在數學試題探究中提煉模型獲取通法
——利用“軸對稱”求折線段和最小值問題探微

王斌（龍巖市初級中學，福建龍巖364000）

在數學試題探究中提煉模型獲取通法
——利用“軸對稱”求折線段和最小值問題探微

王斌
（龍巖市初級中學，福建龍巖364000）

利用“軸對稱”求折線段和最小值問題，通過變式、引申、拓展等渠道，引導學生探究數學試題、提煉問題模型、獲取通性通法，可以有效提升學生分析問題與解決問題的能力。

解題教學；模型提??；模型變式；模型拓展；題型概述

在數學中考復習中，提高學生的解題能力是解題教學的關鍵，就題講題無法使學生的思維得到拓展，當學生再次遇到類似的題型仍然會無從下手。那么，在解題教學中，講什么？如何講？講解的重點是什么？結合多年的教學反思，筆者認為要從學生實際和題目特點出發，有所取舍、有所側重地進行解題教學講解。下面，通過利用“軸對稱”求折線段和最小值問題探微，談談以試題為源頭，以模型為基礎，通過變式來鞏固，通過拓展來提升的方式，讓學生獲取解題通法，掌握解題技巧，提升解題能力。

一、題目呈現

題目：如圖1，Rt△ABC中，∠C=900，AC=BC=4，E為邊AC上一點，且CE長為1，若點P是斜邊AB上的動點，求PC+PE的最小值。

從解題教學的策略來看，此題的講解關鍵是引導學生如何提取與原題有關的模型（模型是學生所熟知的），通過分析，理解模型，進行恰當的變式和拓展，幫助學生理清這一類題型的思路，最終達到掌握解題的基本思想和基本技能。

二、模型提取

上述幾何問題中的本源是什么？基本圖形是什么？其實可以追朔到人教版（2013年）數學八年級上冊中的課題學習：最短路徑問題。

模型：如圖2（1），直線同側有兩點A、B，要在直線上找一個點P，使PA+PB的和最小，請在圖中找出點P的位置。

解析：如圖2（2），作出點B關于的對稱點B′，利用軸對稱的性質，可以得到PB=PB′，這樣，問題就轉化為：當點P在的什么位置時，PA與P B′的和最??？在連接A，B′兩點的線中，線段A B′最短，因此，線段AB′與直線的交點P的位置即為所求。我們可以進一步概括出此類題型的特點：兩定點+一動點，且動點在直線上，兩定點在直線的同一側。其解決的方法就是：作一定點關于直線的對稱點，連結對稱點和另一定點的線段和直線的交點就是所求的，折線段和最短值就是這條連線段的長。

因此，教材中的例題、習題等往往是我們提取模型的重要素材。事實上，許多數學中考試題就是由這些題目中變式或拓展而來的。

三、原題解析

與模型相比，原題的背景變為三角形，但關鍵的特征和模型是一樣的，所以我們可以利用模型方式解題（見圖3）：尋找C點或E點關于直線AB的對稱點，此題中C點關于直線AB對稱點較好確定，過C點作關于AB的對稱點D，連結DE，DE交AB于點P，此時PC+PE的值最小，最小值為線段DE的長，連結AD，易知AD= AC=4，∠CAD=2∠CAB=2∠BAD=2×450=900，利用勾股定理：所以，PC+PE最小值為5。

四、模型變式

當學生探討意猶末盡之時，趁熱打鐵，對原題進行變式，可以加深對原題認識的作用，進而培養學生在復雜的背景中抽取關鍵數學模型的能力，提升在實際背景下解決問題的能力。

變式一：如圖4所示，正方形的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內，在對角線上有一點，使PD+PE的和最小，則這個最小值為（）

解析：此題與原題相類似，只不過一定點在正方形內，點D關于直線AC的對稱點是B點，PD+PE=PB+PE，當P點為BE與AC的交點時，PB、PE的和最小，最小值為BE的長，因為△ABE是等邊三角形，所以，故選A。

變式二：如圖5所示，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，點E是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，則PE+PB的最小值為。

解析：此題與原題相比，背景變為了菱形，做法也是找一點（B點）關于動點所在直線的對稱點（D點），易知△ABD為等邊三角形，由E為AB的中點可得△ADE為直角三角形，∠DAE=600，求得DE=，所以PE+PB的最小值為。

變式三：如圖6（1），長方體的底面長為5cm寬為4cm高為9cm，點A在長方體的棱邊上且距長方體上沿3cm，點P為長方體上沿的動點，則在長方體側面從點A到點P再到點C的最短路程為cm。

解析：沿點A所在的棱線展開，如圖6（2）所示，點A到點P再到點C的最短路程實際上就是在直線MN上找一點P，使得PA+PC的值最小。作A關于直線MN的對稱點A′，則PA=PA′，所以PA+PC=PA′+PC；當PA′+PC的值最小時，點P應為A′C與MN的交點，設A′C與MN相交于點為P′，此時P′A+P′C等于線段A′C，在Rt△A′BC中，A′B=A′M+BM=3+9=12 cm，BC=5+4=9 cm，A′C= 122+92=15cm，所以最短距離為15cm。

五、模型拓展

當學生經過模型的各種變式訓練，已經掌握模型的精髓后，我們可進一步在原模型的基礎上引導學生探索新的問題：前面我們研究的背景都是直線一側有兩個定點，直線上一動點問題，我們是否可以改變定點或動點的個數得到解題的通法呢？

1.“兩定點+兩動點”

模型：如圖7，C、D為定點，E、F分別為直線OA、OB上的動點，當EC+EF+FD最短時，請你確定點E、F的A′B2+BC2=位置。

解析：（1）作點C關于直線OA的對稱點M，可得EC=EM；（2）作點D關于直線OB的對稱點N，可得FD= FN，則EC+EF+FD=EM+EF+FN；（3）由兩點之間線段最短可知：當EM+EF+FN=MN時，EM+EF+FN最短；此時，點E、F分別是MN交直線OA、OB的交點。

模型變式：如圖8，在直線y=2x-4與拋物線y=2x2-x-3相交于點A、B（點A在點B的左側），E點是拋物線對稱軸上的動點，點F是軸上的動點，求四邊形AEFB最短周長。

解析：（略）

2.三個動點

例：如圖9，∠AOB=450，角內有一動點P，PO=10，在AO，BO上有兩動點Q，R，求△PQR周長的最小值。

解析：作P關于OA，OB對稱點P1，P2。于是有PQ+ QR+PR=QP1+QR+RP2≥P1P2，由對稱性易知△P1OP2為等腰直角三角形，OP=OP1=OP2=10，P1P2=10。

六、題型概述

利用“軸對稱”求折線段和最小值問題，通常是利用軸對稱，把折線段和最短問題轉化為兩點之間線段最短問題，不管背景是正方形、菱形、圓、拋物線還是其它圖形，我們要明確定點、動點和動點所在直線，并善于作出定點關于動點所在直線的對稱點或動點關于其它動點所在直線的對稱點。這樣對這類問題的解決才可能事半功倍。

總之，進入中考復習階段，我們要善于引導學生挖掘試題的模型、提煉模型解法，通過變式、引申、拓展等渠道提升學生分析問題，解決問題的能力。

［1］朱桂平.提取模型融會貫通——例談中考壓軸題的教學策略［J］.中國數學教育（初中版），2014（7）.

［2］胡云亞.由“將軍飲馬”引申的中考壓軸題簡析［J］.數理化解題研究（初中版），2012（3）.

［3］宋毓彬.用軸對稱求線段和的最小值［J］.數理化解題研究（初中版），2012（1）.

（責任編輯：王欽敏）