“1”在高中數學解題中的應用

馬仁珠

（龍巖第二中學，福建龍巖364000）

“1”在高中數學解題中的應用

馬仁珠

（龍巖第二中學，福建龍巖364000）

數學中“1”，在不同的章節知識里都有很多種不同的特征表示，深入挖掘，靈活應用，可以使很多問題得到巧妙、快速的解答。

“1”；構造；題目特征；數學解題

在求解數學問題的過程中，巧用“1”進行代換是屢見不鮮的。在求解三角形、不等式等問題時有著不可替代的作用。下面舉例說明常數“1”在解題中的許多巧妙應用。

一、“1”的不同身份：

①a0=1（a≠0）；②lo gaa=1（a＞0且a≠1）；③tan45° =1，sin90°=1，cos0°=1；④-i2=1（i為虛數單位）；⑤x=1；⑥sin2=α+cos2α=1；⑦tanα·c o tα=1等等。

二、“1”在指、對數中的應用

在數學解題中，若能根據題目特征，巧妙地利用“1”作代換，常能出奇制勝，取得較好的解題效果。

例1.解方程2x-1=1.

解：∵2x-1=1∴2x-1=20∴x-1=0即x=1.

例2.解不等式lgx＞1.

解∵1=lg10則lgx＞lg10，∴x＞10.

例3.求y=lo ga（x-2）的圖像恒過定點______.

解：∵lo ga1=0（a＞0且a≠1）∴x-2=1即x=3.∴定點為（3，0）.

三、“1”在三角函數中的應用

在解答一些數學問題時，有時需要將一個解析式的“1”用一個值等于1的解析式來代替，這是常數“1”的整體代換功能。

解：∵sin2α+cos2α=1，

在三角恒等變換中，常見的拓展變式有：1+sin2α =（sinα+cosα）2，1-sin2α=（sinα-cosα）2，1+cos2α =2 cos2α.1-cos2α=2sin2α.

例5.利用和（差）角公式計算1+tan150

的值.1-tan150解：∵1=tan450，

解題思路：利用tan450=1構造形如公式tan（α+例6.已知tanα=3，求：sin2α+cos2α的值.解：∵tanα=3，

四、“1”在基本不等式中求最值的應用

∴當x=4，y=12時，x+y的最小值等于16.

解題思路：由于已知條件右邊是一定值1，且左邊各項均為正數，所以可以用整體換元，代入消元，“1”的代換等方法求解，達到運用基本不等式的目的。

五、“1”在導數解題中的應用

例8.已知f（x）=lnx+a（1-x），

（Ⅰ）討論f（x）的單調性；（Ⅱ）當f（x）有最大值，且最大值大于2a-2時，求a的取值范圍。

解：（Ⅰ）略

∴x＞0，∴g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）是增函數。又g（1）=0，上述不等式即g（a）＜g（1），∴0＜a＜1，即a∈（0，1）.

解題思路：在第（Ⅱ）題的解析中，關鍵是能估算出g（1）=0，再利用單調性對不等式lnx+x-1＜0進行解答。

六、“1”在二項展開式中求系數和的應用

例9.求（x+1）n展開式中所有項的系數和.

簡析：依題意作出示意圖，可建立如圖所示的平面直角坐標系。因鉛球走的路線是拋物線，故問題被轉化為求拋物線頂點的橫坐標。由已知條件可求得拋物線的解析式，再進一步求拋物線頂點的橫坐標。

（五）建立目標函數模型，轉化為函數極值求解問題

例5.某高中學校為高一新生設計的學生單人桌的抽屜部分是長方體，抽屜底面周長為180 cm，高為20 cm。請通過計算說明，假設材質及其厚度等暫忽略不計，當底面的寬為多少時，抽屜的體積最大？最大

例10.求（2x+1）n展開式中所有項的系數和.

其展開式中所有項的系數和為

七、“1”在概率事件中的應用

例11.某射手的一次射擊中，射中10環、9環、8環的概率分別為0.2，0.3，0.1.則此射手在一次射擊中不超過8環的概率為________.

解：設此射手在一次射擊中不超過8環為事件A，則P（A）=1-（0.2+0.3）=0.5

“1”是一個特殊的數，在不同的章節知識里它都有很多種不同的表示結果，深入挖掘，靈活應用，可以使很多問題迎刃而解，取得事半功倍之效.

［1］桑婭潔.數學解題，“1”馬當先［J］.數學學習與研究，2012（21）.

［2］游曉荔.淺談公式sin2α+cos2α=1的巧用［J］.才智，2014（21）.

［3］余明芳.王欽敏.怎樣聯想［J］.中學生時代，2005（24）.

（責任編輯：王欽敏）

數學源于生活，學習數學可以解決生活中的實際問題。作為數學教師，要善于激勵學生學數學、用數學，注重引導學生從已有的生活經驗出發，親身體驗將實際問題抽象成數學模型的全過程，從而培養他們分析問題和解決問題的能力。為多少？（建立目標函數模型問題）

參考文獻：

［1］何小亞.數學應用題教學的實踐與思考［J］.數學通報，2000（4）.

［2］顧志林.初中數學應用問題教學現狀的調查研究［J］.數學之友，2011（5）.

［3］吳文勝.小學數學應用題教學的若干思考［J］.現代中小學教育，2004（11）.

（責任編輯：王欽敏）