被視為更“日常”的本地課程特色．在中國，這個策略存在于學校里任何單一的教學材料（如教材或教學計劃）和任何單一的學習材料（如學生練習冊）．這種做法普遍被中國教師所接受而被廣泛應用，已經內化為“常規”日常實踐．在世界視域下，以中國為首的東方課程和西方課程的最大差異在于，以中國為首的東方數學課程組織的細胞，是“一題多解”、“一題多變”和“多題一解”的問題組的結構，而以美國為首的西方課程問題與問題關聯很小，“一題多解”、“一題多變”和“多題一解”的問題組的結構相對少[7~9]，和西方課程相比（例如加減和分數乘除法），問題變式被認為是中國大陸課程顯著特點之一[7~8]．教學而言，變式是“一題多變”、“多題一變”、“一題多解”，中國最質樸的發展“不變關系”甄別之實踐．這種教學實踐是中國大陸數學教學所獨有的，對于中國大陸教師而言，非常普遍，是個常識，無需一提，但卻是中國數學教學的精華，中國大陸以外，常常很少提及．

7 螺旋變式課程設計模型

五千年的中國文明衍生了獨特的代數教育文化，積累了非常寶貴的經驗，但是這些經驗尚未上升到理性層面．中國數學教育特別需要一個符合東方哲學思維范式，符合東方文化獨特性，繼承東方數學和數學教育傳統，和東方數學教學思想相吻合的理論．若這個理論不明了，繼承中國教學傳統也便無的放矢，特別是在中國香港和中國澳門這些東西方文化融合的地方，更需要明確的理論和實踐的導引．研究者近十年逐步建立了一套強調系統地“變”，利用問題變式，“結構”教學，實現概念連接，從而達成知識的“深、廣、透”的設計框架，并命名為螺旋變式課程設計模型[5，10]．

相比西方數學教學，變中發現不變的變式手段是非常有意義的教學策略，是區分東西方課程的關鍵環節．例如，美國的核心課程標準包括加減法十幾個模型、乘法5個模型和除法5個模型．而中國加減只有一個分合模型，乘法只有重復加模型，除法是乘法的逆運算的唯一模型．美國分數的乘法分配律會在真分數、假分數、帶分數各占一單元，原因可能是編者認為3者皆不同，這也是西方教材非常“厚”而中國教材少而精的原因．當然，目前中國大陸教材越編越厚，或許是因為中國數學理論工作者沒能及時指出自己的優勢，正在喪失優勢，因此，撰寫此文的目的，一方面讓西方學者了解中國數學的優勢，另一方面給中國學者提供一個反省的契機．

相對于東方社會的意義而言，中國數學教育雖有變式特色，但遠未“系統”化和理論化，中國數學教育追求“深廣透”，而西方數學課程因缺失這些優勢而變得“寬而淺”，課程結構影響其相應的功能[3]．中國數學教育改革因受西方數學教育文化的影響，大綱、教材、教學向西方靠近，中國數學教育正慢慢喪失其獨特性[11~12]，找尋符合自己文化土壤的理性是必要的．

鄭玄的《易論》中說：“易一名而含三義：易簡一也；變易二也；不易三也．”這句話總括了易的3種含義：“變易”、“簡易”和“恒常不變”．“萬變不離其宗（‘變易’），變中發現不變（‘簡易’），以不變應萬變（‘恒常不變’）”是對應的哲學指導思想．這個哲學思想是發展“不變的抽象”的哲學，是代數化思想的指導方針，對代數教學法是非常必要的．根據李約瑟的研究，通過與印度文化、埃及文化、古巴比倫文化的比較，中國文化的算術和代數學是長項．他認為中國人更善于用代數思想解決幾何問題，這可能與這些哲學思想息息相關．對東西方課程而言，通過變異實現體驗不變，從而學習抽象化具有積極意義．螺旋變式課程設計模型，對西方社會而言，有助于學習東方的經驗．因為它奠基于東方數學思維傳統，而不是西方幾何思維傳統，目標為發展以不變應萬變的代數思維，根植于東方哲學的起源《易經》，符合中國語言習慣的理論模型，強調“系統”變式的中國特色數學教育，這些“系統”變式的特色為代數的教育發展提供了獨特文化基礎，對發展算術具有積極的意義．

英國科學史家李約瑟說：“中國科學有個先天缺陷，缺少理論，強調實踐，經世為用，仿佛‘獨腿’老人，掙扎前行”．中國人理論薄弱，多數數學教育研究者躲避理論，不談理論，不見理論，即便談理論也是談西方理論，因而無可選擇，無可作為．目前在世界各地數學教學的指導理論，如建構主義、RMI現實數學不區分代數和幾何、韋赫勒理論（Van Hiele theory）是針對幾何教學的，當前的流行理論都是源于西方，針對算術和代數的指導力量似乎甚微，全世界每年有2.5億小學三年級的學生放棄數學學習．東方數學教學則極少有任何系統而清晰理論，世界理論貢獻甚微，盡管國際比賽表現（如PISA，TIMSS）相對優異．這里這個隱性的代數教學設計模型研究算是一次小的嘗試，雖然這個努力還需要更多完善工作，但是千里之行始于足下．限于篇幅，恕不展開，螺旋變式課程之基本文化意義詳見文[8，13，15]，螺旋變式課程之基本設計思想詳見文[13~16]，螺旋變式課程之基本數學意義詳見文[9~10，14~15]．

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[責任編校：陳雋]

In Search of Tradition in Chinese Mathematics Education: A Theory for Algebra Instruction

SUN Xu-hua

(Education Department, University of Macau, Macau China)

This study provides the analysis on how the unique feature of Chinese philosophy, variation and invariance soul in “ I Ching”, could be traced Chinese language, number naming, and mathematics development and ancient mathematics curriculum design. Based on the analysis above, the Chinese rationale and logics, named spiral variation curriculum design, was illustrated. The framework will be conductive the understanding of Chinese mathematics education and curriculum and instruction development for algebra.

systematic variations; task design; Chinese mathematic education; textbook comparison

G420

A

1004–9894（2016）05–0005–04

2016–05–10

澳門大學研究基金項目——Practice, Theory, and Research: Chinese Mathematics Curriculum Development (MYRG2015-00203-FED)．

孫旭花（1969—），女，山東莒縣人，澳門大學助理教授，主要從事數學課程與教學研究．