培養逆向思維，提升學生能力

江蘇省金湖縣第二中學 王吉明

培養逆向思維，提升學生能力

江蘇省金湖縣第二中學 王吉明

逆向思維顧名思義，與正向思維相反的思維過程，就是按研究問題的反方向思考的一種方式。在解題中從問題的正面思考時往往會陷入困境，此時若從問題的反面思考則會絕處逢生，使問題迎刃而解。逆向思維是克服了正向思維的心理定勢，突破舊有思維框架，產生新思維，發現新知識、新解法的重要思維方式。而很多數學知識都具有可逆結構，因此在數學教學過程中加強逆向思維的訓練，不僅可以加強對原有知識的理解，而且還可對知識從不同的角度、不同的層次和不同的側面去探索，從而使問題解決，既而提高學生分析問題和解決問題的能力。

一、利用數學定義、公式、定理的逆向表達能力，在解題過程中注意逆向思維能力的訓練

1.利用定義的可逆性

數學中的定義是通過揭示其本質而來的，定義都是充要條件，均為可逆的。所以，其命逆題也是成立的。因此，定義即是某一個數學概念的判定方法，也是這一概念的性質。在教學中應充分利用這一特征，尤為注意定義的逆用解決問題。

例1

故a的取值范圍是0＜a＜1.

本題逆用函數奇偶性、單調性定義，不僅“吸收”了-f（1-a2）前的“-”號，“剝去”了f（1-a）＞f（a2-1）的”殼”，而且更能使學生深刻理解奇函數，減函數概念的意義。

2.利用公式的可逆性

數學公式本身是雙向的，由左至右和由右至左同等重要，但習慣上講究由左至右或化繁為簡的順序。為了防止學生只能單向運用公式，教師應通過對公式的推導、公式的形成過程與公式的形式進行對比，探索公式能否逆向運用，從而培養學生逆向思維能力和逆用公式，鼓勵他們別出心裁地去解決問題，在“活”字上下工夫。

例2

已知10m=2，10n=3。求（1）103m-2n（2）102m+n的值。

3.利用定理的可逆性

每個定理都有它的逆命題，但逆命題不一定成立，引導學生探求定理的逆命題的真假性，不僅使學生學到的知識更完美，激發學生去鉆研新知識，而且能培養學生的創造性能力，把定理題設和結論在一定條件下進行轉換，而形成有異于原命題基本思想的新題型。例如：公差不為0的等差數列｛an｝的前n項和是 n的二次函數，想一想它的逆命題成不成立。即如果數列｛an｝中，Sn=an2+bn+c（a≠0），這個數列是等差數列嗎？由此得到一個重要結果：若數列｛an｝的前n項和Sn=an2+bn+c（a≠0），則數列成等差且公差不為0的充要條件為c=0。

例4

根據勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形。

本題利用勾股定理的逆定理，證明了△ABC是直角三角形。

二、在解題中注意逆向思維能力的訓練

我們知道，解數學題最重要的是尋求解題思路，這就需要我們解題之前，綜合運用分析，或先順推，后逆推；或者先逆推，后順推；或者邊順推邊逆推，以求在某個環節達到統一，從而找到解題途徑。由此可見，探求解題思路的過程也存在著思維的可逆性，它們相輔相成，互相補充，以達到此路不通彼路通的效果。中學數學課本中的逆運算、否命題、反證法、分析法、充要條件等都涉及思維的逆向性。在數學解題中，通常是從已知到結論的思維方式，然而有些數學總是按照這種思維方式則比較困難，而且常常伴隨有較大的運算量，有時甚至無法解決，在這種情況下，只要我們多注意定理、公式、規律性例題的逆用，正難則反，往往可以使問題簡化，經常性地注意這方面的訓練可以培養學生思維的敏捷性。

1.分析法解題體現逆向思維

例5

設a，b，c為任意三角形的三邊邊長，I=a+b+c，S=ab+bc+ca，求證：3S≤I2＜4S.

證明：

由于I2=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=a2+b2+c2+2S，

故欲證3S≤I2＜4S，只需3S≤a2+b2+c2+2S＜4S，只需證S≤a2+b2+c2＜2S，

即ab+bc+ca≤a2+b2+c2＜2ab+2bc+2ca，

只需證a2+b2+c2≥ab+bc+ca且a2+b2+c2＜2ab+2bc+2ca，

先看a2+b2+c2≥ab+bc+ca，只需證2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+-2ca，

即（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0，顯然，此式成立.

再看a2+b2+c2＜2ab+2bc+2ca，

只需證a2-ab-ac+b2-ab-bc-ca＜0，

只需證a（a-b-c）+b（b-a-c）+c（c-b-a＜0）；

只需證a＜b+c且b＜c+a，由于a，b，c為三角形的三邊長.顯然，結論成立，故3S≤I2＜4S.

本題從表面上看不易“征服”，但通過分析法將結論逐步轉化，由看上去很難“接受”的3S≤I2＜4S，轉化為較為熟悉的ab+bc+-ca≤a2+b2+c2＜2ab+2bc+2ca，顯然，這比原題的結論看上去要“舒服”多了，當然，求解也就順暢了很多。

2.正難則反解題體現逆向思維

例6

已知三個x的方程，x2-4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0、x2+2ax-2a=0中至少有一個有實根，求實數a的范圍。

分析：如果直接從題設入手，需討論任一個、任二個方程有解和三個方程同時有實解的情況，共有種情況，顯然這種做法運算量大，影響解題速度，若從反面入手，先考慮三個方程都沒有實根時a的取值范圍。

Δ1=（-4a）2-4（-4a+3）＜0

Δ2=（a-1）2-4a2＜0

Δ3=（2a）2-4（-2a）＜0

再根據補集的思想，就得到原題中a的取值范圍為：

3.反證法體現逆向思維

例7

4.舉反例解題體現逆向思維

反例在數學發展中和證明一樣占著同樣重要的地位，這是因為在數學問題的探究中，猜想的結論未必正確，正確的要求給予嚴格證明，謬誤的則靠反例來否定.

反例，在解諸如填空、判斷、選擇題時，更是一種簡單易行的方法；在解題后，對解題過程和結果的檢驗，也是一種行之有效的方法；在審題時，可幫助我們找出由于種種原因而出現的錯題，以避免浪費精力和時間。如此等等，不能低估了反例的作用。

三、學生逆向思維能力的培養

作為老師如何培養學生的逆向思維，通過怎樣的途徑來提升學生的逆向思維能力呢？

1.備課中注意逆向思維教學思考，并具體落實到課堂教學中

備課是教學的重要環節。在備課中不僅注意反映教材的重點、難點，還要注意到對學生思維能力的培養，特別要注意逆向思維的運用。因此經常逆向設問，以培養學生的逆向思維意識。

同時教師應經常地、有意識地從正反兩反面探索數學問題，引導學生從對立統一中去把握數學對象，解決數學問題。

教師在總結思維過程時應告訴學生有的問題從“正面”不易解答時，從其“反面”思考往往有突破性效果。通過分析啟發很容易掌握，既激發了學生解題興趣，又培養了學生正確思維方法和良好的思維習慣，思維能力逐步提高。因式分解一章教材本身就明確提出了“因式分解與整式乘法的互逆關系”，教學中抓住“互逆”“反過來”這條主線，就能讓學生真正理解因式分解的意義，并得到逆向思維的訓練從而提高思維能力。

2.作業輔導及考查以鞏固對逆向思維的理解和掌握

學生學數學聽懂了離掌握還有距離，特別是對常規思維的背離。因此要讓學生真正具有逆向思維的能力，除了課堂上的分析、引導、啟發外，要堅持分層次地對學生進行輔導。布置作業、考試檢查，經常地得到鍛煉，體會逆向思維解題的奇妙，增強學習的興趣和主動性。

在平時的練習中指導學生要善于用逆向思維去思考問題，不僅要知道逆向思維的主要方法，還要經常地從各個方面強化逆向思維，而不同的方面又可運用不同的方法，因此要注意逆向思維各個方面的鞏固。因此在教學中要有意識地編排順、逆雙向配對的練習題供學生訓練。

綜上所述，教師在培養學生的逆向思維能力時，要充分利用教材的內容，在定義、公式、定理等的教學中強化逆向思維，在習題課、練習課中強化逆向思維，有意識、有目的地對學習進行“正向思路變成逆向思路”的訓練。同時將對學生逆向思維能力的培養貫穿于備課、講課、作業輔導、分層練習等整個教學過程之中。針對學生的特點，循序漸進，持之以恒，從而培養學生良好的思維品質，增強學生創造力，提高學生的數學素養。