換元法在高中數學中的“魔法”應用

江芳英（武平縣第二中學，福建武平364300）

換元法在高中數學中的“魔法”應用

江芳英
（武平縣第二中學，福建武平364300）

高中數學在教學中，以具體實例向學生介紹常見的整體換元、對稱換元、數字換元、均值換元、三角換元等方法，促進學生使用換元法解決數學問題的思維水平。

整體換元；對稱換元；數字換元；均值換元；三角換元

換元法是一種重要的數學方法，能夠讓復雜問題簡單化，讓生疏問題熟悉化。

解題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化的方法叫換元法。常見的換元法有整體換元、對稱換元、數字換元、均值換元、三角替換等等。換元法在數學各分支具有廣泛的應用，列舉如下：

一、在求函數解析式中的應用

出現形如f［g（x）］=h（x）的問題中，常用整體換元。

二、在化簡代數式中的應用

即x3+3x-4=0，

此方程的唯一實根是1，故化簡結果為1。

三、在解方程中的應用

例3.解方程：x3+18x2+81x+8=0。

分析：這是三次方程，經仔細觀察，若把9看成新的未知數，就可轉化為一元二次方程了.令9=t，得

xt2+（2x2+1）t+x3-1=0，

接下來，把t用數字換回，就可進一步解出x了。

四、在求條件值域中的應用

例4.已知x2-y2=4，求的取值范圍。

分析：利用三角替換，令x=2secθ，y=2tanθ（θ∈［0，

∴w∈（-6，10）。

常見三角替換有：已知a2+b2=1，令a=cosθ，b=sinθ，

已知|x|≤1，令x=cosθ，

已知|x|＞1，令x=secθ，

已知x∈R，令x=tanθ。（注意各參變量角度的范圍）

五、在三角函數中的應用

例5.求W=sin3θ+cos3θ+sinθcosθ+sinθ+cosθ的取值范圍。

分析：考慮到sinθ+cosθ和sinθcosθ的關系，可令

∴Wmin=f（-1）=-2。

本例通過換元法，把比較復雜的三角函數問題轉化為三次函數的值域，達到用導數解決問題的目的。

六、在數列中的應用

數列中的換元法，往往和構造新數列聯系在一起，其意圖大都是把一般數列轉化成等差（比）數列。

例6.設b＞0，數列｛an｝滿足a1=b，

（1）求數列｛an｝的通項公式；

分析：①因為a1=b＞0，由已知得：

∴｛bn｝是一個首項為的等差數列，易得an=2，

∴｛bn｝是一個首項為的等比數列，

②根據（1）的結論，用分析法和綜合法（均值不等式）易證，從略。

七、在不等式中的應用

在不等式的問題中，換元法也有很普遍的應用。如已知a+b=1，比較的大小，可作均值換元，

例7.正數a、b、c適合a2+b2+c2=1，求證：

設a3+b3+c3=A，由1=a2+b2+c2，得

即a3+b3+c3。

本題用換元法容易從個數和指數方面加以推廣：

關于其它方面的問題，換元法還廣泛應用于微積分中，如一些導數公式的推導，不定積分的求法等等。因篇幅所限，不再討論。通過上面事例，可發現換元法有如下特征：①從書寫的角度看，解題中用到換元法時，最后要還原成原來變量；②新、舊變量的取值范圍及其關系，常是關注的焦點；③換元的一致性，即換元必須干凈、徹底；④換元法絕不是簡單的“無中生有”，它需要較強的觀察力。只有具備了“大局觀”，并能妥善處理整體與局部的關系，才能更好地使用換元法。

［1］盧正勇.數學解題思路［M］.福州：福建教育出版社，1986.

［2］王欽敏.如何對數學教材進行有益的拓展與改造［J］.數學通報，2013（1）.

［3］龍巖市普通教育教學研究室.2015屆高三數學總復習指導意見［Z］.2014.

（責任編輯：王欽敏）